誤差理論與數(shù)據(jù)處理 第八章線性參數(shù)最小二乘法與組合測量

1、4- 1教學(xué)目的和要求：教學(xué)目的和要求： 通過本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對間接測量不確定通過本章內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生對間接測量不確定度的評定、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配和最佳測量度的評定、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配和最佳測量方案的設(shè)計有一個系統(tǒng)和全面的了解。要求學(xué)生方案的設(shè)計有一個系統(tǒng)和全面的了解。要求學(xué)生能夠熟練的進(jìn)行間接測量數(shù)據(jù)的不確定度評定；能夠熟練的進(jìn)行間接測量數(shù)據(jù)的不確定度評定；掌握合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分配的基本原則；初步掌掌握合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度分配的基本原則；初步掌握最佳測量方案設(shè)計的方法握最佳測量方案設(shè)計的方法。 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 1 1 間接測量不確定度的評定：評定的基本公式、間接測量不確定度

2、的評定：評定的基本公式、 評定方法與步驟、實例。評定方法與步驟、實例。2 2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配：按等作用原則分配合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的分配：按等作用原則分配 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度、按可能性調(diào)整分配后的不合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度、按可能性調(diào)整分配后的不 確定度、驗算調(diào)整后的不確定度。確定度、驗算調(diào)整后的不確定度。3. 3. 最佳測量方案的設(shè)計：最佳測量函數(shù)公式的選最佳測量方案的設(shè)計：最佳測量函數(shù)公式的選擇、靈敏系數(shù)最小選擇。擇、靈敏系數(shù)最小選擇。第一節(jié)最小二乘法原理 最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。找最可信賴值的問題。 對某量進(jìn)行測量

3、，得到一組數(shù)據(jù)對某量進(jìn)行測量，得到一組數(shù)據(jù) , ,不不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布態(tài)分布, ,其標(biāo)準(zhǔn)差為其標(biāo)準(zhǔn)差為 x12,nx xx12,n 測得值落入的概率測得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx測得值測得值 同時出現(xiàn)的概率為同時出現(xiàn)的概率為 12,nx xx211exp()2( 2 )niiniiiiivPpdx最可信賴值滿足最可信賴值滿足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw權(quán)因子權(quán)因子 雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實際上，雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)

4、出最小二乘法，實際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計推斷已形成按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計推斷已形成一種準(zhǔn)則。一種準(zhǔn)則。第一節(jié)最小二乘法原理第一節(jié)最小二乘法原理線性參數(shù)的最小二乘法處理線性參數(shù)的最小二乘法處理一般地，線性函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為一般地，線性函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為Yf（X，a）那么，線性函數(shù)的測量方程為那么，線性函數(shù)的測量方程為tntnnnttttXaXaXaYXaXaXaYXaXaXaY22112222121212121111(8-1)其相應(yīng)的估計量為tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay221122221212121211118-2 相應(yīng)的殘余誤差方程為 )(

5、)()(22112222121222212121111111tntnnnnnnttttxaxaxalylvxaxaxalylvxaxaxalylv8-3第二節(jié)正規(guī)方程第二節(jié)正規(guī)方程組合測量基本概念組合測量基本概念如為精密測定如為精密測定1 1號、號、2 2號和號和3 3號電容器的電容量號電容器的電容量 1x2x3x測得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的數(shù)學(xué)模型 待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的

6、若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計值。測量的最佳估計值。 一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程方程 線性參數(shù)的殘余誤差方程為線性參數(shù)的殘余誤差方程為 )()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalvmin2222112nniivvvvnnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112

7、111111221121正規(guī)方程組可寫為正規(guī)方程組可寫為 000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava矩陣形式矩陣形式 00021212221212111nntttnnvvvaaaaaaaaa例例81 在不同溫度下測定銅棒的長度如下表，試估計在不同溫度下測定銅棒的長度如下表，試估計0時的銅棒長度時的銅棒長度y0和銅的線膨脹系數(shù)和銅的線膨脹系數(shù)a。i123456ti102025304045li2000.362000.722000.802001.072001.482001.60解 測量銅棒長度的數(shù)學(xué)模型是yy0（1at）由此列出測量方程yiy0（

8、1ati） （i1，2，6）可得殘余誤差方程viliy0（1ati） （i1，2，6）其中 li在溫度ti下銅棒長度的測量值； a銅的線膨脹系數(shù)。令y0a ，a y0b為待估計的兩個參數(shù)，則殘余誤差方程可寫為vili（atib） （i1，2，6）為了方便計算，將數(shù)據(jù)列表如下ititi22limmti li（mm）11010020003620003.622040020007240014.432562520008050020.043090020010760032.1540160020014880059.2645202520016090072.0170565012006.03340201.3根據(jù)殘余

