蘇教版-九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程及解法

1、 一元二次方程1.知識(shí).能力聚焦1.一元二次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程：（1） 方程是整式方程；（2） 方程中只含有一個(gè)未知數(shù)；（3） 未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2.方法.技巧平臺(tái)2.一元二次方程的解（根）使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）例題1把下列方程化為一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，若方程不是一元二次方程，請(qǐng)說明理由。（1）（2）例題2 下列哪些數(shù)時(shí)一元二次方程的根？ -3，-2，-1,0,1,2,3,43一元二次方程的判定若方程無法確定為一元二次方程時(shí)，我

2、們常將方程化為一般形式，并確定未知數(shù)是否只有1個(gè)，未知數(shù)最高次數(shù)為2，最高次數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)為非零實(shí)數(shù)。如化為一般形式為，不是一元二次方程化為一般形式為是一元二次方程?！疽?guī)律】任何一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理（去括號(hào)、去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)）都可化成一元二次方程的一般形式。3.創(chuàng)新.思維拓展易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)一元二次方程的定義理解不透一元二次方程的定義包括三方面內(nèi)容：（1）是整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可。例 下列關(guān)于的方程：；; ；，其中一定是一元二次方程的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 2：寫一元二次方程的各

3、項(xiàng)時(shí)易錯(cuò)若要指出一元二次方程的各項(xiàng)，必須先把一元二次方程寫成一般形式，即各項(xiàng)是在方程為一般形式的前提下定義的，在寫時(shí)一定要注意符號(hào)問題。若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，一般把方程兩邊都乘以 -1，化為正數(shù)。例題4某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件銷售由原來的55元降到了35元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程正確的是（ ）A. B. C. D. 例題 5方程（ ） 填“是”或不是“不是”一元二次方程。例題 6下列方程中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）（1）； （2）；（3） ； （4） ；（5）； （6）例題 7把方程化成一般形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是 。易錯(cuò)點(diǎn)3：判斷一元二次方程

4、時(shí)，易忽略的條件而出現(xiàn)錯(cuò)誤一元二次方程中，二次項(xiàng)是必不可少的項(xiàng)，若方程為一元二次方程，則一定要注意。一元二次方程的解法1. 知識(shí).能力聚焦1. 用直接開平方法解一元二次方程用直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接接開平方法。例1 解下列方程：（1）x22 （2）4x210（3）x2+6x+9=0例2 解下列方程：（x1）2= 2 （x1）24 = 012（3x）23 = 0 (4) (2x-3)=(x+2)2. 用配方法解一元二次方程把一個(gè)一元二次方程配成的形式來解一元二次方程的叫法叫做配平方。例1、填空：（1）x2+6x+ =(x+ )2； (2)x2-2x+ =(x- )2；(3)x2

5、-5x+ =(x- )2； (4)x2+x+ =(x+ )2；(5)x2+px+ =(x+ )2；例、解下列方程：（1） x24x3 = 0 （2）x23x1 = 03. 用公式法解一元二次方程對(duì)于一元二次方程。當(dāng)b24ac0 時(shí)，它的根是，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用這個(gè)公式解一元二次方程的方法叫做公式法。例1解下列方程：（公式法） x23x2 = 0 2 x27x = 4 （3） （4）（5） （6）例2已知，當(dāng)x為什么值時(shí)，y1與y2相等？4. 用因式分解法解一元二次方程運(yùn)用分解因式求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。把一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為的形式例、解方程：（）

6、 （）（） （）（） （試著用開平方法和因式分解法解方程）5. 一元二次方程根的判別式一元二次方程的根的情況可由來判定，因此叫做一元二次方程的根的判別式。例1不解方程，判斷方程根的情況： x23x-2 = 0 2 x27x +7=0 （3） （4）例2（1）已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式。求m 的值（2）已知一元二次方程m為何值，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 m為何值，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 m為何值，方程沒有實(shí)數(shù)根例3、(2010年安徽省蕪湖市)關(guān)于x的方程(a 5)x24x10有實(shí)數(shù)根，則a滿足（）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da52方法，技巧平臺(tái)6 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系關(guān)于x的一元

