人教版高中數(shù)學(xué)《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)(全國一等獎(jiǎng))

1、二項(xiàng)式定理（第1課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與證明內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版選修23第一章第3節(jié)的內(nèi)容二項(xiàng)式定理是多項(xiàng)式乘法的特例，是初中所學(xué)多項(xiàng)式乘法的延伸，此內(nèi)容安排在組合數(shù)模型之后，隨機(jī)變量及其分布之前，既是組合計(jì)數(shù)模型的一個(gè)應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布作準(zhǔn)備另外，由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項(xiàng)式定理可以導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對深化組合數(shù)的認(rèn)識有好處。由于二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)，可以通過從特殊到一般進(jìn)行歸納概括，在歸納概括過程中還可以用到組合計(jì)數(shù)模型，因此，這部分內(nèi)容對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有著不可忽略的價(jià)值教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引起充分重視二、學(xué)情分析這一堂課

2、是面對高二學(xué)生。學(xué)生已經(jīng)初步具備了多項(xiàng)式乘法，同類項(xiàng)合并，排列計(jì)數(shù)原理，組合數(shù)計(jì)數(shù)原理以及歸納推理等知識儲備。能夠在教師的引導(dǎo)下理解并掌握本節(jié)課中的推理演繹過程。但是，學(xué)生的自我探究，歸納，分析的能力還有待提高。三、課程學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）知識目標(biāo)：使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理及推導(dǎo)方法，二項(xiàng)式展開式、通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，并能利用二項(xiàng)式定理計(jì)算或證明一些簡單問題。（2）能力目標(biāo)：在學(xué)生對二項(xiàng)式定理形成的參與討論過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的能力，以及學(xué)生的化歸意識及知識遷移能力。（3）情感目標(biāo)：通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣和信心，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學(xué)符號應(yīng)用的簡潔美。四

3、、設(shè)計(jì)思想：本課采用合作探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。目標(biāo)解析：（1）二項(xiàng)式展開式是依多項(xiàng)式乘法獲得的特殊形式，因此從多項(xiàng)式乘法出發(fā)去發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律但歸納概括的結(jié)論，如果不加以嚴(yán)格的證明不符合數(shù)學(xué)的基本要求因此，在歸納概括的過程中，用好組合模型不僅可以更自然地得到結(jié)論，還能為證明二項(xiàng)式定理提供方法 （2）由于二項(xiàng)展開式是一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式如果不把其看成一個(gè)數(shù)列的和，引進(jìn)數(shù)列的通項(xiàng)幫助理解與應(yīng)用，學(xué)生很難短期內(nèi)對定理有深入

4、的認(rèn)識因此，通過一些特例，建立二項(xiàng)式展開式與數(shù)列及數(shù)列和的聯(lián)系，是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的一個(gè)重要途徑（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會(huì)去落實(shí)在二項(xiàng)式定理的教學(xué)中，從特殊的二項(xiàng)式展開式的特征歸納概括一般二項(xiàng)式展開式的規(guī)律是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會(huì)；同時(shí)利用組合計(jì)數(shù)模型證明二項(xiàng)式定理，以及利用二項(xiàng)式定理這個(gè)模型解決問題，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)的好機(jī)會(huì)基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：發(fā)現(xiàn)并證明二項(xiàng)式定理五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)： (1) 使學(xué)生參與并深刻體會(huì)二項(xiàng)式定理的形成過程，掌握二項(xiàng)式定理；（2）能正確應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決一些簡單的問題。 難點(diǎn): (1) 二

5、項(xiàng)式系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系；（2）二項(xiàng)展開式的應(yīng)用及一些易混淆的概念。 六、教學(xué)策略分析數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維發(fā)展的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律是最好的途徑。正所謂“學(xué)問之道，問而得，不如求而得之，深固之?！北竟?jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學(xué)原則以啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極探求為主，創(chuàng)設(shè)一個(gè)以學(xué)生為主體，師生互動(dòng)，共同探索的教與學(xué)的情境，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生熟悉的多項(xiàng)式乘法入手，進(jìn)行分析，又可利用組合的有關(guān)知識加以分析、歸納，通過對二項(xiàng)展開式規(guī)律的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般，經(jīng)過觀察分析、猜想、歸納（證明）來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納能力。不僅重視知識的結(jié)果，而

6、且注重了知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和解決的過程，貫徹了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，培育了本節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點(diǎn)”，這對于學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有積極意義的。 七、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧前知引出猜想問題1 今天是星期五,7天后的這一天是星期幾呢？15天后的這一天呢？問題2若今天是星期五,再過8100天后的那一天是星期幾?問題3為了解決問題2，需要用到的展開，你認(rèn)為這個(gè)展開式式會(huì)怎樣呢？教師1： 提出問題1學(xué)生1：學(xué)生思考教師2：提出問題2 學(xué)生2：學(xué)生思考教師3：寫出并觀察、的展開式，你能得到哪些規(guī)律？學(xué)生3：利用多項(xiàng)式乘法得出的展開式教師4：引導(dǎo)學(xué)生分析 、 、的展開式特

