中考圓有關(guān)的動點幾何壓軸題

1、北辰教育學(xué)科老師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：年級：初三輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：陸軍授課日期授課時段授課主題中考25題壓軸題之涉及圓問題分析教學(xué)內(nèi)容與圓有關(guān)的常見輔助線添加方法輔助線秘訣一已知直徑或作直徑，我們要想到兩件事：1;直徑上有一個隱藏的中點（圓心）2;利用圓周角定理構(gòu)造直角三角形輔助線秘訣二作半徑1;連半徑，造等腰三角形2;作過切點的半徑輔助線秘訣三涉及弦長，弦心距；可造垂徑定理的模型，為勾股定理創(chuàng)造條件輔助線秘訣四切線的證明1；有交點：連半徑，證垂直2;無交點：作垂直，證半徑輔助線秘訣五已知數(shù)圓心角度數(shù)，要想到同弧所對圓周角度數(shù)，反之亦然。輔助線秘訣六出現(xiàn)等弧問題時，我們要想到1;在同圓或等圓

2、中相等的弧所對的弦相等，弦心距也相等。2;在同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角，圓周角也相等。輔助線秘訣七已知三角比或求某個角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，沒有作垂直注意；同角或等角的三角比相同輔助線秘訣八圓中出現(xiàn)內(nèi)接正多邊形時；作邊心距，抓住一個直角三角形來解決輔助線秘訣九已知兩圓相切，常用的輔助線是；1;作公切線，連接過切點的半徑得到垂直關(guān)系2;作連心線輔助線秘訣十已知兩圓相交，常用的輔助線是；1;作兩圓公切弦2;作連心線例題講解定圓結(jié)合直角三角形，考察兩線段函數(shù)關(guān)系，三角形面積比值1（本題滿分14分，其中第（1）小題4分，第（2）、（3）小題各5分）1已知：如圖，在RtABC中，2

3、C=900，BC=4,tan/CAB=，點O在邊AC上，以點O為圓心的圓2過A、B兩點，點P為AB上一動點.(1)求。O的半徑；(2)聯(lián)結(jié)AP并延長，交邊CB延長線于點D,設(shè)AP=x,BD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)BP,當(dāng)點P是AB的中點時，求ABP的面積與ABD的面積比S!BP的值.S；ABD備用圖定圓結(jié)合直角三角形，考察三角形相似，線段與三角形周長的函數(shù)關(guān)系2(2010上海)如圖，在RRABC中，/ACB=90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點D,與邊AC相交于點巳連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點P.(1)當(dāng)/B=30°時，連接A巳若

4、4AEP與4BDP相似，求CE的長；(2)若CE=2,BD=BQ求/BPD的正切值；(3)若tan/BPD，設(shè)CE=kABC的周長為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.3定圓結(jié)合直角三角形，考察兩線段函數(shù)關(guān)系，圓心距，存在性問題3.如圖，在半徑為5的。中，點A、B在。上，/AOB=90°,點C是弧AB上的一個動點，AC與OB的延長線相交于點D,設(shè)AC=x,BD=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）如（3）是匕4（本題二在半徑次果OOi與。相交十點A、C,且。O1與。的圓心距為2,當(dāng)BDOB時，求。O1的半徑；岡否存在點C,使得DCPDOC如果存在，請證明；如果不存在，請

5、簡要說明理由.i予,定圓中結(jié)合平行線，弧中點，考察兩線段函數(shù)關(guān)系，圓相切滿分14分，第（1）小題6分，第（2）小題2分，第（3）小題6分）44的。中，點C是以AB為直徑的半圓的中點，ODLAC,垂足為D,點E是射線AB上的任點，5中考(本題滿分12分，每小題滿分各為4分)在ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,。是邊AC上的一個動點，以點。為圓心作半圓，與邊AB相切于點D,交線段OC于點E,彳EPLED,交射線AB于點P,交射線CB于點F。(1)如圖8,求證：AD&AEP;(2) 設(shè)OA=x,AP=v,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;(3) 當(dāng)BF=1時，

6、求線段AP的長.動圓結(jié)合定圓，考察兩線段函數(shù)關(guān)系，圓相切7.（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）如圖1,已知eO的半徑長為3,點A是eO上一定點，點P為eO上不同于點A的動點。1（1）當(dāng)tanA=_時，求AP的長；2（2）如果eQ過點P、O,且點Q在直線AP上（如圖2）,設(shè)AP=x,QP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；4（3）在（2）的條件下，當(dāng)tan人=_時（如圖3）,存在eM與e。相內(nèi)切，同時與eQ相外切，且OM_LOQ,3_試求eM的半徑的長。（第25題圖）動圓結(jié)合定圓，考察兩線段函數(shù)關(guān)系，相似，勾股定理，圓相交和正多邊形8.如圖1,

