考研數(shù)學(xué)真題答案

1、2007-2011年考研數(shù)學(xué)（二）答案2007年考研數(shù)學(xué)（二）答案32008年考研數(shù)學(xué)（二）答案132009年考研數(shù)學(xué)（二）答案172010年考研數(shù)學(xué)（二）答案282011年考研數(shù)學(xué)（二）答案312007年考研數(shù)學(xué)（二）答案1【分析】本題為等價(jià)無窮小的判定，利用定義或等價(jià)無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時(shí)， 故用排除法可得正確選項(xiàng)為（B）. 事實(shí)上， 或.所以應(yīng)選（B）【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無窮小代換可簡化計(jì)算. 2【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型.【詳解】函數(shù)在均無意義， 而； ； . 所以為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（

2、A）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 對初等函數(shù)來講，無定義點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，然后再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型；對分段函數(shù)來講，每一分段支中的無定義點(diǎn)為間斷點(diǎn)，而分段點(diǎn)也可能為間斷點(diǎn)，然后求左右極限進(jìn)行判斷.段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便.4【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng).【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實(shí)上， 在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為

3、0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項(xiàng)正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 5【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在. 本題要注意當(dāng)時(shí)的極限不同.6【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列. 由于含有抽象

4、函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果.【詳解】選（D）. 取，而發(fā)散，則可排除（A）；取，而收斂，則可排除（B）；取，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）.事實(shí)上，若，則. 對任意，因?yàn)?，所以?對任意，. 故選（D）.【評注】對于含有抽象函數(shù)的問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計(jì)算.7.【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件. 利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系.【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)(0,0) 處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點(diǎn)處可微. 故應(yīng)選（

5、C）. 事實(shí)上， 由可得 ，即同理有從而 = .根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點(diǎn)處可微，故應(yīng)選(C). 【評注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，才可微.8,【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，則， 故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 畫圖更易看出.9.【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相關(guān)；若，則線性無關(guān). 但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過簡單的線性運(yùn)算得到正確選項(xiàng).【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因?yàn)?，而?所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】

6、本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng).10.【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到實(shí)對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計(jì)算與的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本題為未定式極限的求解，利用洛必

7、達(dá)法則即可.【詳解】.【評注】本題利用了洛必達(dá)法則. 本題還可用泰勒級(jí)數(shù)展開計(jì)算. 因?yàn)?， 所以 .12.【分析】本題考查參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在對應(yīng)于的點(diǎn)的切線斜率為，故曲線在對應(yīng)于的點(diǎn)的法線斜率為.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.13.【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.14.【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個(gè)特解，則其通解為 .【詳解】對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 則對應(yīng)齊次方程的通

8、解為 . 設(shè)原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù).【評注】本題為基礎(chǔ)題型.15【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得， 所以.【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性.16【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題考查矩陣的運(yùn)算和秩，為基礎(chǔ)題型.17【分析】對含變上限積分的函數(shù)方程，一般先對x求導(dǎo)，再積分即可.【詳解】 兩邊對求導(dǎo)得，（）兩邊積分得. （1）將代入題中方程可得 .因?yàn)槭菂^(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則的值域?yàn)?，單調(diào)非負(fù)，所以. 代入（1）式可得，

9、故.【評注】利用變限積分的可導(dǎo)性是解函數(shù)方程的方法之一.18【分析】V(a)的可通過廣義積分進(jìn)行計(jì)算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【詳解】（）.（）令，得. 當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少. 所以在取得極大值，即為最大值，且最大值為.【評注】本題為定積分幾何應(yīng)用的典型問題，需記憶相關(guān)公式，如平面圖形的面積，繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)體的體積公式等.19【分析】本題為不含的可降階方程，令，然后求解方程.【詳解】本題不含，則設(shè)，于是，原方程變?yōu)?， 則 ，解之得，將代入左式得 ， 于是 ，結(jié)合得， 故 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型.20.【分析】本題實(shí)質(zhì)上是二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，注意需用隱函數(shù)求導(dǎo)法確定.【

10、詳解】令，則. 兩邊對求導(dǎo)得 ，又，可得 在兩邊對求導(dǎo)得 . 所以 . 【評注】也可利用兩邊對求導(dǎo)得可得. 21【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點(diǎn)取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點(diǎn)取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可

11、得證； 方法二：驗(yàn)證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件. 22【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分.【詳解】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內(nèi)的部分. 而 . 所以 .【評注】被積函數(shù)包含時(shí), 可考慮用極坐標(biāo)，解答如下：.23【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣.顯然，當(dāng)時(shí)無公共解.當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)；當(dāng)時(shí)，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).（24） (本題滿分11

