2017年挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題全套

1、第一部分 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問題§11因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 §12因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題 §13因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題 §14因動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題§15因動點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題§16因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題§17因動點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題第二部分 圖形運(yùn)動中的函數(shù)關(guān)系問題§21由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三部分 圖形運(yùn)動中的計(jì)算說理問題§31代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題§32幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題第四部分 圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)§41圖形的平移§

2、;42圖形的翻折§43圖形的旋轉(zhuǎn)§44三角形§45四邊形§46圓§47函數(shù)的圖象及性質(zhì)§11 因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)如果已知AD，探求ABC與DEF相似，只要把夾A和D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等應(yīng)用判

3、定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個三角形是直角三角形的問題求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個公式容易記錯理解記憶比較好如圖1，如果已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求A、B兩點(diǎn)間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了水平距離BC的長就是A、B兩點(diǎn)間的水平距離，等于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就是A、B兩點(diǎn)間的豎直距離，等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減圖1 圖1 圖2例 1 湖南省衡陽市中考第2

4、8題二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3m)（m0），頂點(diǎn)為D（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當(dāng)m2時，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似？動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動點(diǎn)P運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AC的中點(diǎn)的正下方時，APC的面積最大拖動y軸上表示實(shí)數(shù)m的點(diǎn)運(yùn)動，拋物線的形狀會改變，可以體驗(yàn)到，ACD和ADC都可以成為

5、直角思路點(diǎn)撥1用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便2連結(jié)OP，APC可以割補(bǔ)為：AOP與COP的和，再減去AOC3討論ACD與OBC相似，先確定ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在兩種情況圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x3)(x1)代入點(diǎn)C(0,3m)，得3m3a解得am所以該二次函數(shù)的解析式為ym(x3)(x1)mx22mx3m（2）如圖3，連結(jié)OP當(dāng)m2時，C(0,6)，y2x24x6，那么P(x, 2x24x6)由于SAOP(2x24x6)3x26x9， SCOP3x，SAOC9，所以SSAPCSAOPSCOP

6、SAOC3x29x所以當(dāng)時，S取得最大值，最大值為圖3 圖4 圖5 圖6（3）如圖4，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為E過點(diǎn)A作x軸的垂線交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC與OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為13m如圖4，當(dāng)ACD90°時，所以解得m1此時，所以所以CDAOBC如圖5，當(dāng)ADC90°時，所以解得此時，而因此DCA與OBC不相似綜上所述，當(dāng)m1時，CDAOBC考點(diǎn)伸展 第（2）題還可以這樣割補(bǔ)： 如圖6，過點(diǎn)P作x軸的垂線與AC交于點(diǎn)H由直線AC：y2x6，可得H(x,2x

7、6)又因?yàn)镻(x, 2x24x6)，所以HP2x26x因?yàn)镻AH與PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點(diǎn)間的水平距離3，所以SSAPCSAPHSCPH(2x26x) 例 2 2014年湖南省益陽市中考第21題如圖1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60°，AB10，BC4，點(diǎn)P沿線段AB從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)APx2·1·c·n·j·y（1）求AD的長；（2）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；圖1（3）設(shè)ADP與PCB的外接圓的

8、面積分別為S1、S2，若SS1S2，求S的最小值. 動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14益陽21”，拖動點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，圓心O的運(yùn)動軌跡是線段BC的垂直平分線上的一條線段觀察S隨點(diǎn)P運(yùn)動的圖象，可以看到，S有最小值，此時點(diǎn)P看上去象是AB的中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已思路點(diǎn)撥1第（2）題先確定PCB是直角三角形，再驗(yàn)證兩個三角形是否相似2第（3）題理解PCB的外接圓的圓心O很關(guān)鍵，圓心O在確定的BC的垂直平分線上，同時又在不確定的BP的垂直平分線上而BP與AP是相關(guān)的，這樣就可以以AP為自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式圖文解析（1）如圖2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60&#

9、176;，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因?yàn)锳PD是直角三角形，如果APD與PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如圖3，當(dāng)CPB90°時，AP1028所以，而此時APD與PCB不相似圖2 圖3 圖4如圖4，當(dāng)BCP90°時，BP2BC8所以AP2所以所以APD60°此時APDCBP綜上所述，當(dāng)x2時，APDCBP（3）如圖5，設(shè)ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn)G是斜邊DP的中點(diǎn)設(shè)PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F設(shè)AP2m作OMBP于M，那么BMPM5m在RtBEF中，BE2，B60

