立體幾何問題的多種解法

1、立體幾何高考題（2013）4、已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的側(cè)棱與底面垂直, 體積為49, 角形，若P 為底面A 1B 1C 1的中心, 則PA 與平面ABC 所成角的大小為 ( （A ） 512 （B ）3 （C ） 4 （D ） 6 （2011）11、右圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題： 存在三棱柱，其正(主 視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正(主視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主 視圖、俯視圖如下圖其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ） 1 （D ） 角邊對(duì)應(yīng)的一個(gè)側(cè)面平臥；直四棱柱的兩個(gè)側(cè)面是正方形或一正四棱柱平躺；圓柱平躺即可使得三個(gè)命題為

2、真。（2010）3、在空間，下列命題正確的是（A ）平行直線的平行投影重合 （B ）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（C ）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 （D ）垂直于同一平面的兩條直線平行 （2009）4、一空間幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為( .A. 2+ B. 4+ C. 2+ D. 4 , 圓柱的底面半徑為1, 高為2, 體積為2, 四棱錐的底面 邊長為2，高為，所以體積為2133 = 所以該幾何體的體積為2. （2008）6、右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體 的表面積是(A9 （B ）10側(cè)(左 視圖正視圖 俯視圖 （2007）3、下列幾何體各自的三視圖

3、中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（ ） A B C D （2006）12、如圖，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60°，E 為AB 的中點(diǎn)， 將ADE 與BEC 分別沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于點(diǎn)P ，則三棱錐P DCE 的外接球的體積為 （A （B （C ）8 （D ）24 （2006）15、如圖，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱長都相等， D 是11A C 的中點(diǎn)，則直線AD 與平面1B DC 所成角的正弦值為 45（2012）14、如圖，正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱長為1，E,F 分別為線段AA 1,B 1C 上的點(diǎn)

4、，則三棱錐D 1-EDF 的體積為_。 6 1112113111=-DE D F EDF D V V . P-ABQ 中，PB 平面 ABQ ，BA=BP=BQ，D ，C ，E ，F(xiàn) 分別是AQ ，BQ ，AP ， BP 的中點(diǎn)，AQ=2BD，PD 與EQ 交于點(diǎn)G ，PC 與FQ 交于點(diǎn)H ，連接GH 。 （）求證：AB/GH； （）求二面角D-GH-E 的余弦值 .（1）因?yàn)镃 、D 為中點(diǎn)，所以CD/AB同理：EF/AB，所以EF/CD，EF 平面EFQ ，正方形 圓錐 三棱臺(tái) 正四棱錐 A 1 CD QEF 面，所以CD/平面EFQ ，又CD 平面PCD, 面PCD 面QEF=GH，所

5、以，所以AB/GH. 在ABQ 中, 2AQ BD =, AD DQ =, 所以=90ABQ ，即AB BQ , 因?yàn)镻B 平面ABQ , 所以AB PB ，又BP BQ B = ，所以AB 平面PBQ ，由（）知AB GH , 所以GH 平面PBQ ，又FH 平面PBQ ，所以GH FH ，同理可得GH HC ，所以FHC 為二面角D GH E -的平面角，設(shè)2BA BQ BP=, 連接PC ，在t R FBC中，由勾股定理得，F(xiàn)C =t R PBC 中，由勾股定理得，PC =， 又H 為PBQ 的重心，所以13HC PC = 同理 FH =, 在FHC 中，由余弦定理得5524cos 55

6、29FHC +-=-，即二面角D GH E -的余弦值為45-. ABQ 中，2AQ BD =, AD DQ =, 所以90ABQ =，又PB 平面ABQ , 所以, , BA BQ BP 兩兩垂直，以B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以, , BA BQ BP 所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)2BA BQ BP =，則(1,0,1E , (0,0,1F , (0,2,0Q , (1,1,0D ，(0,1,0C (0,0,2 P ,所以(1,2, 1 EQ =- , (0,2,1 FQ =- , (1, 1,2 DP =- , (0,1,2 CP =-, 設(shè)平面EFQ 的一

