高等數(shù)學-第9章多元函數(shù)微分法極其應用

1、章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§1 多元函數(shù)的基本概念課時2教學目的理解鄰域、內(nèi)點、聚點、邊界點和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的概念教學重點及突出方法多元函數(shù)的基本概念，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性教學難點及突破方法多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，與一元函數(shù)類似，多元連續(xù)函數(shù)也有最大最小值定理，介值定理。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P89-P107大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P449-P4561 / 21教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.1 多元函數(shù)的基本概念二元函數(shù)的基本概

2、念：設(shè)D是平面上一點集，若對每個點P(x,y)，D，變量z按照一定法則總有確定的值和它對應，則稱z是變量x,y的二元函數(shù)（或點P的函數(shù)），記為z=f(x,y)（或z=f(P)），D稱為函數(shù)的定義域。鄰域：設(shè)P0(x0,y0)是xoy面上的一個點，是一正數(shù)。與點P0距離小于的點P(x,y)的全體，稱為P0點的鄰域，記為U(P0,)。內(nèi)點:設(shè)E是平面上一點集，P是平面上一點，若存在點P的某一個鄰域U(P,)，使U(P,)包含于E，則稱P為E的內(nèi)點。開集：若點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集。區(qū)域：若D既是開集，又是連通的，則稱D為區(qū)域。聚點：設(shè)E為平面上的一個點集，P是平面上的一個點，若P點的任一個

3、鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于E，則稱P為E的聚點。多元函數(shù)的極限；設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，P0(x0,y0)是D的聚點，若對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對適合不等式的一切點P(x,y)，都有成立，則稱A為函數(shù)f(x,y)當xx0,yy0時的極限，記為。二元(多元)函數(shù)極限不存在的判別方法:如果點P沿不同曲線趨近于P0時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在。正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有與一元函數(shù)類似的運算法則.二元函數(shù)的連續(xù)性:  如果當點(x,y)趨向點(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，那末

4、稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。  如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個間斷點。關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題:  二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復雜，它除了有間斷點，還有間斷線。  二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零)和復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):最大值和最小值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和最大值。介值定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連

5、續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。有界性定理：在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)一定有界。結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的例題的講解。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§2 偏導數(shù)課時2教學目的理解偏導數(shù)的概念及二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義，掌握一階和二階偏導數(shù)的計算方法，理解函數(shù)在某點偏導數(shù)存在但在該點不一定連續(xù)的正確含義。教學重點及突出方法偏導數(shù)的概念，一階和二階偏導數(shù)的計算方法。教學難點及突破方法偏導數(shù)的概念，一階和二階偏導數(shù)的計算方法。通過偏導數(shù)定義，使學生了解偏導數(shù)與一元函數(shù)的導數(shù)的計算的聯(lián)系。多元函數(shù)的偏導數(shù)，就是只有

6、一個自變量變化（而其他自變量看成是常數(shù)）時，函數(shù)的變化率，因此，求多元函數(shù)的偏導數(shù)就相當于求一元函數(shù)的導數(shù)，一元函數(shù)的導數(shù)公式和求導法則在這里都適用。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P108-P117大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P456-P460教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.2 偏導數(shù) 一、偏導數(shù)的定義及計算法 在多元函數(shù)的微分運算中,函數(shù)的偏導數(shù)是最基本的運算. 下面我們就以二元函數(shù)為例，給出方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的概念. 定義1(偏導數(shù)):設(shè)有二元函數(shù)f(x,y),M0(x0,y0)是一個確定的點.

7、 固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù).如果x的函數(shù)f(x,y0)在點x0存在導數(shù),也就是極限 存在,則稱極限值為二元函數(shù)f(x,y)在點M0(x0,y0)關(guān)于變元x的 偏導數(shù), 記作或fx/(x0,y0)。 這就是說,為了求偏導數(shù),只需固定y=y0,將f(x,y0)看成變量x的一元函數(shù)f(x,y0),對于x在點x0求導數(shù)就可以了. 因此從純粹計算的觀點看,求多元函數(shù)的偏導數(shù)于一元函數(shù)的導數(shù)沒有什么區(qū)別. 同樣, 二元函數(shù)f(x,y)在點M0(x0,y0)關(guān)于變元y的 偏導數(shù)為：= fy/(x0,y0) 對于三元函數(shù)乃至多元函數(shù),可以類似地定義和計算偏導數(shù)。 對于多元函數(shù),函數(shù)在

