高等數(shù)學(xué)公式一元函數(shù)部分

1、高等數(shù)學(xué)公式（一元函數(shù)部分）目 錄1 / 124第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)第二節(jié) 數(shù)列的極限第三節(jié) 函數(shù)的極限第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大第五節(jié) 連續(xù)性第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則第二節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 微分第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理第二節(jié) 洛必達(dá)法則第三節(jié) 泰勒公式第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三 函數(shù)的極值和最值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四 曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五 曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用六 曲線(xiàn)的曲率第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 原函數(shù) 不

2、定積分 不定積分公式第二節(jié) 不定積分的換元積分法 第一類(lèi)換元法 (湊微分法) 第二類(lèi)換元法第三節(jié) 不定積分的分部積分法第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法第四節(jié) 反常積分第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用 平面圖形的面積 體積 旋轉(zhuǎn)體的體積 弧長(zhǎng) 旋轉(zhuǎn)曲面的面積第二節(jié) 定積分的物理應(yīng)用 變力做功 抽水做功 水壓力索引第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 集合、映射與函數(shù)鄰域的概念點(diǎn)的鄰域：幾個(gè)重要的分段函數(shù)絕對(duì)值函數(shù) 性質(zhì)：符號(hào)函數(shù) 符號(hào)函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的關(guān)系：符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)：取整函數(shù) = 小于或等于x的最大整數(shù)是左邊的第一個(gè)整數(shù)(向左

3、取整)。是分段函數(shù)：取整函數(shù)的性質(zhì)： 狄利克雷 (Dirichlet) 函數(shù)Dirichlet 函數(shù)有很多“糟糕”的性質(zhì)首先，它沒(méi)有具體的表達(dá)式。其次，它沒(méi)有圖形：我們無(wú)法作出它的圖形，它的圖形是處處間斷的。又，它是沒(méi)有最小正周期的周期函數(shù)：每一個(gè)有理數(shù)都是函數(shù)的周期?；境醯群瘮?shù)：以下五類(lèi)函數(shù)稱(chēng)為基本初等函數(shù)：(1) 冪函數(shù)、(2) 指數(shù)函數(shù)、(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)、(4)三角函數(shù)、(5) 反三角函數(shù)(1) 冪函數(shù) (Power function) ()常見(jiàn)的冪函數(shù)： (2) 指數(shù)函數(shù) (Exponential function) 常見(jiàn)的指數(shù)函數(shù)： (3) 對(duì)數(shù)函數(shù) (Logarithmic fu

4、nction) 常見(jiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)：(自然對(duì)數(shù)) (常用對(duì)數(shù)) (4) 三角函數(shù) (Trigonometric function)正弦余弦正切余切正割余割 (5) 反三角函數(shù) (Inverse trigonometric function)反正弦 反余弦反正切反余切初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合，并且能用一個(gè)公式表示的函數(shù)。雙曲函數(shù) (Hyperbolic function)雙曲正弦 (Hyperbolic sine)雙曲余弦 (Hyperbolic cosine)雙曲正切 (Hyperbolic tangent)反雙曲函數(shù) (Inverse hyperbolic func

5、tion)反雙曲正弦 反雙曲余弦反雙曲正切返回目錄第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的概念數(shù)列：數(shù)列可以看成一個(gè)定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，稱(chēng)為整標(biāo)函數(shù)：()數(shù)列的單調(diào)性單增數(shù)列 ：?jiǎn)螠p數(shù)列 ：數(shù)列的有界性有界數(shù)列：，使得()。無(wú)界數(shù)列：，使得。數(shù)列無(wú)界的充分必要條件是存在趨于無(wú)窮大的子數(shù)列：數(shù)列有界性的等價(jià)定義數(shù)列有界的充要條件是：，使得()。和分稱(chēng)為數(shù)列的下界和上界。（數(shù)列有界當(dāng)且僅當(dāng)它既有上界，又有下界。）數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的直觀定義：是指：當(dāng)無(wú)限增大()時(shí)，一般項(xiàng)無(wú)限地趨于數(shù)()。數(shù)列極限的嚴(yán)格定義 (定義)：是指：對(duì)于任意給定的，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立。即 一些重要的數(shù)列