7、個(gè)法向量為111(, , m x y z = ，由0m EQ = ，0m FQ = , 得111112020x y z y z -+-=-=取11y =，得(0,1,2 m = . 設(shè)平面PDC 的一個(gè)法向量為222(, , n x y z =由0n DP = ，0n CP = , 得222222020x y z y z -+=-+=取21z =，得(0,2,1n = . 所以4cos , 5m n m n m n = ，因?yàn)槎娼荄 GH E -為鈍二面角，所以二面角D GH E -的余弦值為45-. 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD 是等腰梯形， , AB CD 60, DAB = F

8、C 平面, ABCD AE BD ， CB CD CF = （）求證BD 平面AED ；（）求二面角F BD C -的余弦值 ）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD 為等腰梯形，AB CD ，60DAB = ，所以 120ADC BCD = 又 CB CD =，所以 30CDB = ，因此 90ADB = ，AD BD ，又 AE BD ，且AE AD A = ，, AE AD 平面AED ，所以AED I ）知AD BD ，所以AC BC ，又FC 平面ABCD ，因此 , CA 以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以, , CA CBCF 所在的直線為x 軸，y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)1CB =，則

9、(0, 0, 0 C ，(0,1, 0 B ，(, , 0 D -，(0, 0,1 F ，因此 (, , 0 2BD =- ，(0, 1,1 BF =- 設(shè)平面BDF 的一個(gè)法向量為(, , xy z =m ，則 0BD = m ，0BF = m ，所以 x =，取1z =，則(=m 又平面BDC 的法向量可以取為(0, 0,1 =n ，所以 cos , | <>=m n m n 因?yàn)槎娼荈 BD C -是銳二面角，所以二面角F BD C - BD 的中點(diǎn)G ，連結(jié), CG FG ，由于CB CD =，所以CG BD 又FC 平面，BD 平面ABCD ，所以FC BD 由于FC

10、CG C = ，, FC CG 平面FCG ，所以BD 平面FCG ，故BD FG所以FGC 為二面角F BD C -的平面角在等腰三角形BCD 中，由于120BCD = ，因此CG CB =，又CB CF =，所以CF =，故 cos FGC =, 因此二面角F BD C -的余弦值為 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD 為平行四 邊形，090ACB =，EA 平面ABCD ，/EF AB ，/FG BC ，/EG AC ，2AB EF =（）若M 是線段AD 的中點(diǎn)，求證：/GM 平面ABFE ；（）若2AC BC AE =，求二面角A BF C -的大?。ǎ?EF AB ，2AB EF

11、 =可知延長BF 交AE 于點(diǎn)P ，而/FG BC ，/EG AC ，則P BF 平面, BFGC P AE 平面AEGC ，即P 平面BFGC 平面A B D EGM A BF E AEGC GC =，于是, , BF CG AE 三線共點(diǎn)，1/2FG BC ，若M 是線段AD 的中點(diǎn)，而/AD BC , 則/FG AM ，四邊形AMGF 為平行四邊形，則/GM AF ，又GM 平面ABFE ，所以/GM 平面ABFE ；（）由EA 平面ABCD ，作CH AB ，則CH 平面ABFE ，作HT BF ，連接CT ，則CT BF ，于是CTH 為二面角A BF C -的平面角。若2AC BC

12、 AE =，設(shè)1AE =，則2AC BC =，AB CH =H 為AB 的 中點(diǎn)，2tan 2AE AE FBA AB EF AB =-，sin FBA = sin 33HT BH ABF =，在Rt CHT 中tan CH CTH HT =則60CTH = ，即二面角A BF C -的大小為60 。ABCD 為平行四邊形， 090ACB =，EA 平面ABCD ， 可得以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，, , AC AD AE 所在直線分別為, , x y z 建立直角坐標(biāo)系，設(shè)=, , AC a AD b AE c =，則(0,0,0A , 1(,0,0, (0,0, (0,0, (, ,0 2C a

