初中數學因式分解教學之淺見

1、初中數學因式分解教學之淺見泰州市民興實驗中學 賀 眉摘要：初中數學中，運算是十分重要的環(huán)節(jié)，因式分解常被廣泛用于初等教學中。只有掌握好因式分解，方能夠簡化運算步驟，使運算速度有一個質的飛躍。學好因式分解，可以為以后的學習打好基礎，學生在未來的學習中會更加如魚得水，得心應手。關鍵詞： 因式分解 公因式 靈活性 平方差初中數學中，因式分解常被廣泛用于初等教學中。比如，在初中數學八年級的教學中，分式中處處都能體現出因式分解的重要，不管是在分式運算中的通分、約分等各種運算中，都需要使用到因式分解。所以，學好它，可以為以后的學習打好基礎，又可以培養(yǎng)學生的觀察、注意、分析能力。因式分解常用的方法有提公因式

2、法、公式法，一些特殊的因式分解問題還會用到分組分解法、配方法、十字相乘法等，其中分組和配方的目的是為了可以產生新的公因式和可以使用公式法分解的形式，從而達到分解因式的目的。一、在實際教學中因式分解常用方法1、提公因式法如果多項式的各項有公因式，那么就可以把各項含有的這個公因式提到括號外，把多項式寫成公因式與另一個多項式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 ab+ac+ad = a(b+c+d)例1：-3x3+6x2-12x = -(3x3-6x2+12x)=-3x(x2-2x+4)上題多項式的第一項是負的，這里負指的“負號”，一般要把負號提出來，使括號里的第一項是正的。但是，也不是看

3、見負號就把它提出來，要對題目進行全面分析。2、運用公式法根據因式分解的概念，可以看出，如果把乘法公式反過來應用，就可以對多項式分解因式。這種使用公式分解因式的方法稱為運用公式法。（1）完全平方公式 a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， a2-2ab+b2 = (a-b)2（2）平方差公式 a2-b2 = (a+b) (a-b)例2: 4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)上題里學生容易忽略這個多項式可以先提一個公因式，直接使用平方差公式。公示的套用容易使學生的思維僵化，導致在運算過程中思維僵化，不能靈活運用公式，隨機應變。而我們在做因式分解的時候，應該首先考慮使用提公

4、因式法，然后再考慮使用公式法。3、分組分解法當一個多項式沒有公因式可以提取，而且又無法直接使用公式時，就可以考慮利用分組分解法來分解因式。分組分解法：把一個多項式先分組，再進行因式分解的方法。通常有兩種類型：一種是分組后提公因式；另一種是分組后利用公式分解。分組分解法的關鍵就是如何恰當的分組。例3：a2+2b-ab-2a = (a2-ab)+(-2a+2b) =a(a-b)-2(a-b) =(a-b)(a-2)題中可以發(fā)現，前面的提公因式法和公式法不好直接使用，通過觀察我們可以把這個多項式進行分組，然后就可以提取公因式，進行因式分解，特別注意分組分解必須有明確的分組。4、十字相乘法十字相乘法的

5、對象是一個二次三項式：x2+(p+q)x+pq，它的特點是二次項系數是1，常數項是兩個積，一次項系數是常數項的兩個因數的和。所以，對于這類特殊的二次三項式我們可以進行因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。例4：x2+5x+6=(x+2)(x+3)上題中，常數項6可以分解成2和3兩個因數，并且2和3的和恰好等于這個一次項的系數，所以我們可以采用十字相乘法。上面就是我們因式分解中的四個常用的方法，而我們進行因式分解的時候，一般按照先提公因式，再使用公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。因式分解是數學中的重要內容，數學運算中離不開因式分解，因此必須扎實地打好基礎。二、因式分解中存

