高中數(shù)學導數(shù)及其應用專題

1、專題 導數(shù)及其應用考點精要1了解導數(shù)概念的實際背景2理解導數(shù)的幾何意義3了解函數(shù)的單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間（其中多項式函數(shù)不超過三次）4了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）5會利用導數(shù)解決某些實際問題熱點解析導數(shù)的幾何意義及其應用，基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算的四則運算法則是高考的重點與熱點，要會利用導數(shù)求曲線的切線，注意區(qū)分在某點處的切線與過某點的曲線的切線求函數(shù)在點（x0，）處的切線方程或切線斜率；求函數(shù)的單調

2、增區(qū)間或單調減區(qū)間；求函數(shù)在（a，b） 上的極值，求在a，b上的最大值、最小值等等，在近幾年高考試題中頻頻出現(xiàn)知識梳理1一般地，函數(shù)y=在x=x0處的瞬時變化率是=我們稱它為函數(shù)y=在x=x0處的導數(shù)，記作或y|x=x0，即=2函數(shù)在x=x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k=3導函數(shù)= y=4c=0，（x1）=1，（x2）=2x，5基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（1）若=c，則=0；（2）若=xn（n），則=nxn-1；（3）若=sinx，則=cosx；（4）若=cosx，則=sinx；（5）若=ax，則=axlna；（6）若=ex，則=ex；（7）若=logax，則=；（8）若=lnx，則=；6

3、導數(shù)運算法則：（1）±=±（2）=+；（3）7.導數(shù)的應用體現(xiàn)在三個方面：（1）求曲線的切線：其方法是，先求函數(shù)在某點處的導數(shù)得切線斜率，再用點斜式建立切線方程，后化為一般式求曲線的切線時要注意兩種不同的要求：一種是求“函數(shù)在某點處的切線”，這個點就是切點；一種是求“函數(shù)過某點的切線”，則這個點可以是切點，也可以不是切點。這兩種要求的切線的求法有區(qū)別（2）求函數(shù)的極大（小）值與最大（小值）求可導函數(shù)的極值的步驟：求導數(shù)；這一步是基礎，要求利用導數(shù)公式及運算法則正確地求出導函數(shù)求方程=0的根；這一步用到方程知識，注意=0的根應在y=的定義域中檢驗在方程=0的根（又叫函數(shù)駐點）

4、的左、右側的符號是否發(fā)生變化：如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)y=在這個根處取得極大值；如果相反，在這個根的左側附近為負，右側附近為正，那么函數(shù)y=在這個根處取得極小值如果求閉區(qū)間a，b上函數(shù)的最值，則應在、及開區(qū)間（a，b）內的極值中間作比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值（3）研究函數(shù)的單調性設函數(shù)y=在某個區(qū)間D內可導，且，則在這個區(qū)間上為增函數(shù)；若，則在這個區(qū)間上為減函數(shù)（注意：這里=0在D的任意一個子區(qū)間內不能恒成立，否則，函數(shù)在這個子區(qū)間內為常函數(shù)，為水平線段，不具有單調性） （4）不等式的恒成立問題與能成立（存在性）問題不等式的恒成立問題若在上恒成立，等價于在上

5、的最小值成立，若在上恒成立，等價于在上的最大值成立對任意，都有成立的充要條件是不等式的能成立（存在性）問題若在上能成立，等價于在上的最大值成立若在上能成立，等價于在上的最小值成立。例題精講: 例1. 曲線y=xex+2x+1在點（0,1）處的切線方程為_例2. 有下列命題：x=0是函數(shù)y=x3的極值點三次函數(shù)=ax3+bx2+cx+d有極值點的充要條件是b2-3ac0奇函數(shù)=mx3+（m-1）x2+48（m-2）x+n在區(qū)間（-4，4）上是單調函數(shù) 其中假命題的序號是_例3. 已知函數(shù)=x3+bx2+cx+d的圖像過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1）處的切線方程為6x-y+7=0（1）