13、D b M b B a b -. 由/EG AC 可得( EG AC =R ，1(, , 2GM GE EA AM a b c =+=- 由/FG BC 可得( FG BC AD =R , 1122GM GF FA AM AD BA EA AD =+=-+ 1(,(1 , 2a b c =-，則12=，12GM BA EA =+ ，而GM 平面ABFE ， 所以/GM 平面ABFE ；（）若2AC BC AE =，設(shè)1AE =，則2AC BC =，(2,0,0,(0,0,1,(2,2,0, (1, 1,1 C E B F -, 則(0,2,0BC AD = , (1,1,1 BF =- ,(2

14、,2,0 AB =- , 設(shè)11112222(, , , (, , x y z x y z =n =n 分別為平面ABF 與平面CBF 的法向量。 則111112200x y x y z -=-+=，令11x =，則111, 0y z =，1(1,1,0n =； 2222200y x y z =-+=，令21x =，則220, 1y z =，2(1,0,1 =n 。于是1212121cos 2<>=n n n ,n n n ，則1260<>= n ,n ，因?yàn)槎娼茿 BF C -是銳二面角，所以二面角A BF C -的大小為60。 P ABCDE 中，PA 平面 AB

15、CDE ，AB CD ，AC ED ，AE BC ， ABC =45°，AB BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形 （）求證：平面PCD 平面PAC ；（）求直線PB 與平面PCD 所成角的大?。?（）求四棱錐P ACDE 的體積ABC 中，因?yàn)锳BC=45°，BC=4，AB=22，所以 AC 2=AB+BC2-2AB ·BC ·cos45°=8，因此 AC=22，故BC 2=AC2+AB2, 所以BAC=90°，又PA 平面ABCDE ，AB CD ，所以CD PA,CD AC, 又PA,AC 平面PAC, 且PA AC

16、 =A， 所以 CDPAC, 又 CD平面PCD ，所以 平面PCD 平面PAC 則2142sin =PB h , 又 2, 0，所以 6=AB,AC,AP 兩兩相互垂直，分別以AB 、AC 、AP 為x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于PAB 是等腰三角形，所以 PA=AB=22, 又AC=22, 所以3=，因此直線PB 與平面PCD 所成的角為6（）因?yàn)锳C ED,CD AC ，所以四邊形ACDE 是直角梯形，因?yàn)锳E=2,ABC=45°AE BC ，所以BAE=135°，因此 CAE=45°,故 CD=AE·sin45°

17、;=2×22=2，所以 322222ACDE =+=四邊形S又 PA平面ABCDE ，所以 -. 2222321V ACDE -P =如圖，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 底面ABCD 為等腰梯形，AB CD,AB=4,BC=CD=2,1AA ,AB 的中點(diǎn)。（）證明：直線1EE 平面1FCC ；（）求二面角1B FC C -的弦值。 （1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中點(diǎn)F 1， 連接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB/CD， 所以CD=/A 1F 1，A 1F 1CD 為平行四邊形，所以CF

18、1/A1D ， 又因?yàn)镋 、E 1分別是棱AD 、AA 1的中點(diǎn)，所以EE 1/A1D ， 所以CF 1/EE1，又因?yàn)?EE 平面FCC 1，1CF 平面FCC 1，所以直線EE 1/平面FCC 1.（2）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB 的中點(diǎn), 所以BF=BC=CF,BCF 為正三角形。 取CF 的中點(diǎn)O, 則OB CF, 又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1平面ABCD, 所以CC 1BO, 所以O(shè)B 平面CC 1F,過O 在平面CC 1F 內(nèi)作OP C 1F, 垂足為P, 連接BP, 則OPB 為二面角B-FC 1-C 的一個(gè)平面角, 在BCF 為

