郭碩鴻電動力學課后答案

1、電動力學答案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：解：（1）（2）在（1）中令得：，所以 即 2. 設(shè)是空間坐標的函數(shù)，證明： ， ， 證明：（1）（2）（3）3. 設(shè)為源點到場點的距離，的方向規(guī)定為從源點指向場點。（1）證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均為常向量。（1）證明： 可見 可見 ， （2）解： 因為，為常向量，所以， ，又， 為常向量，而，所以 4. 應(yīng)用高斯定理證明，應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明證明：（I）設(shè)為任意非零常矢量，則根據(jù)矢量分析公式 ，令其中，

2、便得所以 因為是任意非零常向量，所以（II）設(shè)為任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得 （1）（1）式左邊為： （2）（1）式右邊為： （3）所以 （4）因為為任意非零常向量，所以5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：證明：方法（I）因為封閉曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故， 同理 ， 所以 方法（II）根據(jù)并矢的散度公式得：6. 若m是常向量，證明除點以外，向量的旋度等于標量的梯度的負值，即，其中R為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。證明：其中 ， （） ， （）又 所以，當時，7. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容

3、率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（1）設(shè)場點到球心距離為。以球心為中心，以為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同處場強大小相同。當時， 。當時， ， ，向量式為 當時， 向量式為 （2）當時，當時，當時，8. 內(nèi)外半徑分別為和的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當 時，由安培環(huán)路定理得：當 時，由環(huán)路定理得：所以

4、， 向量式為 當 時，所以 ， 向量式為 （2）當 時，磁化強度為所以 在 處，磁化面電流密度為在 處，磁化面電流密度為向量式為 11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動勢為E 的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和 當電流達到恒定時，上述兩物體的結(jié)果如何？)解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場強方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強分段均勻，分別設(shè)為和，電位移分別設(shè)為和，其方向均由正極板指向負極板。當介質(zhì)不漏電時，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為取高斯柱面

5、，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板B內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 E 所以 E 當介質(zhì)漏電時，重復(fù)上述步驟，可得：， ， 介質(zhì)1中電流密度 介質(zhì)2中電流密度 由于電流恒定，再由 E 得E E EEE 13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）設(shè)導(dǎo)體外表面處電場強度為，其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為。在靜電情況下，導(dǎo)體內(nèi)部場強處處為零，由于在分界面上的切向分量連續(xù)，所以

6、因此 即只有法向分量，電場線與導(dǎo)體表面垂直。（2）在恒定電流情況下，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)表面處電場方向與導(dǎo)體表面夾角為，則電流密度與導(dǎo)體表面夾角也是。導(dǎo)體外的電流密度，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以因此 即只有切向分量，從而只有切向分量，電場線與導(dǎo)體表面平行。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。（1）證明在介質(zhì)中任何一點傳導(dǎo)電流與位移電流嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）求隨時間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度。（4）求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：（1）以電容器軸線為軸作一圓

7、柱形高斯面，其半徑為r，長度為L，其中則由高斯定理得： （1）所以 ， （2）再由電流連續(xù)性方程得： （3）所以 （4）即與嚴格抵消，因此內(nèi)部無磁場。（2）由 得： （5）聯(lián)立（2）（4）（5）得 （6）所以 （7）設(shè)初始條件為 ，則由（7）式得所以， （8）（3） （9）（4） 將上式在長度為l的一段介質(zhì)內(nèi)積分，得 （10）由 得：所以 （11）由（6）（10）（11）得 ：即總的能量耗散功率等于這段介質(zhì)的靜電能減少率。第二章 靜電場1. 一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強度為，電容率為。（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)

8、球產(chǎn)生的靜電場總能量。解：（1）（2）（3）（4）2. 在均勻外電場中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷解：（1）該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點建立球坐標系。當時，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為因為無窮遠處 ，所以 ，當 時，所以 即： 所以 （2）設(shè)球體待定電勢為，同理可得當 時，由題意，金屬球帶電量所以 3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點的電勢是點電荷的電