10、6;，所以BF4在RtOFM中，F(xiàn)MBFBM4(5m)m1，OFM30°，所以O(shè)M所以O(shè)B2BM2OM2在RtADP中，DP2AD2AP2124m2所以GP23m2于是SS1S2(GP2OB2)所以當(dāng)時，S取得最小值，最小值為圖5 圖6考點(diǎn)伸展關(guān)于第（3）題，我們再討論個問題問題1，為什么設(shè)AP2m呢？這是因?yàn)榫€段ABAPPMBMAP2BM10這樣BM5m，后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算這不影響求S的最小值問題2，如果圓心O在線段EF的延長線上，S關(guān)于m的解析式是什么？如圖6，圓心O在線段EF的延長線上時，不同的是FMBMBF(5m)41m此時OB2BM2OM2這并不影響S關(guān)于m的解析式例

11、 3 2015年湖南省湘西市中考第26題如圖1，已知直線yx3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個單位的速度勻速運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒個單位的速度勻速運(yùn)動，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時，APQ為直角三角形；（3）過點(diǎn)P作PE/y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF/y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)EF，當(dāng)EF/PQ時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、B、P為頂點(diǎn)的三角形相似

12、？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15湘西26”，拖動點(diǎn)P在OA上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，APQ有兩個時刻可以成為直角三角形，四邊形EPQF有一個時刻可以成為平行四邊形，MBQ與BOP有一次機(jī)會相似思路點(diǎn)撥1在APQ中，A45°，夾A的兩條邊AP、AQ都可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ2先用含t的式子表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)PEQF列方程就好了3MBQ與BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論圖文解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入yx2

13、bxc，得 解得所以拋物線的解析式為yx22x3（2）在APQ中，PAQ45°，AP3t，AQt分兩種情況討論直角三角形APQ：當(dāng)PQA90°時，APAQ解方程3t2t，得t1（如圖2）當(dāng)QPA90°時，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如圖3）圖2 圖3圖4 圖5（3）如圖4，因?yàn)镻E/QF，當(dāng)EF/PQ時，四邊形EPQF是平行四邊形所以EPFQ所以yEyPyFyQ因?yàn)閤Pt，xQ3t，所以yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t因?yàn)閥EyPyFyQ，解方程3t(t24t)t，得t1，或t3（舍去）所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2, 3)（4）由yx22x3

14、(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，BM所以MBQBOP90°因此MBQ與BOP相似存在兩種可能：當(dāng)時，解得（如圖5）當(dāng)時，整理，得t23t30此方程無實(shí)根考點(diǎn)伸展第（3）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照PE方向，將點(diǎn)Q向上平移，得F(3t, 3)再將F(3t, 3)代入yx22x3，得t1，或t3§12 因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 我們先回顧兩個畫圖問題：1已知線

15、段AB5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算哪些題目適合用幾何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是確定的，夾A的兩邊AB和

16、AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法如圖1，如果ABAC，直接列方程；如圖2，如果BABC，那么；如圖3，如果CACB，那么代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來圖1 圖2 圖3 圖1例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與x軸

17、相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙，原來P在x軸上截得的弦長MN4是定值2等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個值，根據(jù)對稱性，MAMN和NANM時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的圖文解析（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x

18、軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3圖4 圖5如圖4，當(dāng)MAMN時，在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)NANM時，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為如圖6，當(dāng)NANM4時，在RtAON中，OA2，AN4，所以O(shè)N2此時xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖7，當(dāng)MNMA4時，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為圖6 圖7考

19、點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與直線y1相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，P始終與直線y1相切例 10 2014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線yax2bxc（a0）過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10, 0)和，以O(shè)B為直徑的A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是A上一動點(diǎn)（不同于O、B），過點(diǎn)M作A的切線

20、，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動，經(jīng)過t（0t8）秒時恰好使BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動點(diǎn)M在圓上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高拖動點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，BPQ有三個時刻可以成為等腰三角形 思路點(diǎn)撥1從直線BC的解析式可以得到OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便3第（3）題連結(jié)AE