9、誤差方程，按式（根據(jù)殘余誤差方程，按式（822822）寫出正規(guī)方程）寫出正規(guī)方程61616126161iiiiiiltbtatlbtna將表中計算出的正規(guī)方程的系數(shù)和常數(shù)代入正規(guī)方程，則有3 .340201565017003.120061706baba解之解之a(chǎn)1999.97（mm）b0.03654（mm）即即 y01999.97（mm）Cyb/0000183. 097.199903654. 00若按矩陣形式計算，則有若按矩陣形式計算，則有565017017066126161iiitttn0012. 0034. 0034. 013. 16161iiiltlCC1AT L于是可得于是可得 LAC

10、XT103654. 097.19993 .34020103.120060012. 0034. 0034. 013. 1ba 所以a1999.97（mm）b0.03654（mm）即 y01999.97（mm） Cyb/0000183. 097.199903654. 00因此，銅棒長度因此，銅棒長度y隨溫度隨溫度t的線性變化的規(guī)律為的線性變化的規(guī)律為y1999.97（10.0000183t）mm二、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程不等精度測量時線性參數(shù)的殘余誤差方程與等精度相同，不同之處在于進(jìn)行不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理時，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即 min2222211

11、nnvwvwvw不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 nnnniitititiiitiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw1111222111111222221121111112211210000000002121212222112111nnntttnnvvvwwwaaaaaaaaa線性測量方程組線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijj

12、ijya xv測量殘差方程組 含有隨機(jī)誤差A(yù)x = yy - Ax = v矩陣形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvvT() ()Miny - Axy - Ax最小二乘法原理式最小二乘法原理式 求導(dǎo)求導(dǎo)TTA Ax = A y正規(guī)方程組正規(guī)方程組 正規(guī)方程組解正規(guī)方程組解 1TxCA yTA ACT() w()Miny - Axy - AxwwTTAAx = Ay1(TTwwxAA) Ay不等權(quán)不等權(quán)正規(guī)方程組 不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理時，要取加權(quán)殘余誤差平方和為最小，即為簡化表達(dá)式，不妨令 將加權(quán)殘余誤差的平方和分別對各

13、x1，x2，xt求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，即min2222211nnvwvwvw222221112nnniiivwvwvwvwZ00021txZxZxZ上列各式的二階偏導(dǎo)數(shù)恒正，即02121212niiawxZ02122222niiawxZ021222nititawxZ由此可知，加權(quán)殘余誤差的平方和222221112nnniiivwvwvwvwZ的極小值存在。而由一階偏導(dǎo)數(shù)等于零所構(gòu)成的線性方程組為nnnniitititiiitiiitinnnniiititiiiiiiinniiinntitiiiiiiilawxawxaawxaawlawxaawxawxaawlawxaawxaawxaw1111

14、22211111122222112111111221121（828） 線性方程組（線性方程組（828）稱為不等精度測量線性參數(shù)最小二）稱為不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程。這是一個乘法處理的正規(guī)方程。這是一個t元線性方程組，在其系數(shù)元線性方程組，在其系數(shù)行列式不等于零時，有唯一確定的解。這一確定的解滿足最行列式不等于零時，有唯一確定的解。這一確定的解滿足最小二乘法原理式（小二乘法原理式（87）、是未知參數(shù)的最佳估計量。）、是未知參數(shù)的最佳估計量。線性方程組（線性方程組（828）在形式上有如下特征）在形式上有如下特征：1沿方程組主對角線上分布的項的系數(shù)niijiaw12（j1，2，t

15、） 都是正數(shù)； 2以主對角線為軸對稱分布的項的系數(shù)相等，如 niiiniiiaawaaw112121若不等精度測量數(shù)據(jù)若不等精度測量數(shù)據(jù)l1，l2，ln的權(quán)分別為的權(quán)分別為w1，w2，wn，將不等精度測量的正規(guī)方程式（，將不等精度測量的正規(guī)方程式（828）單位權(quán)化，單位權(quán)化，即令即令trnilwlawaiiiiriir,2,1,2,1于是，不等精度測量的正規(guī)方程式（828）轉(zhuǎn)化為nnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121（829

16、） 顯然，正規(guī)方程式（829）在形式上與等精度測量的正規(guī)方程式（822）完全一樣。把不等精度測量的正規(guī)方程（828）各式分別展開，整理后可得 與式（823）類似的結(jié)果000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvawvawvawvawvawvawvawvawvaw三、非線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程 一般情況下，若測量方程一般情況下，若測量方程 Yf（X1，X2，Xn）為非為非線性函數(shù)，則測量的殘余誤差方程線性函數(shù)，則測量的殘余誤差方程 ),(),(),(2121222222111111tnnnnnttxxxflylvxxxflylvxxxflylv可以按線

17、性參數(shù)的情形列出正規(guī)方程并解出可以按線性參數(shù)的情形列出正規(guī)方程并解出r（r1，2，t），），進(jìn)而求得相應(yīng)的估計量進(jìn)而求得相應(yīng)的估計量xr（r1，2，t）。）。 )()()(2211222212122121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系 最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理可看成最小二乘法原理的特例平均值原理可看成最小二乘法原理的特例 第三節(jié)第三節(jié) 不確定度評定不確定度評定一、測量數(shù)據(jù)的不確定度評定一、測量數(shù)據(jù)的不確定度評定 （一）等精度測量數(shù)據(jù)的不確定度評定（一