6、極限數(shù)列極限說(shuō) 明 () ()此結(jié)論常用。例如，例如，。 () ()例如，。 ()常用，的特例。 ()常用，的特例。 (，)此極限說(shuō)明是的高階無(wú)窮大。例如，。 ()此極限說(shuō)明是的高階無(wú)窮大。例如，。此極限說(shuō)明是的高階無(wú)窮大。本科不作要求。本科不作要求。重要極限，的定義。的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式。調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。歐拉常數(shù) 。*施篤茲定理 施篤茲定 理設(shè)數(shù)列若單調(diào)增加且，若存在，則 施篤茲定理可以用來(lái)計(jì)算一些難度較大的數(shù)列極限(型)。由施篤茲定理可以得到的一些極限(1) 若存在，則。前項(xiàng)的算術(shù)平均值的極限等于數(shù)列的極限。(2) 若存在()，則。前項(xiàng)的幾何平均值的極限等于數(shù)列的極限。(3) 若存在()，則。收

7、斂數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列極限的性質(zhì)說(shuō) 明唯一性若數(shù)列收斂，則其極限是唯一的。極限存在必唯一。有界性若數(shù)列收斂，則是有界數(shù)列。收斂數(shù)列必有界。例如，收斂，因此它是有界的。若數(shù)列無(wú)界，則發(fā)散。無(wú)界數(shù)列必發(fā)散。例如，無(wú)界，因此它是發(fā)散的。若數(shù)列有界，則不一定收斂。有界數(shù)列不一定收斂。反例：數(shù)列有界，但它不收斂。保號(hào)性若(或)，則存在，使得當(dāng)收斂于正數(shù)(或負(fù)數(shù))的數(shù)列最終將成為正的(或負(fù)的)數(shù)列(最多有有限項(xiàng)例外)。時(shí)，都有(或)。數(shù)列與子數(shù)列的斂散性關(guān)系若數(shù)列收斂于，則它的任何子數(shù)列也收斂于。整體收斂，部分收斂。若數(shù)列有一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，則也發(fā)散。部分發(fā)散，整體發(fā)散。若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，則

8、也發(fā)散。例如， 數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列和收斂于不同的極限和，故數(shù)列發(fā)散。若子數(shù)列與都收斂于，則數(shù)列也收斂于。奇次項(xiàng)子數(shù)列和偶次項(xiàng)子數(shù)列都收斂于同一極限，則數(shù)列收斂。這是一個(gè)重要的結(jié)論。若，則。證明：利用不等式。逆命題不成立。反例：。數(shù)列收斂的兩個(gè)準(zhǔn)則(1) 夾逼準(zhǔn)則：若 ()且，則。特例 若 ()且，則夾逼準(zhǔn)則的用法：當(dāng)極限難以確定時(shí)，可以將縮放成和()，使得極限和容易求得，并且，則。(2) 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。具體地說(shuō)：(1) 單調(diào)增加的數(shù)列若有上界，則必有極限，且的最小上界 (上確界)(2) 單調(diào)減少的數(shù)列若有下界，則必有極限，且的最大下界 (下確界)單調(diào)有界準(zhǔn)則的用法：如果能判

9、定數(shù)列單調(diào)增加(或單調(diào)減少)，并且能證明或觀察有上界(或下界)，則必有極限。數(shù)列極限的運(yùn)算法則設(shè)數(shù)列和都收斂，則數(shù)列， ，和()也收斂，且有下列運(yùn)算法則。運(yùn)算法則說(shuō) 明和差的極限極限的和差數(shù)列極限的線(xiàn)性性質(zhì)倍數(shù)的極限極限的倍數(shù)積的極限極限的積 ()商的極限極限的商 ()倒數(shù)的極限極限的倒數(shù)數(shù)列斂散性的若干性質(zhì)性質(zhì)說(shuō) 明設(shè)和都收斂，則也收斂。收斂收斂收斂設(shè)收斂，但發(fā)散，則必發(fā)散。收斂發(fā)散發(fā)散設(shè)和都發(fā)散，則不一定發(fā)散。發(fā)散發(fā)散發(fā)散返回目錄第三節(jié) 函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值的函數(shù)極限：（1） 函數(shù)極限的直觀定義：是指：當(dāng)自變量無(wú)限地趨于（）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地趨于數(shù)（），即。（2） 函數(shù)極限的