21、、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高 4第（4）題的PBQ中，B是確定的，夾B的兩條邊可以用含t的式子表示分三種情況討論等腰三角形圖文解析（1）直線BC的解析式為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(10, 0)兩點(diǎn)，設(shè)yax(x10)代入點(diǎn)C，得解得所以拋物線的頂點(diǎn)為（3）如圖2，因?yàn)镋F切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90°所以51由tan5tan1，得所以ME·MFMA2，即mn25 圖2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三種情況討論等腰三角形BPQ：如圖3，當(dāng)BPBQ時，10tt解

22、得t5如圖4，當(dāng)PBPQ時，解方程，得 如圖5，當(dāng)QBQP時，解方程，得圖3 圖4 圖5 圖6考點(diǎn)伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的G與x軸相切于點(diǎn)A如圖6，這是因?yàn)锳G既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以G與x軸相切于點(diǎn)A例 11 2014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2(mn)xmn（mn）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（1）若m2，n1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，求ACB的大??；（3）若m2，ABC是等腰三

23、角形，求n的值動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，ABC保持直角三角形的形狀點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動，觀察ABC的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況思路點(diǎn)撥1拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用m，n表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)2第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比3第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程圖文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，可知A(

24、m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如圖1，由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1，OC1若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，那么OA·OBm(n)mn1所以O(shè)C2OA·OB所以所以tan1tan2所以12又因?yàn)?與3互余，所以2與3互余所以ACB90°（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2當(dāng)ABAC時，解方程(n2)244n2，得（如圖2）當(dāng)CACB時，解方程44n2

25、5n2，得n2（如圖3），或n2（A、B重合，舍去）當(dāng)BABC時，解方程(n2)25n2，得（如圖4），或（如圖5）圖1 圖2 圖3圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90°第（3）題在討論等腰三角形ABC時，對于CACB的情況，此時A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，可以直接寫出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在AB

26、C中，ACB90°，AC4cm，BC3cm如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為1cm/s連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0t4），解答下列問題：（1）設(shè)APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結(jié)PC，將PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，當(dāng)四邊形PQPC為菱形時，求t的值；（3）當(dāng)t為何值時，APQ是等腰三角形？圖1 圖2 圖3 圖4動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時，APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在

27、三種情況還可以體驗(yàn)到，當(dāng)QC2HC時，四邊形PQPC是菱形思路點(diǎn)撥1在APQ中，A是確定的，夾A的兩條邊可以用含t的式子表示2四邊形PQPC的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時，它是菱形，圖文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ當(dāng)時，S取得最大值，最大值為（2）設(shè)PP與AC交于點(diǎn)H，那么PPQC，AHAPcosA如果四邊形PQPC為菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得（3）等腰三角形APQ存在三種情況：如圖5，當(dāng)APAQ時，5tt解得如圖6，當(dāng)PAPQ時，解方程，得如圖7，當(dāng)QAQP時，解方程得圖5

28、 圖6 圖7圖8考點(diǎn)伸展在本題情境下，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，求t的值如圖8，如果點(diǎn)Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 例 13 2015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知RtABC中，C90°，AC8，BC6，點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從A向C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從ABC方向運(yùn)動，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒（1）在運(yùn)動過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動，求ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在時間t，使得PQC為等腰三角形若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由

29、（，結(jié)果保留一位小數(shù)）動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點(diǎn)P在AC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況 思路點(diǎn)撥1過點(diǎn)B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值2線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上3等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長圖文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，作BD/PQ交AC于點(diǎn)D，那么所以AD5所以CD3如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，又因?yàn)?，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是圖

30、1圖2 圖3 圖4（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，5t8，SABC24因?yàn)镾CQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，CQ2CP，C90°，所以PQC不可能成為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，我們先用t表示PQC的三邊長：易知CP8t如圖2，由QP/BD，得，即所以如圖4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）當(dāng)PCPQ時，解方程，得3.4（如圖5所示）當(dāng)QCQP時，整理，得所