19、正三角形中, OB =在Rt CC 1F 中, OPF CC 1F, 11OP OFCC C F =22OP =, 在Rt OPF 中, BP = cos OP OPB BP =所以二面角B-FC 1-C （1）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, F是棱AB 的中點(diǎn), 所以BF=BC=CF,BCF 為正三角形, 因?yàn)锳BCD 為 等腰梯形, 所以BAC=ABC=60°, 取AF 的中點(diǎn)M, 連接DM, 則DM AB, 所以DM CD,以DM 為x 軸,DC 為y 軸,DD 1為z 軸建立空間直角坐標(biāo)系, , 則D （0,0,0）,A ）,F ）,C （0,2,0）, C 1（0,2,2

20、）,E （2,12-,0）,E 1（ 11,1 22EE =- , 1,0 CF =- , 1(0,0,2CC = 1(,2 FC = 設(shè)平面CC 1F 的法 向量為(, , n x y z = 則10 n CF n CC =所以00y z -=取(1n = , 則ECE 1 A B 11DE A 11110022n EE =-= , 所以1n EE , 所以直線EE 1/平面FCC 1. （2）(0,2,0FB = , 設(shè)平面BFC 1的法向量為1111(, , n x y z = , 則1110n FB n FC =所以1111020y y z =+=,取1n = ,則121002n n

21、=+= , |2n =, 1|n = ， 所以111cos , |n n n n n n = , 由圖可知二面角B-FC 1-C 為銳二面角, 所以二面角B-FC 1-C P -ABCD ，底面ABCD 為菱形， PA 平面ABCD ，60ABC =, E ，F(xiàn) 分別是BC , PC 的中點(diǎn). （）證明：AE PD ;（）若H 為PD 上的動(dòng)點(diǎn)，EH 與平面PAD 所成最大角的正切E AF C 的余弦值. ABCD 為菱形，ABC =60°，可得ABC 為正三角形。因?yàn)镋 為BC 的中點(diǎn)，所以AE BC . 又 BC AD ，因此AE AD . 因?yàn)镻A 平面ABCD ，AE 平面A

22、BCD ，所以PA AE . 而 PA 平面PAD ，AD 平面PAD 且PA AD =A ，所以 AE 平面PAD ，又PD 平面PAD . 所以 AE PD.（）解：設(shè)AB =2，H 為PD 上任意一點(diǎn)，連接AH ，EH .由（）知 AE 平面PAD ，則EHA 為EH 與平面PAD 所成的角. 在Rt EAH 中，AE AH 最短時(shí)，EHA 最大， 即當(dāng)AH PD 時(shí)，EHA 最大. 此時(shí)tan EHA= AE AH = 因此AH 又AD=2，所以ADH =45°，所以PA =2. PA 平面ABCD ，PA 平面PAC ，所以，平面PAC 平面ABCD .過E 作EO AC

23、于O ，則EO 平面PAC ，過O 作 OS AF 于S ，連接ES ，則ESO 為二面角E-AF-C 的平面角，在Rt AOE中，EO =AE ·sin30°，AO =AE ·cos30°=32, 又F 是PC 的中點(diǎn)，在Rt ASO 中，SO =AO ·sin45°=4, 又SE =在Rt ESO 中，cos ESO=SO SE = 即所求二面角的余弦值為5 由（）知AE ，AD ，AP 兩兩垂直，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E 、F 分別為BC 、PC 的中點(diǎn)，所以E 、F 分別為BC 、PC 的中點(diǎn)，所以

24、A （0，0，0），B -1，0），C （C ，1，0），D （0，2，0），P （0，0， 2），E 0，0），F(xiàn)1,12） ， 所以1,1. 2AE AF = 設(shè)平面AEF 的一法向量為111(, , , m x y z =則0, 0,m AE m AF= 因此11110, 10. 2 x y z =+= 取11, (0,2,1, z m =-=-則因?yàn)?BD AC ，BD PA ，PA AC=A，所以BD 平面AFC ， 故BD 為平面AFC 的一法向量。又BD=（）， 所以 cosm , BD =5|m BD m BD =因?yàn)槎娼荅-AF-C 為銳二面角， 所以所求二面角的余弦值為5