10、嚴(yán)格定義（定義）是指：對(duì)于任意給定的，總存在，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，就有。即 （3）極限的幾何解釋?zhuān)罕硎荆?，?（）即對(duì)于任意的，都能確定的一個(gè)去心鄰域，使得在這個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)的圖形位于水平直線(xiàn)和之間的一個(gè)寬為的條形區(qū)域內(nèi)。單側(cè)極限左極限 是指：，總存在，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，就有。右極限 是指：，總存在，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，就有。極限與單側(cè)極限的關(guān)系：極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在并且相等，即或推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個(gè)重要方法。函數(shù)在處的單側(cè)極限和極限兩個(gè)基本極限：， （圖形）。函 數(shù)單側(cè)極限極 限圖 形, 不存在下圖1, 不存在下圖2, 不存在下圖

11、3, 不存在下圖4 圖1 圖2 圖3 圖4二、自變量趨于無(wú)窮大的函數(shù)極限（1）函數(shù)極限的直觀定義是指：當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大（）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地趨于數(shù)（），即。（2）函數(shù)極限的嚴(yán)格定義（定義）(3) 單向極限的定義是指：對(duì)于任意給定的，總存在，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，就有。即極限與單向極限的關(guān)系：極限存在的充分必要條件是極限和極限都存在并且相等。即 推論 若，則極限不存在。注 這是證明極限不存在的一個(gè)重要方法。點(diǎn)評(píng) 表示的絕對(duì)值無(wú)限增大（可正可負(fù)），表示是正數(shù)且其絕對(duì)值無(wú)限增大，表示是負(fù)數(shù)且其絕對(duì)值無(wú)限增大。一些單向極限存在但極限不存在的函數(shù) 函數(shù)單向極限極限圖形 不存在圖形 不存在圖形

12、不存在圖形 不存在圖形 不存在圖形 不存在圖形函數(shù)極限的六種定義 為了便于使用和比較，現(xiàn)將函數(shù)極限的六種定義列表如下：極限類(lèi)型對(duì)任意給定的都存在當(dāng)時(shí)就有不等式 函數(shù)極限的性質(zhì)由極限的幾何解釋?zhuān)梢缘贸龊瘮?shù)極限的若干性質(zhì)。唯一性 若極限存在，則其極限是唯一的。（極限存在必唯一。）局部有界性 若極限存在，則函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)是有界的。（有極限的函數(shù)在附近一定有界（局部有界）。局部保號(hào)性 若（或），則在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)（或）。（以正數(shù)（負(fù)數(shù)）為極限的函數(shù)在附近一定是正函數(shù)（負(fù)函數(shù)）。）若，則在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)。注 是為了方便敘述。實(shí)際上在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)函數(shù)（）。不等式性 若在的某個(gè)去心鄰域

13、內(nèi)函數(shù)（或），且存在，則（或）。（非負(fù)函數(shù)的極限一定是非負(fù)的。非正函數(shù)的極限一定是非正的。）函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系若，則對(duì)任何收斂于的數(shù)列，都有。（任意方式收斂，特殊方式也收斂。）若存在收斂于的數(shù)列使得數(shù)列發(fā)散，則極限不存在。（特殊方式發(fā)散，任意方式也發(fā)散。）若和都收斂于，但，則極限不存在。（兩種特殊的方式有不同的極限，則極限不存在。）若，則。（任意方式收斂，特殊方式也收斂于同一極限。）注 利用這個(gè)公式可以將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)的極限。點(diǎn)評(píng) 對(duì)于極限也有相應(yīng)的結(jié)論。極限的四則運(yùn)算法則 設(shè)和性 質(zhì)說(shuō) 明可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的和差?？梢酝茝V到有限個(gè)函數(shù)的乘積。（）若，則此法失效。 （是正整數(shù)）一

14、些基本極限 （是正整數(shù)）返回目錄兩個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限： （這個(gè)極限的重要性在于它涉及到三角函數(shù)和反三角函數(shù)）函數(shù)是偶函數(shù)（如圖） 基本形式 一般形式 一般形式 特例 有關(guān)極限 注意 不是重要極限。返回目錄第二個(gè)重要極限： （這個(gè)極限的重要性在于它涉及到指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)）函數(shù) 定義域 （如圖） 基本形式 等價(jià)形式 數(shù)列形式 一般形式 一般形式 重要公式 等價(jià)形式 常用公式 或 （注意：對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響。）推廣形式 有關(guān)極限： 數(shù)列單調(diào)增加趨于，而數(shù)列單調(diào)減少趨于。與兩個(gè)重要極限有關(guān)的一些重要極限第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小的定義無(wú)窮小就是在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，以 0為極限的函數(shù)（或變量