9、勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變量法空間各點的電勢是點電荷的電勢與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標系中解的形式為：當時，。當時，為有限，。所以 ， 由于球?qū)ΨQ性，電勢只與R有關(guān)，所以， 所以空間各點電勢可寫成當時，由 得： 由 得：，則 所以 （二）應(yīng)用高斯定理在球外，R>R0 ，由高斯定理得：，（整個導(dǎo)體球的束縛電荷），所以 ，積分后得： 在球內(nèi)，R<R0 ，由介質(zhì)中的高斯定理得：，所以 ，積分后得： 結(jié)果相同。4. 均勻介質(zhì)球（電容率為）的中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種

10、介質(zhì)（電容率為），求空間各點的電勢和極化電荷分布。解：以球心為原點，的方向為極軸方向建立球坐標系?？臻g各點的電勢可分為三種電荷的貢獻，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三部分的貢獻，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢為。所以球內(nèi)電勢可寫成：；球外電勢可寫成：其中和為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢，滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，和均與無關(guān)。考慮到時為有限值；時，故拉普拉斯方程的解為：由此 （1） （2）邊界條件為： （3） （4）將（1）（2）代入（3）和（4），然后比較的系數(shù)，可得：于是得到所求的解為：在均勻介質(zhì)內(nèi)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部，只有球心處

11、存在極化電荷。所以 在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為由于，所以5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為和，球中心置一偶極子球殼上帶電，求空間各點的電勢和電荷分布。解：以球心為原點，以的方向為極軸方向建立球坐標系。在及兩均勻區(qū)域，電勢滿足拉普拉斯方程。通解形式均為當時，電勢趨于零，所以時,電勢可寫為 (1)當時，電勢應(yīng)趨于偶極子激發(fā)的電勢：所以時，電勢可寫為 (2)設(shè)球殼的電勢為,則 (3) (4)由(3)得： ；由(4)得： ； ； 所以 (5) (6)再由 得： (7)將(7)代入(5)(6)得：在處，電荷分布為：在處，電荷分布為：7. 在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為的液體，使其中流著均勻的電流Jf

12、0。今在液體中置入一個電導(dǎo)率為的小球，求穩(wěn)恒時電流分布和面電荷分布，討論及兩種情況的電流分布的特點。解：本題雖然不是靜電問題，但當電流達到穩(wěn)定后，由于電流密度Jf0與電場強度E0成正比（比例系數(shù)為電導(dǎo)率），所以E0也是穩(wěn)定的。這種電場也是無旋場，其電勢也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場的方法求解。(1)未放入小球時，電流密度Jf0是均勻的，由Jf0可知，穩(wěn)恒電場E0也是一個均勻場。因此在未放入小球時電解液中的電勢便是均勻電場E0的電勢。放入小球后，以球心為原點，E0的方向為極軸方向，建立球坐標系。為方便起見，以坐標原點為電勢零點。在穩(wěn)恒電流條件下，所以： (1)由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下

13、的邊界條件為: (2)設(shè)小球內(nèi)的電勢為，電解液中的電勢為，則在交界面上有： (3) (4)將及代入(1)，得：可見滿足拉普拉斯方程考慮到對稱性及時，球外電勢的解可寫成： (5)其中利用了。考慮到時電勢為有限值，球內(nèi)電勢的解可寫成： (6)因為選處為電勢零點，所以，將(5) (6)代入(3) (4)得： (7) (8)由(7)(8)兩式可得: , 所以： () ()由此可得球內(nèi)電流密度:電解液中的電流密度為:(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度(3) 當，即球的電導(dǎo)率比周圍電解液的電導(dǎo)率大的多時， ， 所以， 當時，同理可得：8. 半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處（a &

14、gt;）置一點電荷，試用分離變量法求空間各點電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點，以球心到點電荷的連線為極軸建立球坐標系。將空間各點電勢看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點電荷產(chǎn)生的電勢，二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程?？紤]到對稱性，與無關(guān)。由于時，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫成 （1）由于時，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫成 （2）由于 （3）當時， （4）當時， （5）因為導(dǎo)體球接地，所以 （6） （7）將（6）代入（4）得: （8）將（7）代入（5）并利用（8）式得: （9）將（8）（9）分別代入（4）（5）得: （1