31、以(11t40)(t8)0解得3.6（如圖6所示），或t8（舍去）當(dāng)CPCQ時，整理，得解得3.2（如圖7所示），或t0（舍去）綜上所述，當(dāng)t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時，PQC是等腰三角形圖5 圖6 圖7圖8 圖9考點(diǎn)伸展第（1）題求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值，可以用代數(shù)計(jì)算說理的方法：如圖8，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，PQ當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為如圖9，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，PQ當(dāng)Q與B重合時，PQ最大，此時t5，PQ的最大值為綜上所述，PQ的最大值為§13 因動點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先看三個問題：1已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形A

32、BC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3已知點(diǎn)A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)圖1 圖2 圖3圖4如圖1，點(diǎn)C在垂線上，垂足除外如圖2，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B，共6個解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更

33、簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點(diǎn)C如果作BDy軸于D，那么AOCCDB設(shè)OCm，那么這個方程有兩個解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個交點(diǎn) 例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：yx2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對稱

34、點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點(diǎn)P，求PAA與PBB的面積之比 圖1 圖2圖3 圖4動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點(diǎn)P在拋物線E1上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)P始終是線段OP的中點(diǎn)還可以體驗(yàn)到，直角三角形QBB有兩個思路點(diǎn)撥1判斷點(diǎn)P是線段OP的中點(diǎn)是解決問題的突破口，這樣就可以用一個字母表示點(diǎn)P、P的坐標(biāo)

35、2分別求線段AABB，點(diǎn)P到AA的距離點(diǎn)P到BB的距離，就可以比較PAA與PBB的面積之比圖文解析（1）當(dāng)x1時，yx21，所以A(1, 1)，m1設(shè)拋物線E2的表達(dá)式為yax2，代入點(diǎn)B(2,2)，可得a所以yx2（2）點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：如圖3，過點(diǎn)B作BB的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)如圖4，以BB為直徑的圓D與拋物線E1交于點(diǎn)Q，那么QD2設(shè)Q(x, x2)，因?yàn)镈(0, 2)，根據(jù)QD24列方程x2(x22)24解得x此時Q（3）如圖5，因?yàn)辄c(diǎn)P、P分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b, b2)，P(c, )因?yàn)镺、P、P三點(diǎn)在同一

36、條直線上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點(diǎn)P到直線AA的距離PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得點(diǎn)P到直線BB的距離PN2b22所以PAA與PBB的面積比2(b21)4(2b22)14 考點(diǎn)延伸第（2）中當(dāng)BQB90°時，求點(diǎn)Q(x, x2)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方法三，作QHBB于H，那么QH2BH·BH所以(x22)2(x2) (2x)圖5 圖6圖1

37、圖2例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，動點(diǎn)Q以每秒個單位長度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，連結(jié)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t2時，延長QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請說明理由動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15湘潭

38、26”，拖動點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，BPQ有兩次機(jī)會可以成為直角三角形還可以體驗(yàn)到，點(diǎn)N有一次機(jī)會可以落在拋物線上 思路點(diǎn)撥1分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，那么MQNP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，所以y(x1)(x3)x22x3（2）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45°在BPQ中，B45°，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在兩種情況：當(dāng)BPQ90°時，B

39、QBP解方程t(4t)，得t2（如圖3）當(dāng)BQP90°時，BPBQ解方程4t2t，得t（如圖4）圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G恰為MN的中點(diǎn)時，MQNP作QEy軸于E，作NFx軸于F，作QHx軸于H，那么MQENPF由已知條件，可得P(t1, 0)，Q(3t,t)由QEPF，可得xQxNxP，即3txN(t1)解得xN2將x2代入y(x1)(x3)，得y3所以N(2,3)由QH/NF，得，即整理，得t29t120解得因?yàn)閠2，所以取考點(diǎn)伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得所以xN2xG2§14 因動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學(xué)我們先思考三個問題

40、：1已知A、B、C三點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個，怎么畫？2在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1 圖2 圖3圖4如圖1，過ABC的每個頂點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點(diǎn)D如圖2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？點(diǎn)B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點(diǎn)A重合，因?yàn)锽A與CD平行且相等，所以點(diǎn)C(3, 1) 先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點(diǎn)D(5, 4)如圖3，如果平行四邊形ABCD的

