捆扎水管的學問

1、2014年市小學數(shù)學小課題評比學校：蒼南縣錢庫小學成員：蔡勤學耀坤鄧家寶小課題題目:捆扎水管的學問指導教師：林尾維1捆扎水管的學問一、問題提出前幾天，我們學習了圓的周長，在數(shù)學書66頁，遇到了一個題目，如圖1:杷閥世彩拎庫分別JBfft如下圖（從閏fti方向看）的形狀.血果接頭處不比h組*少崗SJ彩長的繩J- ?你發(fā)現(xiàn) 門I么？看見這個問題，我想：這不就是捆扎起來的水管的橫截面嗎？要計算出它們的周長，到底有沒有計算的方法呢？能不能用我們的能力研究出一個簡易的方法 或者說一個數(shù)學公式呢？我們帶著這些問題，開始了“捆扎同尺寸的多根圓形管 所用繩子長度”的規(guī)律的研究。二、研究過程首先，我們就針對遇到

2、的那個問題進行了解決12X7+7n4X7+7n8X7+7n=2X7+7X3.14=4X7+7X3.14=8X7+7X3.14=14+21.98=28+21.98=56+21.98=35.98(cm)=49.98(cm)=77.98(cm)4個圓:9個圓:圖3圖4圖22這3個計算是我用最簡單的方法“數(shù)線段”做的一一數(shù)出線段的數(shù)量乘圓的直 徑加上圓的周長。但是我們覺得這方法太簡單了，所以我們決定找出一個新的計 算公式。經(jīng)過計算，我發(fā)現(xiàn)圖2和圖3的線段數(shù)都等于它們圓的個數(shù)，可是圖4的卻 不等，這是為什么呢？我們反復觀察、比較，終于發(fā)現(xiàn)中間那個圓是沒有算線段 的，那么，算式9-仁8（個） ，只有其他8

3、個圓有算線段。不禁，我想出了一個 計算公式：繩子的長度=圓的直徑X（圓的個數(shù)-繩子沒有碰到的圓的個數(shù)）+圓 的周長。如果出現(xiàn)像圖2,圖3這樣的，繩子沒有碰到的圓的個數(shù)為0的時候， 當然就不算。這個公式三種情況可以通用。但，是不是所有的捆扎方式都可以對 應這個新的公式呢？（二） 提出猜想：我們大膽得提出猜想：無論水管的捆扎方式是怎樣的，繩子的長度=圓的直 徑x（圓的個數(shù)-繩子沒有碰到的圓的個數(shù)）+圓的周長。（三） 研究一些水管的捆扎方式，并計算。（除接頭外）我們小組走訪五金店進行調(diào)查，出現(xiàn)了各種各樣的捆扎方式，并研究了一番。 我們發(fā)現(xiàn)多根圓形管捆扎后的水管的橫截面的不同， 就以最外圈的圓心連接后

4、所 成的圖形為標準進行分類，整理如下表1，就是找到的四種捆扎方式。1本文n取3.14。3表1A線性（2個）B種方形C種正三角形D種等腰梯形g888 88我們碰到的題目和五金店中的圓柱物體捆扎都是同類型而且尺寸相同的方式，所以我們所有的研究對象都是同尺寸的圓形管。 就以我把老板店里的一些同 尺寸的水管擺起來捆扎在一起，并計算和測量（除接頭外），看看是否對應公式 我們通過測量、數(shù)，整理得到如下表2、表3、表4、表5：表2 A種線形（2個）（單位：cm）捆扎形狀水管個數(shù)2個水管直徑10水管周長51.4是否對應公示是表3 B種方形（單位：cm）捆扎形狀88QQQQ( ( ( 卜 彳卜E11111水管個

5、數(shù)4個8個9個16個25個水管直徑1010101010水管周長71.4111.4111.4151.4191.4是否對應公是是是是是4示表4 C種正三角形（單位：cm）捆扎形狀dodo水管個數(shù)3個6個10個21個水管直徑10101010水管周長61.491.4121.4181.4是否對應公示是是是是表5 D種等腰梯形（單位：cm）捆扎形狀AOO水管個數(shù)5個7個9個12個14個水管直徑1010101010水管周長81.4101.4111.4131.4141.4是否對應公式是是是是是看圖，我們發(fā)現(xiàn)A、B、C、D這四種捆扎方式都可以對應我猜想出的公式。 但是，為什么B種最外圈的圓心連接后成方形， 有4

6、個角，C種方形最外圈的圓 心連接后成正三角形，有3個角？為什么形狀不同而結果都符合我們猜出的公式 呢？我決定深入了解這個問題5(四)深入研究首先，A種是一種線形，各個圓心連接沒有跟其他三種這樣的角。于是，我們就從B種、C種、D種類型中選擇每種最典型的，分別4個圓、3個圓和5個圓。為了便于分析比較，我們用“幾何畫板”這個畫圖軟件又畫出了這樣的圖,圖5圖6圖7我們仔細量、觀察，發(fā)現(xiàn)：B種方形中4個圓組成的/1、/2、/3、/4這4個角，每個是90 ,加起來剛好是是360。，算式是/1+/2+/3+/4=360 剛好一個圓的圓心角所擁有的度數(shù)。 所以我們可以把一圈繩子分成8段，其中有4段線段的長度分

7、別與圓的直徑相等，都是10cm;其他4段都是四分之一個圓弧，這些四分之一個圓弧合起來的長度剛好等于一個圓的周長。那么圖5等于:10M+10X3.14=40+31.4=71.4(cm)C種正三角形和B種方形和好像一樣，所有的角加起來也等于360，但是 它只有3個角，每一個是120。，也是一個圓所擁有的度數(shù)，算式是/1 +/2+/3=360。所以，我們也可以把一圈繩子分成6段，其中有3段線段的長度分別畫出其他三種捆扎方式，如圖6與圓的直徑相等，也都是10cm;其他3段都是三分之一個圓弧，這些三分之一 個圓弧合起來的長度也剛好等于一個圓的周長。圖6繩子的長度為:10X3+10X3.14=30+31.