8、某個點的偏導數(shù)存在性與函數(shù)在該點的連續(xù)性沒有直接聯(lián)系,不像一元函數(shù)那樣簡單：導數(shù)存在可以保證連續(xù)。偏導數(shù)的求法：   當函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數(shù)fx/(x0,y0)與fy/(x0,y0)都存在時， 我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點均可導，   那末稱函數(shù)f(x,y)在域D可導。 此時，對應于域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數(shù)，因而在域D確定了一個新的二元函數(shù)，   稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數(shù)。簡稱偏導數(shù)。至于實際求偏導

9、數(shù)，只要將二元函數(shù)中的一個變量固定，將其看作常數(shù)，對另一變量按照一元函數(shù)的求導法則求導即可。通過例題熟悉偏導數(shù)的概念。二、高階偏導數(shù)   如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)fx/(x,y)與fy/(x,y)仍然可導，   那末這兩個偏導函數(shù)的偏導數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù)。   二元函數(shù)的二階偏導數(shù)有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。   注意：f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對x求偏導，然后將所得的偏導函數(shù)再對y求偏導；后者是

10、先對y求偏導再對x求偏導。定理：.如果函數(shù)的兩個二階混合偏導f"xy與f"yx都連續(xù)時，求導的結(jié)果與求導的先后次序無關(guān)，即f"xy=f"yx。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§3 全微分課時2教學目的理解全微分的概念，可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。教學重點及突出方法可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。教學難點及突破方法可微分的必要條件及充分條件，可微與連續(xù)的關(guān)系。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P119-P126大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出

11、版社，P460-P462教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.3 全微分及其應用我們已經(jīng)學習了一元函數(shù)的微分的概念了，現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學習多元函數(shù)的的全增量，從而把微分的概念推廣到多元函數(shù)。   這里我們以二元函數(shù)為例。函數(shù)z=f(x,y)的全增量為：z=f(x+x，y+y)-f(x，y)全微分的定義如果函數(shù)z=f(x，y)在點（x，y）的全增量z=f(x+x，y+y)-f(x，y)可表示為：z=Ax +By+ o() (o()是當0時的高階無窮小)其中A,B不依賴于x, y而僅與x, y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x，y) 在點（x，y）可微分，而Ax +By稱為函

12、數(shù)z=f(x，y)在點（x，y）的全微分，記作dz，即dz=Ax +By。如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那末稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。下面討論函數(shù)z=f(x，y)在點（x，y）可微分的條件。定理1（必要條件）：如果函數(shù)z=f(x，y)在點（x，y）可微分，則該函數(shù)在點（x，y）的兩個偏導數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)必定存在，且函數(shù)z=f(x，y)在點（x，y）的全微分為dz=f 'x(x, y)x + f 'y(x, y)y。   注意：在找函數(shù)相應的全增量時，為了使z與偏導數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們可把由(x0,y0)變到(x0+x,y0

13、+y)的過程分為兩部：先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+y)，再變到點(x0+x,y0+y)。定理2（充分條件）：如果函數(shù)z=f(x，y) 偏導數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在點（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。習慣上，我們將自變量的增量x ，y分別記作dx，dy，并分別稱為自變量x，y的微分。則函數(shù)z=f(x，y)的全微分可寫為 dz=f 'x(x, y)dx + f 'y(x, y)dy。微分與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(x,y)可微分，則這函數(shù)在該點處必定連續(xù)。由二元函數(shù)的全微分的定義及關(guān)于全微分存在的充分條件可知，當函數(shù)z=f(x，y)

14、偏導數(shù)f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在點（x，y）連續(xù)，且|x| ，|y|都較小時，就有近似等式 zdz=f 'x(x, y)x + f 'y(x, y)y可利用此式進行近似計算。章節(jié)第九章 多元函數(shù)微分法及應用§4 多元復合函數(shù)的求導法則課時2教學目的掌握多元復合函數(shù)的求導法則。教學重點及突出方法多元復合函數(shù)的求導法則教學難點及突破方法多元復合函數(shù)的求導法則，復合函數(shù)的高階偏導數(shù)的計算。恰當選擇中間變量并理清因變量、中間變量與自變量之間的聯(lián)系方式，是用鏈式求導法則計算多元復合函數(shù)偏導數(shù)的關(guān)鍵所在。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗

15、，吳良大編，北京大學出版社P128-P146大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P474-P479教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.4 多元復合函數(shù)的求導公式   定理：   設(shè)均在(x, y)處可導,函數(shù)z=f (u, v)在對應的(u, v)處有連續(xù)的一階偏導數(shù)   那末,復合函數(shù)在(x, y)處可導,且有鏈式求導公式：上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。   一個多元復合函數(shù)，其一階偏導數(shù)的個數(shù)取決于此復合函數(shù)自變量的個數(shù)。在一階偏導數(shù)的鏈導公式中，項數(shù)的多少取決