41、對角線交于點(diǎn)G，那么過點(diǎn)G畫任意一條直線（一般與坐標(biāo)軸垂直），點(diǎn)A、C到這條直線的距離相等，點(diǎn)B、D到這條直線的距離相等關(guān)系式xAxCxBxD和yAyCyByD有時候用起來很方便我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合如圖4，點(diǎn)A是拋物線yx22x3在x軸上方的一個動點(diǎn)，ABx軸于點(diǎn)B，線段AB交直線yx1于點(diǎn)C，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為(x,x22x3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(x, x1)，線段AB的長可以用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示為AByAx22x3，線段AC的長可以用A、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo) 表示為ACyAyC(x22x3)(x1)x2x2 通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點(diǎn)在圖象上，可以用圖象的解析式表示點(diǎn)的

42、坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離例 24 2014年湖南省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1, 0)、B(5, 0)、C三點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E(x, y)是拋物線上一動點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)E(x, y)運(yùn)動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動點(diǎn)E運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到拋物線的頂點(diǎn)時，S最大當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到OB的垂直平分線上時，

43、四邊形OEBF恰好是正方形思路點(diǎn)撥1平行四邊形OEBF的面積等于OEB面積的2倍2第（3）題探究正方形OEBF，先確定點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，再驗(yàn)證EOEB圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1, 0)、B(5, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x5)代入點(diǎn)C，得解得所以拋物線的解析式為（2）因?yàn)镾S平行四邊形OEBF2SOBEOB·(yE)所以當(dāng)x3時，S取得最大值，最大值為此時點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)（如圖2）（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，且EOEB當(dāng)x此時E如圖3，設(shè)EF與OB交于點(diǎn)D，恰好OB2DE所以O(shè)EB是等腰直角三角形所以平行四邊形OEBF

44、是正方形所以當(dāng)平行四邊形OEBF是正方形時，E、F圖1 圖2 圖3圖4 圖5考點(diǎn)伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么OEB90°根據(jù)EH2HO·HB，列方程或者由DEOB，根據(jù)DE2，列方程這兩個方程整理以后都是一元三次方程4x328x253x200，這個方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的事實(shí)上，這個方程可以因式分解，如圖3，x；如圖4，x4；如圖5，x，但此時點(diǎn)E在x軸上方了這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個根是、m、n，那么4x328x253x20根據(jù)恒等式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相

45、等，得方程組解得例 25 2014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y3x3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線ya(x2)2k經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)Q，使ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長】圖文解析（1）由y3x3，得A(1, 0)，B(0, 3)將A(1, 0)、B(0, 3)分別代入ya(x2)2k，得解得a1，k1（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2, m)已知A(1, 0)

46、、B(0, 3)，根據(jù)QA2QB2，列方程12m222(m3)2解得m2所以Q(2, 2)（3）點(diǎn)A(1, 0)關(guān)于直線x2的對稱點(diǎn)為C(3, 0)，AC2如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點(diǎn)M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上如圖4，當(dāng)AC為正方形的對角線時，M、N中恰好有一個點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)(2,1) 因?yàn)閷蔷€AC2，所以正方形的邊長為圖1 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有幾個？如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,1)如圖5，如果AC為邊，那么MN/AC，MNAC2所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或0 此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4, 3)

47、或(0, 3)第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點(diǎn)Q有幾個？如圖2，當(dāng)QAQB時，Q(2, 2)如圖6，當(dāng)BQBA時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x2有兩個交點(diǎn) 根據(jù)BQ210，列方程22(m3)210，得此時Q或如圖7，當(dāng)AQAB時，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x2有兩個交點(diǎn)，但是點(diǎn)(2,3)與A、B三點(diǎn)共線，所以Q(2, 3)圖5 圖6 圖7例 26 2014年湖南省邵陽市中考第25題準(zhǔn)備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的點(diǎn)M，將CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)N（1）求證：四邊形BFDE是平行四

48、邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面積動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽25”，拖動點(diǎn)D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分思路點(diǎn)撥1平行四邊形的定義和4個判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形2如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直用這兩個性質(zhì)都可以解答第（2）題圖文解析（1）如圖3，因?yàn)锳B/DC，所以ABDCDB又因?yàn)?2，34，所以13所以BE/FD又因?yàn)镋D/BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形圖1 圖2圖3 圖4圖5 圖6（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么15所以125由于ABC90°，所以12530°所以BD2AB4，AE所以ME所以S菱形BFDE2SBDEBD·ME考點(diǎn)伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的