7、已知。的半徑長為1,PQ是。的直徑，點M是PQ延長線上一點，以點M為圓心作圓，與OO交于A、B兩點，連接PA并延長，交OM于另外一點C.(1)若AB恰好是。的直徑，設(shè)OM=x,AC=y，試在圖2中畫出符合要求的大致圖形，并求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)連接OA、MA、MC,若OALMA,且4OMA與4PMC相似，求OM的長度和OM的半徑長；(3)是否存在OM,使得AB、AC恰好是一個正五邊形的兩條邊若存在，試求OM的長度和OM的半徑長；若不存在，試說明理由.動圓結(jié)合三角形，考察相似，線段比，圓位置關(guān)系中考25.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分7分，第（3）小題滿分3分）

8、已知點P在線段AB上，點O在線段AB的延長線上。以點。為圓心，OP為半徑作圓，點C是圓O上的一點。（1）如圖，如果AP=2PB,PB=BQ求證：CA8BCQ（2）如果AP=m（m是常數(shù)，且m>1）,BP=1,OP是OA、OB的比例中項。當(dāng)點C在圓。上運動時，求AC:BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）；（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫出相應(yīng)m的取值范圍。1解:（1）聯(lián)結(jié)OB.在 RIA ABC 中，/C=90°, 1BC =4 , tanCAB =, 2AC=8.設(shè) OB =x,則 OC =8-x .在 R匕 OBC 中，/C=90

9、°,-2x解得=（8 - x 2 + 42 x=5 ,即。O的半徑為5.過點O作OH，AD于點H.OH過圓心，且 OHAD.11 . AH =，AP，x 在 R3 AOH 中，可得 OH =JAO2 AH即 OH = 25100 -x2（3）在 AOH和4 /C =/OHA,42ACD 中， /HAO =/CAD ,100-x2,OH AHCD AC得 y=8 100 *x定義域為0 <x <4V,5 .Ol1分）（1分）（1分） . AOHs ADC.2分）1分）（1分）1分）1分） P 是 AB 的中點，AP=BP. AO=BO, . PO垂直平分 AB.設(shè) /CAB

10、 =0 ,可求得 ZABO =a , .AOP =90 , . ABD =90 - /ABD =/APB.AB2 ABD）.s .Abd ab 4BP=/D .由 AP=BP可得 /ABP =/PAB . PAB=/D .BD=AB=4JW,即 y=4而./COB=2ot,2OBC=900-2a.APB =2. APO =90 -* *分）分）（1分）,8 100 -x22由y =-4可得x= 50-105= 5010、5s .Abp _SabdABB）xAP ? 50 -105i =（1分）801分）2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形。專題：幾何綜合題；

11、壓軸題。分析：（1）當(dāng)/B=30°時，ZA=60°,此時ADE是等邊三角形，則/PEC玄AED=60°,由此可證得/P=ZB=30°若AEP與4BDP相似，那么/EAP=/EPA4B=ZP=30°,此時EP=EA=1,即可在鼻PEC中求得CE的長；(2)若BD=BQ可在RtABC中，由勾股定理求得BD、BC的長；過C作CF/DP交AB于F,易證得ADEAAFC,根據(jù)得到的比例線段可求出DF的長；進而可通過證BCDBPD,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得BP、BC的比例關(guān)系，進而求出BP、CP的長；在RtCEP中，根據(jù)求得的CP的長及已知的CE的

12、長即可得到/BPD的正切值；(3)過點D作DQLAC于Q,可用未知數(shù)表示出QE的長，根據(jù)/BPD(即/EDQ)的正切值即可求出DQ的長；在RtADQ中，可用QE表示出AQ的長，由勾股定理即可求得EQDQ、AQ的長；易證得ADQsABC,根據(jù)得到的比例線段可求出BD>BC的表達式，進而可根據(jù)三角形周長的計算方法得到V、x的函數(shù)關(guān)系式.解答：解：(1)B=30°,/ACB=90°,BAC=60°. AD=AE, ./AED=60°=/CER/EPC=30. .BDP為等腰三角形.AEP與4BDP相似,/EPA=ZDPB=30°,AE=EP=1

13、. 在RECP中，EC.EP=i;22(2)設(shè)BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：(x+1)2=x2+(2+1)2,解之得x=4,即BC=4.過點C作CF/DP. .ADE與4AFC相似，鹿二即AF=AC,即DF=EC=2ACAFBF=DF=2BC=CP=4.BFCABDP相似,.空BC21即BDBP42 -tan/BPDf44(3)過D點作DQLAC于點Q.則DQE與PCE相似，設(shè)AQ=a,則QE=1-a.二二U且EC CPtan/BPD ="I，DQ=3(1-a). 在RtADQ中，據(jù)勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+3(1a)2,解之得a=l(舍去),