6、在的誤區(qū)在初中數學的學習中，運算是十分重要的環(huán)節(jié)，而因式分解又是運算技巧中不可或缺的環(huán)節(jié)，只有掌握好因式分解，方能簡化運算步驟，使運算速度有一個質的飛躍。學好因式分解，學生在未來的學習中會更加如魚得水，得心應手。但由于不少學生在因式分解過程中容易走進誤區(qū)，產常犯錯誤，對因式分解還不能熟練掌握，導致運算結果出現不理想。1、 概念理解錯誤概念是運算必須遵循的法則，是架起因式分解的靈魂橋梁。因式分解的概念是把多項式轉化成整式乘積的形式。例如=x（x2）+1，結果不是兩個整數乘積的形式，而仍舊是和的形式1。正確的解法應當是化為積的形式；因式分解的最終結果就是整式乘積，而學生會忽略整式兩個字，例如=x（

7、x-2x），常常考試時也會失分。2、 分解不徹底在因式分解的過程中，常常需要分解多次，提公因式法和運用公式法混合使用，不少學生沒有分解完全就不再做下去了。在考試時出現這樣的錯誤，這樣白白丟分不免遺憾。例如4x2-16 = 4(x2-4) 做到這里就不再進行分解了，而實際上多項式x2-4我們還能夠使用平方差公式進行因式分解，正確應該是4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)3、 相同因式不合并相同的因式指的就是像（a+b）和（a+b）這樣兩個一模一樣的公式，在運算的最后，一定要將這樣相同的因式進行合并，力求讓結果最簡，寫成冪的形式。大多數的錯誤，都是由于學生的粗心造成的，仔細

8、檢查是可以避免的2。4、 符號出錯符號問題主要出現在正負號上，不少學生容易犯的錯誤，在提公因式時需要將括號里的符號改變過來，學生做的時候，容易忘記變號或者沒有括號內每一項都改變符號。例如-2a-abc就要轉變?yōu)?a（2+bc）的形式，符號提到括號外了，應當符號轉變?yōu)檎枺绻允秦撎?，運算結果就是錯誤的。三、巧用因式分解，靈活解決問題因式分解方法的靈活性、技巧性較強，就初中數學而言，掌握這些方法和技巧極其重要。不僅是掌握因式分解的基礎內容，還有發(fā)展學生的思維能力和解題技巧。因式分解是初中必學的運算技巧，也對今后更高難度數學的學習有很大影響。1、整除問題例：248-1能被60和70之間的兩個數整

9、除。這兩個數各是多少？分析：因為48=224，所以248=(224)2，這樣就可以使用平方差公式進行因式分解。解： 248-1=(224)2-1=(224+1) (224-1) =(224+1)(212)2-1 =(224+1) (212+1) (212-1)=(224+1) (212+1) (26)2-1 =(224+1) (212+1) (26+1) (26-1)=(224+1) (212+1) (26+1) (23)2-1 = (224+1) (212+1) (26+1) 97= (224+1) (212+1) 6563 因為，整除的兩個數在60和70之間，606570，606370，所

10、以這兩個數分別是65和63。2、條件求值問題例：已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求多項式a2+b2+c2abbcac的值。分析：解題過程中，觀察題目的特點。由a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求得ab=1，ac=2，bc=1，然后把多項式a2+b2+c2abbcac合理分成兩組，各組再進行因式分解，整體代入法求值。解：a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010ab=1，ac=2，bc=1 ，a2+b2+c2abbcac= ( a22ab+b2 )+ (abacbc +

11、c2 ) =(ab)2 + (ac)(bc) = (1)2+(2)(1) =1+2=33、圖形形狀問題例：已知ABC的三邊a、b、c滿足關系式：a2-c2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。分析：此題實際上考察多項式因式分解，先對等號左邊多項式因式分解，分解的時，先進行恰當的分組，把a2和-c2分為一組，2ab和-2bc分為一組，然后提公因式3。證明：a2-c2+2ab-2bc=0 ， (a2-c2)+(2ab-2bc)=0 ， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 ， (a-c) (a+c+2b)=0 ， a、b、c是ABC的三條邊， a+c+2b0 a-c=0，即a=c， ABC為等腰三角形。總而言之，讓學生掌握好因式分解，熟練運用因式分解