15、）。極限與無(wú)窮小的關(guān)系：（）此定理表明：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，；反之，無(wú)窮小的比較設(shè)（1）（2）（3）注 （1）根據(jù)定義（2）等價(jià)無(wú)窮小也是同階無(wú)窮小，但同階無(wú)窮小一般不是等價(jià)的。常用的等價(jià)無(wú)窮?。〞r(shí)）： 當(dāng)時(shí)，（這個(gè)等價(jià)無(wú)窮小很有用。）證明：（）注意 若是型的極限，則。證明： （其中利用了等價(jià)無(wú)窮小替換）這是一個(gè)有用的公式，很多型的極限 都可以用這個(gè)公式計(jì)算。若，則或，即兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小的差一定是一個(gè)更高階的無(wú)窮小。一些更高階的等價(jià)無(wú)窮小（時(shí)）: （） （） （） （） （）等價(jià)無(wú)窮小的替換定理設(shè)，則即，在計(jì)算極限時(shí)，分子、分母中的等價(jià)無(wú)窮小乘積因子可以互相替換。注意 即：低階無(wú)窮小加高階

16、無(wú)窮小等價(jià)于低階無(wú)窮小。返回目錄無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)性 質(zhì)說(shuō) 明兩個(gè)無(wú)窮小的和（差）仍是無(wú)窮小。直觀記憶：推論 有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小。但無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和不一定是無(wú)窮小。反例 當(dāng)時(shí)，個(gè)無(wú)窮小的和不是無(wú)窮小。有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。直觀記憶：一個(gè)非常有用的結(jié)論，常用于極限的計(jì)算。推論 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。直觀記憶：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。直觀記憶：但無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的乘積不一定是無(wú)窮小。反例比較復(fù)雜。返回目錄無(wú)窮大的定義 無(wú)窮大就是在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù)（或變量）無(wú)窮大定義一覽表無(wú)窮大有18種，這18種無(wú)窮大的定義如下：無(wú)窮大的類(lèi)型對(duì)于任意給定的都存在

17、當(dāng)時(shí)就有不等式返回目錄無(wú)窮大的運(yùn)算性質(zhì)性 質(zhì)說(shuō) 明兩個(gè)無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大：直觀記憶：無(wú)窮大與有界函數(shù)的和是無(wú)窮大：直觀記憶：無(wú)窮大與一個(gè)有非零極限的函數(shù)的乘積是無(wú)窮大：直觀記憶：（）兩個(gè)無(wú)窮大的和不一定是無(wú)窮大：直觀記憶：反例 當(dāng)時(shí)，和都是無(wú)窮大，但是不是無(wú)窮大。兩個(gè)正無(wú)窮大的和仍是正無(wú)窮大：直觀記憶：兩個(gè)正負(fù)窮大的和仍是負(fù)無(wú)窮大：直觀記憶：無(wú)窮大與無(wú)窮小的倒數(shù)關(guān)系性 質(zhì)說(shuō) 明無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮?。盒蜗笥洃洠?無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大：形象記憶： 推論 形象記憶： （）推論 如果分式的極限存在，而分母趨于零，則分子必須趨于零（否則分式的極限為無(wú)窮大）。這是一個(gè)很常用的是事實(shí)，尤其是用在極限的反

18、問(wèn)題中。無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)單地說(shuō)：無(wú)窮大一定是無(wú)界函數(shù)，但是無(wú)界函數(shù)不一定是無(wú)窮大。性 質(zhì)說(shuō) 明若，則在的任何去心鄰域內(nèi)是無(wú)界的。記憶口訣： 無(wú)窮大必?zé)o界。若在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無(wú)界的，不能得出。記憶口訣： 無(wú)界不一定無(wú)窮大。無(wú)窮大與無(wú)界的區(qū)別 對(duì)于任意，要求在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)，都有。而在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無(wú)界，只要求有個(gè)別點(diǎn)滿(mǎn)足，而對(duì)其余的點(diǎn)則可能有。因此，在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是無(wú)界不足以保證證明函數(shù)不是無(wú)窮大或無(wú)界的方法證明的方法：欲證當(dāng)時(shí)，不是無(wú)窮大，只需找出一個(gè)區(qū)域的數(shù)列，使得收斂或有界。證明在集合上無(wú)界的方法：欲證在集合上無(wú)界，只需找出一個(gè)數(shù)列，使得。證明數(shù)列不是無(wú)窮大的