7、二次方程，用求根公式求的，。例.不解方程，求出方程兩根的和與兩根的積（直接口答）： x2 + x = 0 x2 + x += 0 x2 x+= 0 (4)x2 + x +3= 0例.已知關(guān)于x的方程x2 + x = 0的一個(gè)根是，求另一個(gè)根及的值例3、設(shè)方程4x27x3=0的兩根為x1，x2，不解方程，求下列各式的值：（1）x12+x22； （2）（x13）（x23）；例4 (2010年安徽省蕪湖市)已知x1、x2為方程x23x10的兩實(shí)根，則x128x220_例5、已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是11，求k的值例6、已知一元二次方程2x2+3x-5=0，不解方程，求以該方程的兩根的相反

8、數(shù)為根的一元二次方程7. 幾種方法解一元二次方程的區(qū)別與聯(lián)系 配方法先配方，再降次，通過配方方法可以推出求根公式適用于所有的一元二次方程公式法直接利用求根公式適用于所有的一元二次方程因式分先使方程左邊為兩個(gè)一次因式相乘，右邊為0，再分別使每個(gè)一次因式解法等于0，適用于某些一元二次方程可推廣到高次方程解一元二將二次方程化為一次方程，即降次，直接開平方法、配方法、公式法和因次方程的式分解法并不是孤立的，直接開平方法實(shí)際也是因式分解法?；舅悸?. 創(chuàng)新.思維拓展6. 易錯(cuò)點(diǎn)1：用直接開平方法解一元二次方程時(shí)，對(duì)非負(fù)數(shù)的平方根的概念理解不清【例】解方程7. 易錯(cuò)點(diǎn)2：用公式法解一元二次方程時(shí)，忽視化

9、為一般形式致錯(cuò) 【例】解方程 【錯(cuò)解】因?yàn)?. 易錯(cuò)點(diǎn)3：用配方法解一元二次方程時(shí)，只在方程的一邊添加常數(shù)，而另一邊不加致錯(cuò)9. 易錯(cuò)點(diǎn)4：忽視因式為0致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)析：當(dāng)方程兩邊有相同的含字母的因式時(shí)，在解一元二次方程時(shí)不能約去，因?yàn)榇艘蚴娇赡転?.10. 易錯(cuò)點(diǎn)5，用因式分解法解一元二次方程，右邊必須為011. 易錯(cuò)點(diǎn)6.：對(duì)根的判別式的三種情況有漏易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)析：對(duì)關(guān)于某一方程有無實(shí)數(shù)根進(jìn)行判斷時(shí)，有的同學(xué)往往直接想到的情況，而忽視了的情況而產(chǎn)生錯(cuò)誤。12. 易錯(cuò)點(diǎn)7：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，忽視了判別式應(yīng)滿足不小于0.易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)析：在利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，必須是在一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前

10、提下進(jìn)行的，學(xué)生在解答時(shí)往往心急而直接使用若方程無實(shí)數(shù)根，就不能求相關(guān)的值?！纠肯旅媸且晃粚W(xué)生編制的初中數(shù)學(xué)練習(xí)題：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。另一位學(xué)生給出了解答因?yàn)獒槍?duì)練習(xí)題和解答的正誤作出分析。一元二次方程及解法復(fù)習(xí)一、教學(xué)目標(biāo)1、透徹理解一元二次方程意義2、熟練掌握一元二次方程的解法二、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1、預(yù)習(xí)檢測(cè) 請(qǐng)用四種方法解下列方程，并比較哪些方法簡(jiǎn)便。三、新課導(dǎo)學(xué)（一）探索運(yùn)用例1、（1）關(guān)于y的一元二次方程的一般形式是 ，它的二次項(xiàng)系數(shù)是 ，一次項(xiàng)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。（2）下列哪個(gè)是一元二次方程（ ）A、 B、 C、 D、（3）若x2是方程的解，則a 。（4）下面是某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)檢測(cè)中解答的填空題，其中答對(duì)的是（ ）A、若，則x2； B、若的一個(gè)根是1，則k2C、若，則方程必有一個(gè)根是1；D、若的值為零，則x2（5） 用配方法證明：關(guān)于x的方程，無論m取何值，此方程都是一元二次方程。例2、按要求解下列方程（1）用