8、4=61.4(cm)而D種等腰梯形采烈的拿去給老師看時，老師一眼就看出了錯誤，告訴我這是錯的，可是我不相 信。結果老師畫了一副圖，我不得不信了:圖8在老師的指導下，我知道圖8中的圓心連接成的三角形，每邊的長度都是一 條直徑的長度 所以是個正三角形，每個角是60。,而長方形的每個角是90，那么 /3=360。-90X60120，Z1就可以看成是360。減去兩個直角和兩個60， 即360。-902-120 =60。同樣的道理我們可以推出/2=60。，也=60。，四個角 的度數(shù)合起來也是等于一個圓的圓心角所擁有的度數(shù)一一360。經(jīng)過老師的分析與 解釋，我終于明白了。算式是/1+/2+/3+/4=36

9、0。 ，這么說，圖8中繩子的4個角原先，我們直接看出來，說4個角是120、和等r 4/于480。后來，我興高7長度為:10X7+10X3.14=70+31.4=101.4（cm）所以，我們得出猜想一一繩子的長度=圓的直徑 X（圓的個數(shù)-繩子沒有碰到 的圓的個數(shù)）+圓的周長，是成立的。（五）推廣應用實際上，在生活中也會有捆扎水管的學問，下面是我在生活中找到的圖片。（如圖9、圖10）。第一直徑為5cm，第二直徑為2cm。那么我們現(xiàn)在就用我的公式算一下它們所需繩子的長度吧（除接頭外）。下面是它們的一個橫截面:圖11繩子的長度=圓的直徑 X（圓的個數(shù)-繩子沒有碰到圓的個數(shù)）+圓的周長5X(30-12)

10、+5X3.14=5X18+5X3.14圖9圖10?8=90+15.7=105.7(cm)這是一個正六邊形。在吸取了等腰梯形的錯誤，我也像老師也畫了圖：圖12我發(fā)現(xiàn)它的角既然有6個，但是每個只有60，合起來也是360,也就是- 個圓的圓心角的度數(shù)，算式是/1 +/2+/3+/4+/5+/6=360。計算了一下 圖11右圖繩子的長度：2X(19-7)+2X3.14=2X12+2X3.14=24+6.28=30.28(cm)果然，跟我想的一樣，答案是對的。這樣一看，我發(fā)現(xiàn)了水管無論怎樣捆扎, 它的繩子長度都=圓的直徑 X(圓的個數(shù)-繩子沒碰到的水管)+圓的周長。哈哈, 看來水管無論怎么捆扎，總度數(shù)都

11、等于360。，我們的猜想是對的，以后所有的 水管捆扎方式都好算咯！9在生活中不單單只有水管用到了捆扎的方法，其實在生活中還有許許多多的10東西用到了捆扎這個方法，易拉罐，啤酒瓶等等。（六）大發(fā)現(xiàn)這個過程是我們后來突然發(fā)現(xiàn)的，我們用3個水管捆扎起來。我們本以為只有一種方法一一C種正三角形，后來發(fā)現(xiàn)這里面原來有2個捆扎方法：第一種,如圖13是A種線形。第二種，C種正三角形。這兩中捆扎方法一共可以捆扎成3個圖形，而其中有2個是不對應公式的第二種:我們來數(shù)數(shù)看它們的線段的條數(shù)和圓的個數(shù)是否相等。圖13,3條線段，3個圓，線段條數(shù)和圓的個數(shù)相等，而圖14,3個圓，4條線段，線段條數(shù)和圓的個數(shù)不相等。所以

12、，我們決定通過“數(shù)線段”的方法計算找出一個規(guī)律來得出新的一個線形的計算公式。（備注：直徑為10cm）第一種:10X2+10X3.14=51.4(cm)10 X2+10X3.14=51.4(cm)圖13圖14113個:12看圖和計算我們發(fā)現(xiàn)每多了一個圓周長就加了20cm?？赡懿荒苡?0cm來算出每加一個圓加上的直徑數(shù)呢？我想應該可以吧。直徑數(shù)：20-10=2（條）。最 后，我發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：從一個圓開始，用線形這些捆扎方法捆扎的，每多捆1個圓就會多出兩條直徑。那么，計算公式是：繩子的長度=（圓的個數(shù)一1）X2X圓的直徑+圓的周長。二、感想XXX:啊！本以為那些水管也沒什么，當我寫完了這篇論文之后，我知道捆 扎水管里面也有這么大的數(shù)學知識！ 除了捆扎水管，捆扎還可以用來捆扎其他圓 柱體，如：易拉罐、啤酒瓶。雖然捆扎的數(shù)學知識很多，很難懂，但我們只要能 找出計算的方法，發(fā)現(xiàn)出它的計算公式，它是會給我們的生活帶來許許多多的方 便的。XXX:我原本以為“捆扎水管”這個小論文十分枯燥，但是在寫小論文的過程 中，我還發(fā)現(xiàn)了許多有趣的地方，女口：在計算捆扎水管一周時我們都當了一回小 大人。我認為這次研究真是個令人振奮的數(shù)學之旅， 我們將帶著這份濃厚的興趣 和勇氣，進一步探究數(shù)學的奧秘！XXX:我們在學習書本知識的時候，要積