19、方法：欲證數(shù)列不是無(wú)窮大，只需找出一個(gè)收斂或有界的子數(shù)列。證明數(shù)列無(wú)界的方法：欲證數(shù)列無(wú)界，只需找出一個(gè)無(wú)窮大的子數(shù)列，即。返回目錄第五節(jié) 連續(xù)性連續(xù)的定義 函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)是指：或其中）若函數(shù) f(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù)，則稱(chēng) x0 為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。若函數(shù) f(x) 在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱(chēng)x0 為函數(shù)的間斷點(diǎn)。函數(shù) f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 上連續(xù)是指 f(x) 在該區(qū)間的每一個(gè)點(diǎn)處都連續(xù)。此時(shí)，稱(chēng) f(x) 為 (a, b) 上的連續(xù)函數(shù)。(a, b) 上的連續(xù)函數(shù) y = f(x) 的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn)。間斷點(diǎn)的分類(lèi)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)函數(shù)

20、 f(x) 和 g(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù)，則 也在點(diǎn)x0 處連續(xù)。推論 兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）仍為連續(xù)函數(shù)反函數(shù)的連續(xù)性 設(shè) y = f(x) 在區(qū)間 I = (a, b) 上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù) x = f 1(y) 在區(qū)間 J =f(I) 上單調(diào)且連續(xù)。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) u = g(x) 在點(diǎn)x0 處連續(xù)， y = f(u) 在點(diǎn)u0 = g(x0) 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y = fg(x) 在點(diǎn)x0 處連續(xù)。推論：連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。基本初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。閉區(qū)間

21、上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x) 在該區(qū)間上是有界的。最值性 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)函數(shù) f(x)一定能在該區(qū)間上取得最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值。零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 f(a) 與 f(b) 異號(hào)，則在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使得 f() = 0。這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù) f(x) 的零點(diǎn)，或方程 f(x)= 0 的根。零點(diǎn)定理的幾何解釋(下左圖)。 零點(diǎn)定理的幾何解釋 介值定理的幾何解釋介值定理設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且 M 和 m 分別是函數(shù)在a, b 上的最大值和最小值，則對(duì)任何介于 M 和

22、 m 值的數(shù) C，在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使得 f() = C。介值定理的幾何解釋?zhuān)ㄉ嫌覉D）。返回目錄第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的定義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義為：或 或 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)：；如果，則 單側(cè)導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：；右導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。即：推論：常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則特例： （倒函數(shù)的求導(dǎo)法則）導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性性質(zhì)：或 (線(xiàn)性組合的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合)多個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)：或 反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程確定了函數(shù)，則 隱函數(shù)的求導(dǎo)法

23、則設(shè)方程確定了隱函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)有以下求法：(1)直接求導(dǎo)法：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)，同時(shí)要將視為的函數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)。(2) 微分法：方程兩邊微分(利用微分形式不變性，變量和一視同仁)，得出式子，然后解出導(dǎo)數(shù)。(3) 公式法：求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可得導(dǎo)數(shù) 。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 或 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。逆否命題：若函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定不可導(dǎo)。注意：若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)。可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，但不是必要條件。連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。有關(guān)奇函數(shù)、偶函數(shù)和周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)結(jié)論奇函數(shù)和偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）偶函數(shù)

24、的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)： （下左圖）（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)： （下右圖） 偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù) 奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是周期函數(shù)：返回目錄第二節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè) 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則在點(diǎn)x0 處的二階導(dǎo)數(shù)為： 或 注：若函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x0有二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù) f (x) 在 x0 處連續(xù)。一些常用的n階導(dǎo)數(shù)公式 (是正整數(shù)) 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)設(shè)和二階可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)也二階可導(dǎo)，且 或 參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程確定了

25、函數(shù)，則 二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式： 或 二階導(dǎo)數(shù)的求法：三階導(dǎo)數(shù)的求法：隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)設(shè)方程確定了隱函數(shù)，則導(dǎo)數(shù) 。二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式是：返回目錄第三節(jié) 微分微分的定義可微與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分必要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，且。函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)和有極限的關(guān)系：或者基本初等函數(shù)的微分公式微分的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分返回目錄第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理羅爾定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo);（3） 端值相等：f(a) = f(b), 則存在, 使得.羅爾定理的幾何解

26、釋?zhuān)汉瘮?shù)曲線(xiàn)至少存在一條平行于x軸的切線(xiàn)（下左圖）。 羅爾定理的幾何解釋 拉格朗日中值定理的幾何解釋拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在, 使得 或 拉格朗日中值定理的幾何解釋?zhuān)汉瘮?shù)曲線(xiàn)至少存在一條平行于割線(xiàn)AB的切線(xiàn)（上右圖）。拉格朗日中值定理的兩個(gè)重要推論（1）在一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常值函數(shù)。（2）在一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒等的兩個(gè)函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。拉格朗日中值定理可以證明下列不等式或等式：（1）例如， 。（2）例如，（3）例如，?？挛髦兄刀ɡ碓O(shè)函數(shù) f(x) 和