15、0）, （11）用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r0處的像電荷為Q。由對稱性，Q在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0，可得：（解略）， 所以空間的電勢為10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷，或使具有確定電勢，試求這兩種情況的電勢。又問與是何種關(guān)系時，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時，球內(nèi)電荷和球的內(nèi)表面感應(yīng)電荷的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為，只需滿足球外表面電量為+即可。因此，導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷時，可將空間電勢看作兩部分的迭加，一是與內(nèi)表面的產(chǎn)生的電勢，二是外表面+產(chǎn)生的電勢。， ； ， ；， ，所以由以上過程可見，球面電勢為。若已知球面電勢，

16、可設(shè)導(dǎo)體球總電量為，則有：，即：電勢的解為：當和滿足時，兩種情況的解相同。11. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以12. 有一點電荷Q位于兩個互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b， 求空間電勢。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用。13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電

17、導(dǎo)率為的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點分別置正負電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點間建立電場，使溶液中的載流子運動形成電流I，當系統(tǒng)穩(wěn)定時，屬恒定場，即，。對于恒定的電流，可按靜電場的方式處理。于是在A點取包圍A的高斯面，則，由于，所以 可得： 。同理，對B點有： 又，在容器壁上, ，即無電流穿過容器壁。由可知，當時，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個像電荷Q，下半空間三個像電荷 -Q，容器內(nèi)的電勢分布為： 16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生

18、的電勢又可表為，試證明以上兩表達式是等同的。 證明：由第一種表達式得，所以，兩表達式是等同的。實際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負面電荷密度±而靠的很近的兩個面，形成面偶極層，而偶極矩密度）證明：1）如圖，由高斯定理可得：，即，電勢是連續(xù)的，但是， 1 +即，電勢法向微商有躍變 n E l2）如圖，由高斯定理可得： 2 z又 ，即電勢的法向微商是連續(xù)的。

19、第三章 靜磁場1. 試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩種不同表示式，證明二者之差為無旋場。解：是沿 z 方向的均勻恒定磁場，即 ，由矢勢定義得；三個方程組成的方程組有無數(shù)多解，如：， 即：；， 即：解與解之差為則這說明兩者之差是無旋場 3. 設(shè)有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，z>0區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應(yīng)強度，然后求出磁化電流分布。解：設(shè)z>0區(qū)域磁感應(yīng)強度和磁場強度為，；z<0區(qū)域為，由對稱性可知 和均沿方向。由于的切向分量連續(xù)，所以。由此得到，滿足邊值關(guān)系，由唯一性定理可知，該結(jié)果為唯一正確的解。 以 z 軸上任

20、意一點為圓心，以 r 為半徑作一圓周，則圓周上各點的大小相等。根據(jù)安培環(huán)路定理得：，即， ，(z>0)；，(z<0)。在介質(zhì)中 所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應(yīng)電流：，電流在 z<0 區(qū)域內(nèi)，沿 z 軸流向介質(zhì)分界面。4. 設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動，求磁感應(yīng)強度和磁化電流分布。解：假設(shè)本題中的磁場分布仍呈軸對稱，則可寫作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由 得：在x<0 的介質(zhì)中 ，則： 再由 可得，所以， （沿 z 軸）5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對稱磁場。在柱坐標原點附近已知，其中為常量。試求該

21、處的。提示：用，并驗證所得結(jié)果滿足。解：由于B具有對稱性，設(shè)， 其中 ，即：，（常數(shù)）。當時，為有限，所以 ；，即： （1）因為，所以 ，即 （2）直接驗證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數(shù))6. 兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應(yīng)強度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時的L和a的關(guān)系。提示：用條件解：1） 由畢薩定律，L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為， 同理，-L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：，。所以，軸線上的磁感應(yīng)強度： （1）2）因為 ，所以 ；又因為，所以 ，。代入（1）式并化簡得：將