25、 1111ABCD A BC D -中，已知 122DC DD AD AB =，AD DC ，AB DC （）設(shè)E 是DC 的中點(diǎn)，求證：1D E 平面BD A 1； （）求二面角11A BD C -的余弦值BA D 1C解法一 ： （）連結(jié) BE ，則四邊形 DABE 為正方形， BE = AD = A1D1 ， 且 BE AD A1D1 ， 四 邊 形 A1D1EB 為平行四邊形 D1E A1B 又 D1E Ë 平面 A1 D1 C1 B1 A1BD ， A1B Ì 平面 A1BD ， D1E 平面 A1BD （） D 為原點(diǎn)，DA DC，DD1 所在直線分別為 x 軸

26、， 以 ， G D A B E C y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) DA = 1 ，則 D(0， 0 ， A(1， 0 ， B(11， ， C (0， 2 ， 0， 0， ，0 2， uuuu r uuu r A1 (1， 2 ， DA1 = (1 0， ， DB = (11 0 ， 0， ，2 ， ， 設(shè) n = ( x，y，z 為 平 面 A BD 的 一 個(gè) 法 向 量 由 1 z D1 C1 B1 M A1 uuu r uuuu r n DA1 ， n DB ， 得í ì x + 2 z = 0， 31 ， 取 z = 1 ，則 n = (-2

27、， î x + y = 0. D A x F B E C y 又 DC2 = (0，3 ， DB = (11 0 ， 2， ， ， 設(shè) m = ( x1，y1，z1 為平面 C1BD 的一個(gè)法向量， 由 m DC ， m DB ，得 í uuuur uuu r uuur uuu r ì2 y1 + 2 z1 = 0， ， 取 z1 = 1，則 m = (1 - 11 ， î x1 + y1 = 0. 設(shè) m 與 n 的夾角為 a ，二面角 A1 - BD - C1 為 q ，顯然 q 為銳角， cos a = 3 3 mPn -3 3 ，即二面角 A1

28、- BD - C1 的余弦為 cos q = = =- 3 3 m n 3 9 3 x 解法二： （）以 D 為原點(diǎn)， DA DC，DD1 所在直線分 ， 別為 x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) D1 C1 B1 M DA = a ，由題意知： D(0， 0 ， A(a， 0 ， B(a，a， ， 0， 0， 0 A1 C (0，a， ， C1 (0，a，a ， A1 (a， 2a ， D1 (0，2a ， 2 0 0， 2 2 0， uuuu r uuuu r E (0，a， D1E = (0，a， 2a ， DA = (a，2a ， 0 - 0， 1 uuu r

29、DB = (a，a， ， 0 D A z F B E C y 又 (0，a， 2a = (a，a， - (a，2a ， D1E = DB - DA - 0 0， uuuu r uuu uuu r r Q DA1，DB Ì 平面 A1BD ， D1E Ë 平面 A1BD ， D1E 平面 A1BD （）取 DB 的中點(diǎn) F ， DC1 的中點(diǎn) M ，連結(jié) A1F ， FM ，由（）及題意得知： uuur æ a a r æa a ö ö uuuu æ a a ö F ç ， ，÷ ， M (0，a

30、，a ， FA1 = ç ， ，a ÷ ， FM = ç - ， ，a ÷ ， 0 - 2 è2 2 ø è2 2 ø è 2 2 ø uuur uuu æ a a r uuuu uuu æ a a r r ö ö FA1 PDB = ç ， ，a ÷P a，a， = 0 ， FM PDB = ç - ， ，a ÷P a，a， = 0 - 2 ( 0 ( 0 è2 2 ø è 2 2 ø FA1 DB ， FM DB ，A1FM 為所求二面角的平面角 2 2 a æ uuur uuuu r æ a ， a ，a öP -