27、F(x) （1）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)；且 F(x)0 ，則存在, 使得 微分中值定理小結(jié)羅爾定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:（1）f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);（2）f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo);（3）端值相等：f(a) = f(b),則存在, 使得.羅爾在這本書(shū)里給出了代數(shù)形式的羅爾定理拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:(1) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；(2) f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，則存在, 使得或 柯西中值定理設(shè)函數(shù) f(x) 和F(x)（1）在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；（2

28、）在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)且 F(x)0 ，則存在, 使得 三個(gè)微分中值定理之間的關(guān)系返回目錄第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則可以多次使用：其他未定式先轉(zhuǎn)化為基本型，再用洛必達(dá)法則。有三種類(lèi)型。返回目錄第三節(jié) 泰勒公式泰勒中值定理（1）帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式設(shè)函數(shù) f(x) 在 x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有 0n+1 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)的任何 x，有（2）帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 設(shè)函數(shù) f(x) 在 x0 處有 0n 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)的任何 x，有（3）麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）一些函數(shù)的麥克勞林公式（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）（帶拉格朗日型余項(xiàng)）（帶皮亞

29、諾型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)）（帶皮亞諾型余項(xiàng)） 返回目錄第四節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)(1) 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率： 切線(xiàn)方程： 法線(xiàn)斜率： 法線(xiàn)方程：(2) 參數(shù)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率： 切線(xiàn)方程： 或 法線(xiàn)斜率： 法線(xiàn)方程： 或 (3) 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率： 切線(xiàn)方程： 或 法線(xiàn)斜率： 法線(xiàn)方程： 或 返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定定理設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)。（1） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調(diào)增加；（2） 如果在 (a, b) 內(nèi) f (

30、x) < 0，則函數(shù) f(x) 在 a, b 上單調(diào)減少。利用單調(diào)性證明函數(shù)不等式返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三 函數(shù)的極值和最值極值的必要條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有 f ' (x0) = 0。函數(shù) f(x) 的駐點(diǎn)x0： f ' (x0) = 0。極值的必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。極值的第一充分條件（如圖所示）求連續(xù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)的可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）：x1, x2, , xn。這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間。（2）討論導(dǎo)數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，以確定函數(shù)的單調(diào)性。（3）考察導(dǎo)

31、數(shù)在以上可疑點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 。極值的第二充分條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處二階可導(dǎo)，且f ' (x0) = 0， f ''(x0) 0，則（1）f ''(x0) < 0 f (x0) 為極大值。 （2）f ''(x0) > 0 f (x0) 為極小值。極值的第二充分條件極值的高階充分條件設(shè)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 處 n 階可導(dǎo)，且f (k)( x0) = 0 (k = 1, n-1)，f (n)( x0) 0。則 （1）n 為偶數(shù)時(shí)，f (x0) 為極值：當(dāng)f (n)( x0) < 0 時(shí)

32、，f x0) 為極大值；當(dāng)f (n)( x0) > 0時(shí)， f (x0) 為極小值。（2） n 為奇數(shù)時(shí)，f (x0) 非極值。求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間 a, b 上的最值的方法（1）求出函數(shù) f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn): x1, x2, , xn。（2）比較函數(shù)值：f(x1), f(x2) , , f(xn) , f(a) , f(b) ，其中的最大者為函數(shù)的最大值、最小者為最小值。注意：不必判定 f(x1), f(x2) , , f(xn) 是否為極值。返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四 曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)凹弧的定義： （下左圖）凸弧的定義： （下右圖） 凹弧的定義 凸弧的定義

33、曲線(xiàn)的拐點(diǎn)：曲線(xiàn)的凹凸性改變的點(diǎn)。利用一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷凹凸性設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調(diào)增加，則曲線(xiàn) y = f(x)在 a, b 上是凹的。（2）若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 單調(diào)減少，則曲線(xiàn) y = f(x)在 a, b 上是凸的。曲線(xiàn)凹凸性的判定定理設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo)，那么(1) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) > 0，則曲線(xiàn) y = f(x)在 a, b 上是凹的。(2) 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) < 0，則曲線(xiàn)