22、 z=0 帶入上式得：， 7. 半徑為a的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢所滿足的方程為： 自然邊界條件：時，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標系，該問題具有軸對稱性，且解與 z 無關(guān)。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。； 9. 將一磁導(dǎo)率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內(nèi)，求總磁感應(yīng)強度和誘導(dǎo)磁矩m。(對比P49靜電場的例子。)解：根據(jù)題意，以球心為原點建立球坐標，取H0的方向為，此球體被外加磁場磁化后，產(chǎn)生一個附加磁場，并與外加均勻場相互作用，最后達到平衡，呈現(xiàn)軸對稱。本題所

23、滿足的微分方程為： （1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足 及 由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：； 由兩個銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：； ，即：，（），（）在R<R0區(qū)域內(nèi)，12. 將上題的永磁球置入均勻外磁場中，結(jié)果如何？解：根據(jù)題意假設(shè)均勻外場的方向與M0的方向相同，定為坐標 z 軸方向。磁標勢的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件，得：解得： ，其中 ，13. 有一個均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉(zhuǎn)動，求球內(nèi)外的磁場。提示：本題通過解或的方程都可以解決，也可以

24、比較本題與§5例2的電流分布得到結(jié)果。解：根據(jù)題意，取球體自轉(zhuǎn)軸為 z 軸，建立球坐標系。磁標勢的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 其中 是球殼表面自由面電流密度。解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件，得：； 解得： ， ，其中 ，14. 電荷按體均勻分布的剛性小球，其總電荷為，半徑為，它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動量之比（設(shè)質(zhì)量M0是均勻分布的）。解：1）磁矩又 ， 又 2)自轉(zhuǎn)動量矩：15. 有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力。解：根據(jù)題意，因為

25、無窮大平面的µ很大，則在平面上所有的H均和平面垂直，類比于靜電場，構(gòu)造磁矩m關(guān)于平面的鏡像,則外場為：而 m受力為：第四章 電磁波的傳播 2. 一平面電磁波以45°從真空入射到的介質(zhì)，電場強度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。解：設(shè) n 為界面法向單位矢量，、分別為入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，則反射系數(shù)R 和折射系數(shù)T 定義為：， 又根據(jù)電場強度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得， 根據(jù)折射定律可得：，代入上式，得， 4. 頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時，若仍按變化，但不再與平行（即不成立）。（1）證明，但一般。（2）證明。（3）證明能流S與波矢k一

26、般不在同一方向上。證明：1）麥氏方程組為： （1） （2） （3） （4）由（4）式得： （5）同理由（3）式得： （6）由（2）式得： （7） （8）由（1）式得： （9） （10）由（5）、（8）可知：；，所以共面。又由（6）可知：，所以，當且僅當時，。所以，各向異性介質(zhì)中，一般。2）將（9）式代入（7）式，便得：3）由（9）式得 由于一般情況下，所以 S 除了k 方向的分量外，還有 E 方向的分量，即能流 S 與波矢 k 一般不在同一方向上。 6. 平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁?。證明：設(shè)在 z>0 的空間中是金屬導(dǎo)體，電磁波由 z<

27、;0 的空間中垂直于導(dǎo)體表面入射。已知導(dǎo)體中電磁波的電場部分表達式是：于是，單位時間內(nèi)由 z=0 表面的單位面積進入導(dǎo)體的能量為：，其中 S的平均值為 在導(dǎo)體內(nèi)部： 金屬導(dǎo)體單位體積消耗的焦耳熱的平均值為：作積分： 即得界面上單位面積對應(yīng)的導(dǎo)體中消耗的平均焦耳熱。又因為 ，所以，原題得證。8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為。求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何？提示：導(dǎo)電介質(zhì)中的波矢量，只有z分量。（為什么？）解：根據(jù)題意,取入射面為 xz 平面，z 軸沿分界面法線方向，如圖所示。設(shè)導(dǎo)體中的電磁波表示為： z而 k上式中滿足： （1） x （2） 根據(jù)邊界條件得： k1 k2 （3） （4），。將結(jié)果代入（1）、（2）得： （5） （6）解得：其相速度為：。衰減深度為：。如果是良導(dǎo)體，的實部與其虛部相比忽略，則：9. 無限長的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體平板完全封閉，求在到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。解：在此結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)管中，電磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：，電場的三個分量通解形式相同，均為：邊界條件為：在及兩平面：，在及兩平面：，在