書人2012期末復習題(全部80題及完全解答)(修訂版)

1、書人2012秋季期末復習題及答案（一）書人2012期末復習題（1-40題）解答1、 有一個自然數，它的最大的兩個約數之和是123，求這個自然數是多少？【解】：ak=N，a+N=123，a（k+1）=123，a=41，k+1=3，k=2； N=82，2、 a、b兩數的最大公約數是12，已知a有8個約數，b有9個約數，求a和b?！窘狻浚?2=2×2×3；可以形成1、2、3、4、6、12這6個約數。8=4×2=（3+1）×（1+1）9=3×3=（2+1）×（2+1）a=23×3=24；b=22×32=363、 求具有15

2、個約數的最小自然數N，并求這個自然數15個約數的和?！窘狻浚?5=5×3=（4+1）×（2+1） N=24×32=16×9=144 (20+21+22+23+24)×(30+31+32)=(1+2+4+8+16)×(1+3+9)=31×13=403 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、1444、 如果一個自然數的約數的個數是奇數，我們稱這個自然數為“希望數”，那么，1000以內最大的“希望數”是多少？【解】：本題就是求“完全平方數” 302=900，312=961，322=1024所以，最大

3、希望數=9615、 一個數是5個2，3個3，6個5，1個7的連乘積，這個數有許多約數是兩位數，那么在這些兩位數的約數中，最大的是多少？【解】：N=25×33×56×7 100以內最大約數=25×3=32×3=966、 一個數的約數中，將所有的約數兩兩求和分別是3、5、6、7、9、11、12、14、15、21、22、24、25、30，這個數是多少？【解】：這個數的約數有1、2、4、5、10、20；所以這個數是20；7、 甲乙兩個數都含有2、3、5這三個質因數，它們的最大公約數是60，已知甲有18個約數，乙有16個約數，且甲大于200，則甲乙分別是

4、多少？【解】：60=2×2×3×5 （a+2+1）（b+1）（c+1）=18=2×3×3 a=0，b=1，c=2；甲=2×2×3×5×5=300；a=0，b=2，c=1；甲=2×2×3×3×5=180；因為，甲>200，所以，甲=300； （a+2+1）（b+1）（c+1）=16=4×2×2 a=1，b=1，c=1；乙=2×2×2×3×5=120；8、 有一個整數，個位是0，它共有8個約數，這個數最小

5、是多少？【解】：8=2×4=（1+1）（3+1）=(1+1)(1+1)(1+1) 因為個位為0，所以有因數2、5；N=23×5=40；Nmin=2×3×5=309、 已知a（自然數）有3個約數，那么4a有多少個約數？【解】：4a=22×a；當a=4時，4a有5個約數； 當a4時，（2+1）×3=9；4a有9個約數；10、 若A為質數，且AAAAAA的所有約數個數為48，則AAAAAA所有約數的和是多少？【解】：AAAAAA=A×111111=A×3×7×11×13×37 48

6、=（a+1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1） =3×2×2×2×2所以，當A=3時，約數和=（30+31+32）（70+71）（110+111）（130+131）（370+371）=13×8×12×14×38=663936 當A=7時，約數和=（30+31）（70+71+72）（110+111）（130+131）（370+371）=4×57×12×14×38=145555211、 某自然數是3和4的倍數，包括1和本身

7、在內共有10個約數，那么這個自然數是多少？【解】：倍數4=22、3 10=2×5=（a+2+1）（b+1）；a=2，b=1 N=24×3=48 約數為：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 12、 有4個不同的自然數，它們的和是1111，它們的最大公約數最大能是多少？【解】：1111=11×101=（1+2+3+5）×10113、 一個自然數的3次方恰好有100個約數，那么這個自然數本身最少有幾個約數？【解】：當自然數有1個因數時，（3a+1）=100，a=33；當自然數有2個因數時，（a×3+1）（b×3+1）=100，a

8、=8，b=1或a=3，b=3； （a+1）（b+1）=18或（a+1）（b+1）=16所以，這個自然數本身最少有16個約數14、 已知abc是一個質數，abcabc全部約數的和是137088，則abc等于多少？【解】137088=（abc0+abc1）×（110+111）×（130+131）×（70+71）=(1+abc)×12×14×8 （1+abc）=102；abc=10115、 A為質數，問AAAAAA有多少個約數？【解】：當A<10，且A=3、7時，AAAAAA=A ×111111=A×3×

9、7×11×13×37，24×3=48；當A<10，且A3、7時AAAAAA=A ×111111=A×3×7×11×13×37，25=64；16、 已知一個數的最小的兩個約數的和是8，最大的兩個約數和是1144，求這個數是多少？【解】：因為最小的約數是1，所以8=1+7；1144÷8=143，N=143×7=100117、 求具有15個約數的最小自然數N，并求這個自然數15個約數的和?！窘狻浚和?題，N=144，約數和=40318、 含有6個約數的兩位數有幾個？【解】：