34、y = f(x)在 a, b 上是凸的。求連續(xù)曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟（1）求出函數(shù) f(x) 在區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x1, x2, , xn。這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間。（2）討論二階導(dǎo)數(shù)在這些小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，以確定曲線(xiàn)的凹凸性。（3）考察二階導(dǎo)數(shù)在以上點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，以確定該點(diǎn)是否出現(xiàn)拐點(diǎn)。 返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五 曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)漸近線(xiàn)的定義 1. 鉛直漸近線(xiàn)（）（下左圖）。 鉛直漸近線(xiàn) 水平漸近線(xiàn)2. 水平漸近線(xiàn)（）（上右圖）3. 斜漸近線(xiàn) 求斜漸近線(xiàn)的方法：漸近線(xiàn)小結(jié)：返回目錄導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用六 曲線(xiàn)的曲率曲率是描述曲線(xiàn)彎曲程度的量?；《螐澢潭仍酱?，轉(zhuǎn)角越大

35、（下左圖）。轉(zhuǎn)角相同時(shí)，弧段越短，彎曲程度越大（下右圖）。 曲率的定義設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿曲線(xiàn) y = f(x) 移動(dòng)了s （弧長(zhǎng)增量），曲線(xiàn)的方向（切線(xiàn)方向）改變了。曲線(xiàn) y = f(x) 在點(diǎn) (x, y) 處的平均曲率：曲線(xiàn) y = f(x) 在點(diǎn) (x, y) 處的曲率：曲率的計(jì)算公式曲率圓、曲率中心與曲率半徑曲率中心的公式返回目錄第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)的概念如果在區(qū)間 I 上，則稱(chēng) F(x) 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)存在定理如果函數(shù) f(x ) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，則在該區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù) F(x), 使得即F(x) 是 f(x ) 在區(qū)間

36、 I 上的一個(gè)原函數(shù)。簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).不定積分的定義在區(qū)間 I 上，函數(shù) f(x) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱(chēng)為f(x) 在區(qū)間 I 上的不定積分，記作。就是f(x) 在區(qū)間 I 上的全體原函數(shù)，也就是某一個(gè)原函數(shù)F(x) 加任意常數(shù)：不定積分與微分的關(guān)系不定積分的線(xiàn)性性質(zhì)基本的不定積分公式 特例： 特例： 一些常用的不定積分公式 返回目錄第二節(jié) 不定積分的換元積分法第一類(lèi)換元法 (湊微分法)湊微分的基本原則：。湊微分的步驟： 常見(jiàn)的湊微分類(lèi)型返回目錄第二類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法步驟：第二類(lèi)換元法的類(lèi)型有理代換 （）三角代換 （利用） （利用） （利用）雙曲代換 （利用） （利用）倒代

37、換 當(dāng)分母的次冪較高時(shí)可采用倒代換化簡(jiǎn)積分。例如返回目錄第三節(jié) 不定積分的分部積分法分部積分公式 或 分部積分的步驟：分部積分的兩個(gè)原則： 1. dv容易湊出； 。常見(jiàn)的分部積分的類(lèi)型若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)冪函數(shù)為u，使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))。若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u。利用分部積分法得出的一些重要的積分公式返回目錄第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分是經(jīng)過(guò)劃分區(qū)間、任意取點(diǎn)、求和得到近似值、取極限得到精確值這四個(gè)步驟得到的以下和式的極限：其中 定積分的幾個(gè)模型曲邊

38、梯形的面積變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程變力沿直線(xiàn)所做的功定積分的幾何意義一個(gè)有用的定積分公式根據(jù)定積分的幾何意義，得到以下有用的定積分公式： (半圓的面積（如圖）)推論 （四分之一圓的面積）利用定積分計(jì)算數(shù)列極限根據(jù)定積分的定義，以下數(shù)列極限可以轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算（如下圖）：定積分的性質(zhì)定積分的值與積分變量無(wú)關(guān)：（積分變量可以任意更換） （上限和下限相同時(shí)，定積分等于零）（交換上限和下限，積分值反號(hào)）定積分的線(xiàn)性性質(zhì)（和的積分等于積分的和）（常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面） 推論 （0的定積分等于零）（線(xiàn)性組合的定積分定積分的線(xiàn)性組合）定積分的區(qū)間可加性 （1的定積分等于積分區(qū)間的長(zhǎng)度）（下左圖）推論 （下右