16、于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù)。全導數(shù)  全導數(shù)實際上是一元函數(shù)的導數(shù)，只是求導的過程是借助于偏導數(shù)來完成而已定理: 如果函數(shù)u=(t)及（t）都在點t可導，函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f(t), (t)在點t可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：。如果z=f(u, x, y)具有連續(xù)偏導數(shù)，而u=(x, y)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=f(x, y), x, y)對自變量x, y的偏導數(shù)可用下列公式計算： 利用復合函數(shù)求導法，可以得到全微分形式的不變性。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§5 隱函數(shù)的求導法則公式課時2教學目

17、的掌握隱函數(shù)的求導法則。教學重點及突出方法隱函數(shù)的求導法則。教學難點及突破方法隱函數(shù)的求導法則，尤其是方程組的情形。對方程組的情形，可將方程組的每一個方程對變量求偏導得到方程組，然后解方程組求出要求的偏導數(shù)。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P159-P167大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P479-P484教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.5 隱函數(shù)的求導公式一、一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1： 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y

18、0) 0，則方程F(x, y) = 0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y = f(x)，它滿足條件y0 = f(x0)，并有。上面公式就是隱函數(shù)的求導公式。隱函數(shù)存在定理2： 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) 0，則方程F(x, y, z) = 0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)z = f(x, y)，它滿足條件z0 = f(x0,y0)，并有,。二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理3 設(shè)F（x, y,

19、 u, v）、G（x, y, u, v）在點P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：在點P(x0,y0,u0,v0)不等于零，則方程組F（x, y,u,v）= 0，G（x,y,u,v）= 0在點P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)u = u（x, y），v = v（x, y），它們滿足條件u0 = u（x0,y0），v0 = v（x0,y0），并有。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用習題（一

20、）課時2教學目的通過講解習題及補充的例題，使學生掌握復合函數(shù)求偏導及隱函數(shù)求導的計算方法。教學重點及突出方法教學難點及突破方法相關(guān)參考資料數(shù)學復習指南2004版（理工），陳文登，黃先開，世界圖書出版社，P261-P273教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容第九章的前五節(jié)習題中存在的問題并補充一些考研題及陳文登復習資料上的一些題。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§6 多元函數(shù)微分學的幾何應用課時2教學目的掌握空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計算。教學重點及突出方法空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的計算。教學難點及突破方法空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平

21、面與法線的計算。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P191-P197大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P501-P507教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.6   微分法在幾何上的應用一、 空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方稱為x=(t)，y=(t)，z=(t)，這里假定上式的三個函數(shù)都可導。在曲線上取對應于t=t0的一點M（x0，y0，z0）。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點M處的切線方程為：切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量T='（t0），'（t0），'（t0）就是曲線在

22、點M處的一個切向量。通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點M處的法平面，它是通過點M（x0，y0，z0）而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)= 0。二、 曲面的切平面與法線 設(shè)曲面由方程F（x, y, z）= 0給出，M（x0，y0，z0）是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)F（x, y, z）的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零。則根據(jù)解析幾何，可得曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上。這個平面稱為曲面在點M的切平面。這切平面的方程是Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0

23、，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)= 0通過點M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線。法線方程是: 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量。向量n = Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，y0，z0）就是曲面在點M處的一個法向量。章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§7 方向?qū)?shù)和梯度課時2教學目的了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。教學重點及突出方法方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。教學難點及突破方法方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。從偏導數(shù)的概念拓廣到方向?qū)?shù)概念，并指出與偏導數(shù)之關(guān)系，其次可通過具體應用實

24、例引入梯度之概念，可畫圖指出梯度與方向?qū)?shù)之關(guān)系，此外，順便介紹等高線、梯度場、勢場等知識加深對梯度概論的理解。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P150-P157大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P484-P487教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.7方向?qū)?shù)和梯度(1)將偏微分的幾何意義推廣到任意方向之偏微分。 (2) 由一般的方向?qū)?shù)中可以找出變化最大(小)的方向，定出 梯度向量章節(jié)第九章多元函數(shù)微分法及應用§8 多元函數(shù)極值的求法 課時2教學目的會求二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條

25、件極值。教學重點及突出方法二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學難點及突破方法二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。相關(guān)參考資料高等數(shù)學（第二冊）（物理類），文麗，吳良大編，北京大學出版社P175-P189大學數(shù)學 概念、方法與技巧（微積分部分），劉坤林，譚澤光編,清華大學出版社，P512-P520教學過程教學思路、主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容9.8 多元函數(shù)極值的求法一、 多元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導數(shù)來解決。定理1（必要條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：fx(

26、x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：（1）AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；（2）AC-B2<0時沒有極值；（2）AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。利用定理1、2，我們把具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z = f(x,y)的極值的求法敘述如下：第一步 解方程組fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。第二步 對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數(shù)的