7、點(diǎn)學(xué)生4：探究的展開式。教師5：的展開式是怎樣的？學(xué)生5：發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的次數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)并猜想：的展開式問題引入提出問題引導(dǎo)學(xué)生通過對特殊情形的觀察，歸納猜想一般情形的基本特征教師引導(dǎo)，學(xué)生根據(jù)所得具體的展開式，從展開式中的項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的次數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)等角度進(jìn)行歸納，并根據(jù)歸納所得猜想一般的展開式的結(jié)果學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的歸納猜想的過程探尋規(guī)律 獲得結(jié)論問題4 猜想一：中的？教師6：提出問題3學(xué)生6：引起思考，并提出想法教師7：提出問題：在中，為什么“，”？學(xué)生7：學(xué)生根據(jù)所得的計(jì)算結(jié)果，觀察得到展開式的項(xiàng)的特點(diǎn)：展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號中“取且只取”一個(gè)字母相乘得到的展開式中的項(xiàng)是由，后合并

8、同類項(xiàng)得到從三個(gè)括號中的一個(gè)括號選擇“”剩余兩個(gè)括號選擇“”構(gòu)成的，因?yàn)閺娜齻€(gè)括號中的一個(gè)括號選擇“”，一旦確定哪個(gè)括號選“”，剩余兩個(gè)括號選擇也就確定了，因?yàn)椤啊庇腥N選擇，所以對應(yīng)同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)就為，即“”的系數(shù)為教師8：能否用計(jì)數(shù)模型進(jìn)行解釋？學(xué)生8：“”可以看成是從三個(gè)括號中選擇一個(gè)括號選“” ，剩余兩個(gè)括號選擇“”，完成這件事的所有可能，要做這件是，我們可分成兩步來完成：第一、從三個(gè)括號中選擇一個(gè)括號選“”，有種選擇；第二、剩余兩個(gè)括號選擇“”就種選法，故有種選法，所以，依此可以得到其它系數(shù)的組合數(shù)形式：教師9：根據(jù)所得展開式的規(guī)律，你能否得猜想的展開式中的值？學(xué)生9：一般問題回到特殊

9、情形進(jìn)行研究把問題回到已知的結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理學(xué)生通過計(jì)算器得到計(jì)算結(jié)果教師通過引導(dǎo)學(xué)生對展開式各項(xiàng)構(gòu)成的觀察，得到項(xiàng)的構(gòu)成通過特殊與一般的項(xiàng)的關(guān)系對比，得到對系數(shù)意義的理解根據(jù)展開式系數(shù)即同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)這一結(jié)論，引導(dǎo)同學(xué)們通過一般到特殊，用組合計(jì)數(shù)模型對各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行研究得到展開式系數(shù)的猜想證明定理明晰概念問題5 你能證明嗎？問題6 從數(shù)列的角度看二項(xiàng)式展開式，你能獲得什么認(rèn)識？ 問題7你能根據(jù)的展開式得出的展開式嗎？ 課堂練習(xí)1(1)求的展開式；(2)求的展開式課堂練習(xí)2 求展開式中的系數(shù)教師10：提出問題3學(xué)生10：提出想法教師11：你認(rèn)為證明問題3，關(guān)鍵是幾步？學(xué)生11：（1）項(xiàng)的結(jié)構(gòu)；（2）項(xiàng)

10、的系數(shù)教師12：證明：是個(gè)相乘，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，展開式每一項(xiàng)都滿足（）對項(xiàng)（）看成問題：從個(gè)括號中選擇個(gè)括號選“” ，剩余括號選擇“”，相乘而成可這樣設(shè)計(jì)計(jì)數(shù)模型，要做這件事，可分成兩步來完成：第一、從個(gè)括號中選擇個(gè)括號選“”，有種選擇；第二、剩余括號選擇“”就種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有種選法所以，項(xiàng)的同類項(xiàng)有，故的系數(shù)為（）所以，展開式每一項(xiàng)滿足（）教師13：上述公式叫二項(xiàng)式定理，展開式共有項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)（）叫做二項(xiàng)式系數(shù)教師14：提出問題4學(xué)生14： 二項(xiàng)展開式可以看成是一個(gè)數(shù)列的和，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，表示數(shù)列第項(xiàng)教師15：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)是展開式中第項(xiàng)：教師16：引例：今天是星期

11、五，若8 天后的這一天是星期幾呢？解: +c7+c7被7除的余數(shù)是1，因此 天后的這一天是星期六. 教師17：例1:求 (1+2x) 的展開式.求(1-2x) 展開式第三項(xiàng)以及其二項(xiàng)式系數(shù)，求x3項(xiàng)的系數(shù)師生共同完成。教師18：布置課堂練習(xí)1、2學(xué)生15：完成課堂練習(xí)。 由歸納猜想到理論證明引導(dǎo)提煉學(xué)生提煉證明要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)規(guī)范表達(dá)明晰概念學(xué)生從數(shù)列的角度獲得對二項(xiàng)式展開式的再認(rèn)識讓學(xué)生體會(huì)利用二項(xiàng)式定理模型進(jìn)行計(jì)算，感受數(shù)學(xué)模型的在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值課堂練習(xí)1 熟悉二項(xiàng)式定理模型課堂練習(xí)2讓學(xué)生體會(huì)用通項(xiàng)公式表示展開式的簡潔性 課堂小結(jié)升華認(rèn)知問題8你從二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用的過程中體會(huì)到一些什么？課后練習(xí)1寫出的展開式2寫出的展開式的第項(xiàng) 課后思考1的展開式為 2請同學(xué)們觀察下表（我國宋朝時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝所做的一個(gè)表），你有什么發(fā)現(xiàn)？教師18：提出問題6學(xué)生16：本節(jié)課獲取二項(xiàng)式定理的過程：先由特殊察、的展開式猜想一般的展開式項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，再通過對特殊形式展開式項(xiàng)的研究得到的展開式項(xiàng)的規(guī)律，最后進(jìn)行理論證明；課堂展示了獲取一個(gè)一般性結(jié)