14、a=.ADQ與ABC相似,4二L_.ABBCAC1+x5+5工一翅一，町一-. '-ABC的周長方/舟BC+吃二反”耳-1+置二3+3工，即：y=3+3x,其中x>0.3考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓與圓的位置關(guān)系。專題：代數(shù)幾何綜合題；分類討論。分析：（1）過。的圓心作OE，AC,垂足為E.通過證明ODa4AOE求得卷號，然后將相關(guān)線段的長度代入求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求其定義域；（2）當(dāng)BDOB時，根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式求得y上，x=6.分兩種情況來解答OiA的值當(dāng)點Oi在線段OE33上時，OiE=OE-OOi=2;當(dāng)點Oi在線段EO的延長線上時，

15、OiE=OE+OO=6;|i1（3）當(dāng)點C為AB的中點時，/BOC=ZAOC/AOB=45°,/OCA=ZOCB上_=$工5"，然后由三角形£2的內(nèi)角和定理求得ZDCB=45°,由等量代換求得/DCB=ZBOC.根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明DC'DOC.解答：解：（i）過。的圓心作OE,AC,垂足為E,AE總A1稟OE=2-AeJJ25-5？./DEO=/AOB=90°,.D=90°/EOD=ZAOE,ODKAOE，OE AEOD=y+5,.y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:sJlOQ- x2 53y=定義域為：（i分）當(dāng)BD.時,

16、，言也亨二x=6.AE=，OE=戶亍/當(dāng)點Oi在線段oe上時，OiE=o曰00i=2,0*=°E2+AE?土d2°+3*13,當(dāng)點Oi在線段eo的延長線上時，0iE=0E+00=6,0&二J。E，+AE2n，62+.OOi的半徑為或.(3)存在，當(dāng)點C為的中點時，DCBDOC.證明如下：當(dāng)點C為的中點時，/BOC=ZAOC/AOB=45°,2又oa=oc=ob，/oca=z0CB=±r_Zr_5中,DCB=i80°-/OCA-/OCB=45.，/DCB=/BOC.又/D=/D,DCNDOC.存在點 C,使得 DC酎 DOC.點評：本題主

17、要考查了圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理.此題很復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線OE，AC,禾1J用相似三角形的判定定理及性質(zhì)解答，解答（2）時注意分兩種情況討論，不要漏解.4.解：(i)聯(lián)結(jié)OC,AC是。O的弦,ODLAC,.OD=AD.(i分).DFAE1(AO+OE)xx<CEi 4 4 7 i4 2 7. DF= (AB BE)=(8)二233-OC2=14x2-16=2Vx2-4(i分)22，y=工(4+2Jx24)=2+Vx2-4,定義域為x22.(i+i分)2ii(2)當(dāng)點F在。上時，聯(lián)結(jié)OGOF,EF=CE=OF=4,，OC=OB=AB=4.(分)22DF=2+<42-4

18、=2+2x'；3.(i分)(3)當(dāng)。E與。O外切于點B時，BE=FE.:_2_22CE2-OE2=CO2,22224 47.xi=3.(2x)2-(x4)2=42,3x2-8x-32=0,i分）i分）4-4、7/普+、x2=(舍去).23Jj當(dāng)。E與。內(nèi)切于點B時，BE=FE.CE2OE2=CO2,22.22.(2x)2_(4x)2=42,3x28x_32=0,-4 4.7, , x1 , x2 -31_ _1- DF=_(AB - BE) (822-4-47(舍去).3-44-7、14-2.7一3一31分）1分）當(dāng)。E與。內(nèi)切于點A時，AE=FE.CE2OE2=CO2,一2222一(

19、2x)2(4x)2=42,3x2+8x32=0,-44.7x1=5x21321 2,7-2DF=-AE=-.2 3-4-4.7（舍去）.1分）1分）5.:(1)作DHLBC于H,如圖1,.AD/BC,ABXBC,AB=4,AD=3,DH=4,BH=3,在RtDHC中，sin/DCH=,5DC=5, .CH=-產(chǎn)3，BC=BH+CH=6BP±CD,/BPC=90°,而/DCH=ZBCP, RtADCHRtABCP, =,即36PC弓(2)作PEIAB于E,如圖2, PA=PBAE=BE=AB=2,2 PE/AD/BC, .PE為梯形ABCD的中位線， .PD=PCPE工(AD