12、分)設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般

13、用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請記住以下結(jié)論：（1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的. （2）對實(shí)對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的2008年考研數(shù)學(xué)（二）答案一，選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1) 應(yīng)選(D).令，可得有三個(gè)零點(diǎn)故應(yīng)選(D).(2) 應(yīng)選(C).，其中是矩形面積，為曲邊梯形的面積，所以為曲邊三角形ACD的面積故應(yīng)選(C).(3) 應(yīng)選(D).由，可知其特征根為，故對應(yīng)的特征值方程為所以所求微分方程為應(yīng)選(D)

14、.(4) 應(yīng)選(A). (5) 應(yīng)選(B).若若單調(diào)，則由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界知，若單調(diào)有界，因此若收斂故應(yīng)選(B).(6) 應(yīng)選(A).利用極坐標(biāo)，得，所以故應(yīng)選(A).(7) 應(yīng)選(C).，故，均可逆故應(yīng)選(C).(8) 應(yīng)選(D).則，記，則則，正負(fù)慣性指數(shù)相同.故選D.二、填空題：(914小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.)(9) 應(yīng)填(10) 應(yīng)填(11) 應(yīng)填(12) (13) (14)應(yīng)填三、解答題(1523小題，共94分) (15)(本題滿分9分)【詳解1】(或，或)【詳解2】（或）(16)(本題滿分10分)【詳解1】由得，積分得由條件，得，即，故 方程組兩端同時(shí)

15、對求導(dǎo)得所以，從而17（本題滿分9分）【詳解1】 由于，故是反常積分令，有，【詳解2】 令，有，所以(18)(本題滿分11分)將區(qū)域分成如圖所示得兩個(gè)子區(qū)域和于是(19)(本題滿分11分)根據(jù)題意，因?yàn)樾D(zhuǎn)體體積，側(cè)面積所以 上式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)得2009年考研數(shù)學(xué)（二）答案一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(1) 【答案】【解析】由于,則當(dāng)取任何整數(shù)時(shí),均無意義.故的間斷點(diǎn)有無窮多個(gè),但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn),故應(yīng)是的解.故可去間斷點(diǎn)為3個(gè),即. (2) 【答案】【解析】 ,故排除.另外,存在,蘊(yùn)含

16、了,故排除.所以本題選. (3) 【答案】【解析】因可得.,又在處,故為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn). (4) 【答案】【解析】的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠郑?將其寫成一塊,故二重積分可以表示為,故答案為. (5) 【答案】【解析】由題意可知,是一個(gè)凸函數(shù),即,且在點(diǎn)處的曲率,而,由此可得,.在上,即單調(diào)減少,沒有極值點(diǎn).對于,(拉格朗日中值定理)而,由零點(diǎn)定理知,在上,有零點(diǎn).故應(yīng)選.（6）【答案】 【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：時(shí)，且單調(diào)遞減。時(shí)，單調(diào)遞增。時(shí)，為常函數(shù)。時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。由于F(x)為連續(xù)函

17、數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為。（7）【答案】 B 【解析】根據(jù)若分塊矩陣的行列式即分塊矩陣可逆（8）【答案】 A【解析】，即：二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）【答案】【解析】所以 所以 切線方程為（10）【答案】【解析】因?yàn)闃O限存在所以（11）【答案】0【解析】令所以即（12）【答案】【解析】對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)有，得對再次求導(dǎo)可得，得 當(dāng)時(shí)，代入得（13）【答案】【解析】因?yàn)?，令得駐點(diǎn)為。又，得，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故在上遞減，在上遞增。而，所以在區(qū)間上的最小值為。(14)【答案】【解析】因?yàn)橄嗨朴冢鶕?jù)相似矩陣有相同的特征

18、值，得到的特征值是，而是一個(gè)常數(shù)，是矩陣的對角元素之和，則。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）【解析】（16）（本題滿分10 分）【解析】方法一：令得方法二： 即（17）【解析】（18）（本題滿分10分）【解析】微分方程得其通解為任意常數(shù)令，則，微分方程變形為得到其中為任意常數(shù)即得到其中為任意常數(shù)又因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)時(shí)與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，于是可得從而于是，所求非負(fù)函數(shù)又由可得，在第一象限曲線表示為于是D圍繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，其中（19）（本題滿分10分）【解析】由得，（20）（本題滿分12分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，即，得，又代入得，從而有當(dāng)時(shí)，得 的通解為 令解為，則有，得，故