6、求函數(shù)y=的解析式；（2）求函數(shù)y=的單調區(qū)間例4 （沒有圖像）已知函數(shù)R）. （1）若曲線在點處的切線與直線平行，求a的值； （2）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值； （3）當，且時，證明：解：（I）函數(shù)所以又曲線處的切線與直線平行，所以 4分 （II）令當x變化時，的變化情況如下表：來+0極大值由表可知：的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是所以處取得極大值，9分 （III）當由于只需證明令因為，所以上單調遞增，當即成立。故當時，有13分例5 18.（本小題共14分）已知函數(shù)（）若，求函數(shù)的極值和單調區(qū)間；(II) 若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（I）因為，2分當， ，令，得 ，

7、3分 又的定義域為，隨的變化情況如下表：0極小值所以時，的極小值為1 .5分 的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；6分（II）解法一：因為 ，且， 令，得到 ，在區(qū)間存在一點，使得成立，充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.7分 （1）當，即時，對成立，所以，在區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間上的最小值為， 由，得，即9分（2）當，即時， 若，則對成立，所以在區(qū)間上單調遞減， 所以，在區(qū)間上的最小值為，顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立11分 若，即時，則有極小值所以在區(qū)間上的最小值為，由，得 ，解得，即.13分綜上，由(1)（2）可知：符合題意.14分解法二：若在區(qū)間上存在一點，使得成立， 即，因為,

8、 所以，只需7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因為，令，得9分（1）當時：極大值 因為時，而， 只要，得，即11分 （2）當時：極小值 所以，當 時，極小值即最小值為，由， 得 ，即.13分 綜上，由(1)（2）可知，有14分例 6 已知函數(shù).（）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若對于都有成立，試求的取值范圍；解: (I) 直線的斜率為1.函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.所以當時，函數(shù)取得最小值，.因為對于都有成立，所以即可.則. 由

9、解得.所以的取值范圍是.8分例7 18.（本小題共14分）已知函數(shù) （I）若，求函數(shù)的解析式； （II）若，且在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍. 解：（）因為 ，2分 由即得，4分所以的解析式為.5分()若，則， ，6分 （1）當，即時，恒成立，那么在上單調遞增，所以，當時，在區(qū)間上單調遞增；8分（2）解法1：當，即或時，令解得，9分列表分析函數(shù)的單調性如下：10分要使函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，只需或，解得或.13分 解法2：當，即或時， 因為的對稱軸方程為9分要使函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，需或解得或.13分 綜上：當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.14分例 8 （12北京東城期末） 已知函數(shù).（）若，求

10、曲線在點處的切線方程；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍解析解：（）當時，. ， 3分 所以所求切線方程為即 5分 （）.令，得. 7分由于，的變化情況如下表：+00+單調增極大值單調減極小值單調增所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是和. 9分 要使在區(qū)間上單調遞增，應有 或 ， 解得或11分 又 且，12分 所以 即實數(shù)的取值范圍 13分例9已知函數(shù)求函數(shù)的導函數(shù)；當時，若函數(shù)是上的增函數(shù)，求的最小值；當時，函數(shù)在上存在單調遞增區(qū)間，求的取值范圍【解析】 3分因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立，則有，即設為參數(shù)，則當，且時，取得最小值（可用圓面的幾何意義解得的最小值）8分當時是開口向上的拋物

11、線，顯然在上存在子區(qū)間使得，所以的取值范圍是當時，顯然成立當時，是開口向下的拋物線，要使在上存在子區(qū)間使，應滿足或解得，或，所以的取值范圍是則的取值范圍是13分例10 18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；求函數(shù)的單調區(qū)間；當，且時，證明：【解析】 函數(shù)的定義域為，又曲線在點處的切線與直線垂直，所以，即由于當時，對于，有在定義域上恒成立，即在上是增函數(shù)當時，由，得當時，單調遞增；當時，單調遞減當時，令當時，在單調遞減又，所以在恒為負所以當時，即故當，且時，成立1函數(shù)y=x2+2x+1在x=1處的導數(shù)等于A2B3C4D52函數(shù)的導數(shù)是=A B CD3曲線y=x3