39、圖） 幾個(gè)積分不等式 （類(lèi)似于不等式 ） （定積分估值定理）積分中值定理 若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則存在一點(diǎn)，使得。積分第一中值定理若函數(shù) f(x)和g(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，g(x)在a, b上不變號(hào)，則存在一點(diǎn)，使。返回目錄第二節(jié) 微積分基本公式積分上限函數(shù)的概念設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，定義函數(shù)：（如圖）。由于此函數(shù)的自變量x在積分上限，故稱(chēng)之為積分上限函數(shù)。積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上可積，則函數(shù)在a, b上連續(xù)。（換言之，積分上限函數(shù)總是連續(xù)的。）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，

40、則積分上限函數(shù)在區(qū)間a, b上可導(dǎo)，且（換言之，的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(x)本身?。┰瘮?shù)存在定理設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，則上限函數(shù)就是 f(x) 在區(qū)間a, b上的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)（不定積分）存在定理 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（或不定積分）。不定積分與定積分之間的關(guān)系：積分變限函數(shù)的求導(dǎo)公式上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （將上限代入被積函數(shù)即可）下限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再添加一個(gè)負(fù)號(hào)）上限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將上限代入被積函數(shù)，再乘以上限的導(dǎo)數(shù)）下限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（將下限代入被積函數(shù)，再乘以下限的導(dǎo)數(shù)，最后添加一個(gè)負(fù)號(hào)）上下限復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（“將上限代入被積函數(shù)，乘以上限的導(dǎo)

41、數(shù)”減去“將下限代入被積函數(shù)，乘以下限的導(dǎo)數(shù)”）微積分基本定理設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間a, b上連續(xù)，F(xiàn)(x) 是 f(x) 在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，則（牛頓-萊布尼茨公式） 牛頓-萊布尼茨公式的另一種寫(xiě)法：（變化率的定積分等于總量之差?。┓祷啬夸浀谌?jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法定積分的湊微分公式（定積分的第一類(lèi)換元法）設(shè)函數(shù)F(x) 是 f(x) 在a, b上的一個(gè)原函數(shù)，則定積分的換元法（定積分的第二類(lèi)換元法）定積分換元法步驟一些定積分等式 （幾何解釋如圖）推論 一個(gè)重要公式（定積分的對(duì)稱(chēng)性）幾何解釋?zhuān)?（幾何解釋如圖）推論 周期函數(shù)的定積分設(shè)函數(shù) f(x) 以T為周期：

42、，則 。（積分區(qū)間為一個(gè)周期的定積分總是相等，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。）（幾何解釋如圖）返回目錄定積分的分部積分法一個(gè)有用公式的積分公式 (常用于定積分計(jì)算)返回目錄第四節(jié) 反常積分1無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分的定義(1) 右邊無(wú)限 (2) 左邊無(wú)限 (3) 兩邊無(wú)限 一個(gè)重要的反常積分：p-積分更一般的p-積分由p-積分的斂散性可得另外幾個(gè)重要的反常積分2. 無(wú)界函數(shù)的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分的定義(1) 瑕點(diǎn)在右端點(diǎn) (2) 瑕點(diǎn)在左端點(diǎn) (3) 瑕點(diǎn)在中間 一個(gè)重要的無(wú)界函數(shù)的反常積分：q-積分更一般的q-積分返回目錄第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用一、 平面圖形的面積1 直角坐

43、標(biāo)情形設(shè). 由 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的曲邊梯形的面積為：設(shè) f(x) 任意. 由 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設(shè) . 由 y = f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：（大函數(shù)減小函數(shù)，從左積到到右。）設(shè) f(x), g(x) 任意.由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形的面積為：設(shè).由 x = f(y), x=0, y=c, y=d 所圍成的曲邊梯形的面積為：。返回目錄2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo) 點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中，。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：。極坐標(biāo)系：幾個(gè)圓的極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程圖 形或或幾條直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程圖 形極坐標(biāo)下的面積公式設(shè)曲線(xiàn)方程由極坐標(biāo)方程給出：。由曲線(xiàn)、直線(xiàn)和所圍成的曲邊扇形的面積為：設(shè)。由曲線(xiàn)、直線(xiàn)和所圍成的圖形的面積為：返回目錄二、體積1. 已知平行截面面積求立體的體積（切片法）設(shè)有位于區(qū)間a, b 上的一立體。，已知立體的垂直于 x 軸的截面的面積為 A(x)，則立體的體積為：（切片法）體積元素：。切片法切片法也稱(chēng)為卡瓦列