20、+B。二(3+6)T2221 Rpc)bc=-,2 2EA+PC=PE以AB為直徑的。O與。P外切；(3)如圖1,作PHBC于F,則CF=QF設(shè)PC=x貝UDP=5-x,PF/DH,.CPDACDH,.,.=,即匕=,解得CF=5CQ=2CF=BQ=BC-CQ=6-,PQ=PG/PQC=ZPCQAD/BC,./ADP+/PCQ=180,而/PQC+ZPQB=180°,/ADP=ZPQB,當(dāng)AD2BQP,整理得2x2-25x+50=0,解得xiJ>,x2=10（舍去），2經(jīng)檢驗x=是原分式方程的解.2PCT;2當(dāng)AD2PQB,整理得5x2-43x+90=0,解得x1=,x2=5（

21、舍去），經(jīng)檢驗x=是原分式方程的解.PC=,如果ADP和4BQP相似，CP的長為至或.225.(1證明：連結(jié)ODQAP切半圓于D,.ODA=.PED=90又QOD=OE,ODE=/OED90.ODE=90.OED.EDA=.PEA,又Q.A=.AADE:.AEP11ODOACBAC4AD x5OD3_3OD=3=OD=3x=OE,同理可得:x55Q ADE : AEPAP _ AE _ yAE -AD 8、-/ 585x464216xyx=yx4y5255x5(x0)(3)由題意可知存在三種情況但當(dāng)E在C點左側(cè)時BF顯然大于4所以不合舍去當(dāng)xA5時APaAB(如圖)4延長DO,BE交于H易證D

22、HE三DJE6.HD=x,QPBE=/PDH=905:PFB:PHD1pbPB=2=AP=6612xx55DC BC二點 P 在射線 DH 上，且 ZCDP-Z.tBC,二 DP BA或空=%DP EC j .2 分7.VI 3V2 77 44T3即加="T或而二*一*二%，g .5, F(L )或P(U 5)25、解：(1)作于:0H過圓心，AP是弦,，APFAH,-在 R1A_*OH 中 ,tanj OA=3 ； B OH=k AH=2k 7由小小二的：十加小得左二|在,AP=2AH=£5 廉結(jié)P0,聯(lián)結(jié)OQ：QQ 過點尸、3 JPQ=OQj，/QPQ=/Q。巳 二日。

23、過點 R 乙二POAO#，/QPO=/A7 .:/QOP=NAj 又£P-/P.QP0sA0PAj -AF AOjc 397 = Tr > PP - = _ f J 1 = ， 0 < 工 W 68 QO3 y工G)作FF_U(7于F,聯(lián)結(jié)0P,設(shè)的半徑長為r = - > .,.ifiPF=4a> A?=3a> a>0, .,.OF=3-3a； 3在RtAOPF中，: 口產(chǎn)=產(chǎn)”產(chǎn),即9 = (3>+16口、:*巴小X*竺255即工=-j . Q。= j = = = - j ,5x 18 25"同B寸與®O相內(nèi)切J與0Q相

24、外切,M0=3-口 QM=- + r ,-2-：OM±_OQ，在 KtAOMQ 中，乩應(yīng)一 =OA15 +。15 r7 5T即(； +y =0吁一(；)丁99-，即0皿的半徑長為11112分1分2分-2分j1分2分8.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相交兩圓的性質(zhì)；正多邊形和圓。專題：計算題；證明題。分析：(1)過點M作MNLAC,垂足為N,可得比時=聶再根據(jù)PMMB,又AB是圓。的直徑，可得昨赤十方在RtA PNM中，再利用gs/匹后粵即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)設(shè)圓M的半徑為r,利用勾股定理求出OM,根據(jù)OMAsPMC,可彳#PMC是直角三角形.然后可得/CPM、

25、/PCM都不可能是直角.又利用/AOM=2/Pw/P,可得即若OMA與4PMC相似，其對應(yīng)性只能是點O與點C對應(yīng)、點M與點P對應(yīng)、點A與點M對應(yīng).從而求得OM,然后即可求得。M的半徑長.(3)假設(shè)存在。M,使得AB、AC恰好是一個正五邊形的兩條邊，連接OA、MA、MC、AQ,設(shè)公共弦AB與直線OM相交于點G,由正五邊形求得/AMB和/BAC,再利用AB是公共弦，OM，AB,/AMO=36°,從而求得/AOM=/AMO,在求證MAQsMOA,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得.解答：解：(1)過點M作MNLAC,垂足為N,由題意得：PMXAB,又AB是圓。的直徑,OA=OP=1,/APO=45°,在 RtA PNM 中,PN bm/NPM 二rl又 PM=1+x, / NPM=45° ,COs4b _ 1+x - 2 y關(guān)于x的函數(shù)解析式為血（X> 1）,(2)設(shè)圓M的半徑為r,.OAXMA,/ OAM=90 °, 0M=Vr2+l又.OMAAPMC, .PMC是直角三角形. OA=OP,MA=MC, /CPM、/PCM都不可能是