12、-3x2+1在點（1，-1）處的切線方程為Ay=3x-4By=-3x+2Cy=-4x+3Dy=4x+34 =x3-3x2+1是減函數(shù)的區(qū)間為A（2,）B（,2）C（,0）D（0,2）5函數(shù)=ax3+x+1有極值的充分必要條件是Aa0 B Ca0 D 6設是函數(shù)的導函數(shù)，y=的圖像如下右圖所示，則y=的圖像最有可能是7函數(shù)=x3+ax2+3x-9，已知在x=-3時取得極值，則a=A2B3C4D58函數(shù)=x3-3x+1，在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 A1，-1B1，-17C3，-17D9，-199函數(shù)y=在其定義域內可導，則“=0”是函數(shù)y=在點x=x0處有極值的A充分不必要條件B必要

13、不充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件10函數(shù)=（x-3）ex的單調遞增區(qū)間是A（,2）B（0,3）C（1,4）D（2,）11過原點作曲線y=ex的切線，則切點的坐標為_；切線的斜率為_12曲線y=x3-3x2+1在點（1,-1）處的切線方程為_13若可導函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足=3x2+2x，則=_14點P在曲線y=x3-x+上移動，設以點P為切點的切線的傾斜角為，求的取值范圍_ 15是=x3+2x+1的導函數(shù)，則的值是_16如圖，函數(shù)的圖像是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為（0,4），（2，0），（6，4），則_；函數(shù)在x=1處的導數(shù)=_17若曲線=ax2+lnx存在垂直于y軸的

14、切線，則實數(shù)a的取值范圍是_18設直線y=x+b是曲線y=lnx（x0）的一條切線，則實數(shù)b的值為_19函數(shù)=lnx的圖像在點（e，f（e）處的切線方程是_20函數(shù)y=的單調減區(qū)間是_21若函數(shù)=x3-3a2x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_22若函數(shù)=在區(qū)間（1,4）內為減函數(shù)，在區(qū)間（6,+）上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍23已知函數(shù)=ax3+bx2+cx在點x0處取得極大值5，其導函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點（1,0）,（2,0），如右上圖所示求：（）x0的值；（） a,b,c的值；（）的極小值答案:例1. y=3x+1 例2 例3（1）=x3-3x2-3x+2 （

15、2）(,1-)上單調遞增，(1-，1+)上單調遞減，在(1+,)上單調遞增針對訓練1C 2D 3B 4D 5C 6D 7D 8C 9B 10D 11(1,e), e 123x+y-2=0 136 14 153 162 17a0 18ln2-1 19y= 20(,0)和(0,1) 21-1a1 22 23（）x0=1（）a=2，b=-9，c=12（）4 高考鏈接1（09北京）設是偶函數(shù)，若曲線在點處的切線的斜率為1，則該曲線在點處的切線的斜率為_。2（07北京文）是的導函數(shù)，則的值是3（08北京文）如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4

16、），則f(f(0)= ; 函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)f（1）= .4（11北京文）（本小題共13分）已知函數(shù).（）求的單調區(qū)間；（）求在區(qū)間0,1上的最小值.5（10北京文） （本小題共14分） 設定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（）當a=3且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求a的取值范圍。6（08北京）（本小題共13分）已知函數(shù)是奇函數(shù).（）求a,c的值；（）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.答案1 略 2 （3） 3 2 -24（共13分）解：（）令，得與的情況如下：x（）（0+所以，的單調遞減區(qū)間是（）；單調遞增區(qū)間是（）當，即時，函數(shù)在0，1上單調遞增，所以（x）在區(qū)間0，1上的最小值為當時，由（）知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區(qū)間0，1上的最小值為；當時，函數(shù)在0，1上單調遞減，所以在區(qū)間0，1