10、6=（5+1）=（1+1）（2+1） 25=32、2×32=18、2×52=50、2×72=98、22×3=12、22×5=20、22×7=28、22×11=44、22×13=52、22×17=68、22×19=76、22×23=92、3×52=75，32×5=45、32×7=63、32×11=99，共16個；19、 寫出360到630的自然數中，有奇數個約數的數【解】：361=192，400=202，441=212，484=222，529=23

11、2，576=242，625=252；20、 在一個數的約數中，將所有不同的約數兩兩求和，所有的和中，最小的是4，最大的是2012，求這個數是多少？【解】：4=1+3，2012÷4=503；N=503×3=150921、 A、B兩個數只含有質因數2和5，它們的最大公約數是100，且A有15個約數，B有12個約數，求A和B？【解】：100=22×52（a+2+1）（b+2+1）=15，a=2，b=0；A=24×52=400或=22×54=2500；（a+2+1）（b+2+1）=12，a=1，b=0；A=23×52=200或=22×

12、;53=500；所以A=400、B=500或A=2500、B=200。22、 100以內只有4個約數的自然數共有多少個？【解】：23=8、33=27、2×3=6、2×5=10、2×7=14、2×11=22、2×13=26、2×17=34、2×19=38、2×23=46、2×29=58、2×31=63、2×37=74、2×41=82、2×43=86、2×47=94、3×5、3×72+14+9+5+2=3223、 求不大于60的，約數個數最

13、多的自然數有哪些？【解】：60=2×2×3×512=3×2×2=（a+1+1）（b+1）（c+1）24、 有一個只含有質因數2和5的自然數，且它的所有約數和為217，求這個自然數？【解】：217=7×31=（20+21+22）（50+51+52）=7×31 N=22×52=10025、 有一個整數，個位是0，它共有8個約數，這個數最小是多少？【解】：同第8題，因為個位是0，所以有因數2、5， 8=4×2=（3+1）（1+1）=2×2×2 N=23×5=40；N=2×

14、3×5=3026、 數A=（2×2×2×2×2）×（3×3×3）×（5×5）×7有許多約數，其中最大的兩位數約數是多少？【解】：最大兩位數約數=（2×2×2×2×2）×3=9627、 有兩個數，一個有9個約數，一個有10個約數，它們的最小公倍數是2800，求這兩個數分別是多少？【解】：2800=24×52×7 10=2×5=（4+1）（1+1），A=24×7=112； 9=3×3=（2+

15、1）（2+1），B=22×52=10028、 邊長為自然數，面積為210的形狀不同的長方形有多少個？【解】：210=2×3×5×7，個數=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16 16÷2=8個29、 已知自然數N，它能被3、4、5整除，且有24個約數，求滿足條件的最小N?【解】：24=（a+1）（b+2+1）（c+1）=2×2×2×3 a+1=2，b+2+1=4，c+1=3；a=1，b=1，c=2；N=3×23×52=600 或 N=5×23

16、×32=360; a+1=2，b+2+1=6，c+1=2；a=1，b=3，c=1；N=3×25×5=480;a+1=4，b+2+1=3，c+1=2；a=3，b=0，c=1；N=33×22×5=540;所以，N=360 30、 某個自然數有12個約數，并且它的所有的約數和為195，問這個數是多少？【解】：195=5×3×13=15×13，12=2×2×3=4×3=2×6， 15=（20+21+22+23），13=（30+31+32） N=23×32=72 31、 10

17、0以內約數個數最多的自然數有5個，它們分別是幾？【解】：約數個數最多=4×3=3×2×2=6×2=12 a3×b2或a2×b×c或a5×b N= 23×32=72；N=33×22=108；N= 23×52=200； N= 22×3×5=60；N= 22×3×7=84；N= 22×3×11=132；N= 32×2×5=90；N= 25×3=96N：60、72、84、90、9632、 某自然數是3和4

18、的倍數，這個數包括1和其本身在內共有15個約數，這個自然數是多少？【解】：（a+2+1）（b+1）=15，a+2+1=5，b+1=3；a=2，b=2； N=24×32=144；N=22×34=32433、 求自然數N，它能被4和49整除，且有12個約數。【解】：4=22，49=72；12=4×3；N=23×72=392或N=22×73=137234、 將一個兩位數的十位數字減去或加上它的個位數字，所得到的兩個數都是78的大于1的約數，求這個兩位數？【解】：78=2×3×13， 則a+b=13，a-b=3，a=8，b=5；a+b=6，a-b=2；b=2，a=4；當b=0時，a+b=2，a-b=2；a=2；a+b=3，a-b=3；a=3；a+b=6，a-b=6；a=6；N=85；42；20、30、60； 35、 將一個兩位數的十位數字減去它的個位數字，所得到的數是12的大于1的約數，求滿足這個條件的兩位數有幾個？、【解】：12的約數：1、2、3、4、6、12； 滿足a-b=2，有8個； 滿足a-b=3，有7個； 滿足a-b=4，有6個； 滿足a-b=6，有4個； 8+7+6+4=25個36、 20n是1×2×3×4××2011×2012的因數