18、）等精度測量數(shù)據(jù)的不確定度評定 根據(jù)根據(jù)2分布的性質(zhì)，有分布的性質(zhì)，有 tnvEni212212ntnnvEninvsni12221212tnvEtnnnvEninitnvsni122tnvsni12（二）不等精度測量數(shù)據(jù)的不確定度評定（二）不等精度測量數(shù)據(jù)的不確定度評定 測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無偏估計為單位權(quán)實驗方差測量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無偏估計為單位權(quán)實驗方差tnvwsnii122tnvwsnii12二、最小二乘估計量的不確定度評定二、最小二乘估計量的不確定度評定 設(shè)有正規(guī)方程設(shè)有正規(guī)方程 nnnniittitiitiitnnnniititiiiinniinntitiiiilaxaxaax

19、aalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111122211111122222112111111221121nnnniitttittiittiittnnnniititiiiinniinntitiiiiladxadxaadxaadladxaadxadxaadladxaadxaadxad11111212211111111212212222121121211111111112211112111 1 2 nnnittiitiitnnnititiiinnnititiiiadaadaadaadadaadaadaadad1112121211111121221212111111121122111001nnn

20、ittiitiitnnnititiiinnnititiiiadaadaadaadadaadaadaadad1112222212111122222212211111221222121010對不等精度測量可參照此步驟進(jìn)行對不等精度測量可參照此步驟進(jìn)行nnnitttiittiittnnnitittitiitnnnitittiititadaadaadaadadaadaadaadad1112221111122221211111212211100第四節(jié)第四節(jié) 組合測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理組合測量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理 組合測量是通過直接測量待測參數(shù)的估計量（一般采用等組合測量是通過直接測量待測參數(shù)的估計量（

21、一般采用等精度測量），然后對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求得待測參精度測量），然后對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求得待測參數(shù)的估計量，并給出其不確定度。一般地，組合測量數(shù)據(jù)數(shù)的估計量，并給出其不確定度。一般地，組合測量數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精密測量中的用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精密測量中的一種重要應(yīng)用。一種重要應(yīng)用。 要求檢定絲紋尺要求檢定絲紋尺0 0，1 1，2 2，3 3刻線間的距離刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 123,x x

22、x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456例題例題計算步驟計算步驟【解】【解】列出測量殘差方程組列出測量殘差方程組 L- Ax = v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx解出11TTTxC A LA AA L10.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.

23、9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即計算結(jié)果計算結(jié)果代入殘差方程組可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.016(1.0280.983)0.0051.981 (0.983 1.013)0.0153.032(1.

24、0280.983 1.013)0.008vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 2222221234560.000536vvvvvv估計的標(biāo)準(zhǔn)差 0.0005360.01363s 1110.010 xs d2220.010 xs d 3330.010 xs d 估計的標(biāo)準(zhǔn)差估計的標(biāo)準(zhǔn)差 組合測量的概念：組合測量的概念：組合測量是指直接測量各被測量的組合量，將組合量的測得組合測量是指直接測量各被測量的組合量，將組合量的測得值和對應(yīng)的組合量一一列出方程，然后通過解測量方程組得值和對應(yīng)的組合量一一列出方程，然后通過解測量方程組得到各被測量的量值，并給出其不確定度。到各被測量的量值，并給出其不確

25、定度。組合測量數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精組合測量數(shù)據(jù)用最小二乘法進(jìn)行處理，這是最小二乘法在精密測量中的一種重要應(yīng)用。密測量中的一種重要應(yīng)用。組合測量既可提高測量的準(zhǔn)確度，又可減少測量的工作量，組合測量既可提高測量的準(zhǔn)確度，又可減少測量的工作量，常用于精密測試和計量檢定之中常用于精密測試和計量檢定之中用組合測量檢定三段刻線間距，求檢定結(jié)果用組合測量檢定三段刻線間距，求檢定結(jié)果。如圖如圖81所示，要求檢定所示，要求檢定A、B、C、D間的距離間的距離x1、x2、x3。x3ABCDx1x2l3l1l2l6l4l5 圖81 圖82 直接測量刻線間距的各種組合量（見圖82），得到如下測量

26、數(shù)據(jù)：l11.015mml20.985mml31.020mml42.016mml51.981mml63.032mm列出殘差方程3216632552144333222111xxxlvxxlvxxlvxlvxlvxlv則正規(guī)方程為nnnniiiiiiinnnniiiiiiinnnniiiiiiiilaxaxaaxaalaxaaxaxaalaxaaxaaxa111133232231131111233222211211111331221121iai1ai2ai3liai12ai1 ai2ai1 ai3ai1 liai22ai2 ai3ai2 liai32ai3 li11001.0151001.0150000020100.9850000100.9850030011.020000000011.02041102.0161102.016102.0160