相似三角形的性質(zhì)及判定知識點總結(jié)題型總結(jié)學生版

1、相似三角形的性質(zhì)及判定中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性質(zhì)，以及掌握相關(guān)的模型會運用相似三角形相關(guān)的知識解決有關(guān)問題知識點睛一、相似的有關(guān)概念1相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形相似形僅是形狀相同，大小不一定相同相似圖形之間的互相變換稱為相似變換2相似圖形的特性兩個相似圖形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等3相似比兩個相似圖形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形如圖，與相似，記作，符號讀作“相似于”2相似比相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三

2、角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”三、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)角相等如圖，與相似，則有2相似三角形的對應(yīng)邊成比例與相似，則有（為相似比）3相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比如圖1，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）圖1如圖2，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）圖2如圖3，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）圖34相似三角形周長的比等于相似比如圖4，與相似，則有（為相似比）應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有圖45相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上

3、的高線，則有（為相似比）進而可得圖5四、相似三角形的判定1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似3如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似4如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似可簡單地說成：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似5如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分

4、成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應(yīng)成比例，那么這兩個等腰三角形也相似五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項式、倒數(shù)式、復合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個字母恰為的頂點；分母的兩條線段是和，三個字母恰為的三個頂點因此只需證2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個字母恰為的頂點；右邊的比兩條線段是和中的三個字母恰為的三個頂點因此只需證3中間比法由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同

5、點的情況，此時可考慮運用等線，等比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法尋找相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時，常用到中間比比例中項式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解倒數(shù)式的證明，往往需要先進行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個比值和的形式，然后對比值進行等量代換，進而證明之復合式的證明比較復雜通常需要進行等線代換（對線段進行等量代換），等比代換，等積代換，將復合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進行證明六、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似

6、三角形，同時再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等如圖：平分交于，求證：證法一：過作，交的延長線于，點評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型證法二；過作的平行線，交的延長線于，點評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進行相互轉(zhuǎn)化來解決問題常用的面積法基本模型如下：如圖：如圖：如圖：八、相似證明中的基本模型例題精講一、與三角形有關(guān)的相似問題【例1】 如圖，在中，點在邊上，若在增加一個條件就能使，則這個條件可以是 【鞏固】如圖，、是的邊、上的點，且，求證：.【鞏固】如圖，

7、在中，于，于，的面積是面積的4倍，求的長.【例2】 如圖，中，點是內(nèi)一點，使得，則 【鞏固】如圖，已知三個邊長相等的正方形相鄰并排，求【例3】 如圖，已知中，與相交于，則的值為（ ）A. B.1 C. D.2【鞏固】在中，的延長線交的延長線于， 求證：.【鞏固】如圖，、為邊上的兩點，且滿足，一條平行于的直線分別交、和的延長線于點、和.求證：.【例4】 如圖，已知，若，求證：.【鞏固】如圖，垂足分別為、，和相交于點，垂足為.證明：.【鞏固】如圖，已知，找出、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【例5】 如圖，在四邊形中，與相交于點，直線平行于，且與、及的延長線分別相交于點、和.求證：【鞏固】已知，如圖，

8、四邊形，兩組對邊延長后交于、，對角線，的延長線交于求證：【考點】相似三角形的性質(zhì)與判定【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【例6】 如圖， 中，若分別是的中點，則；若分別是的中點，則；若分別是的中點，則；若分別是的中點，則_.【例7】 如圖，內(nèi)有一點，過作各邊的平行線，把分成三個三角形和三個平行四邊形若三個三角形的面積分別為，則的面積是 【例8】 如圖，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為，則梯形的面積是（ ）ABCD【鞏固】如圖，梯形中，兩條對角線、相交于，若，那么 二、與平行四邊形有關(guān)的相似問題【例9】 如圖，已知平行四邊形中，過點的直線順次與、及的延長線相交于點、，若，則的

9、長是 【鞏固】如圖，已知，求證：.【例10】 如圖，的對角線相交于點，在的延長線上任取一點，連接交于點，若,求的值【鞏固】如圖：矩形的面積是36，在邊上分別取點，使得，且與的交點為點，求的面積。三、與梯形有關(guān)的相似問題【例11】 已知：如圖，在梯形中，是的中點，分別連接、，且與交于點，與交于.（1）求證：（2）若,，求的長.【鞏固】如圖，在梯形中，分別是的中點，交于，交于，求的長 【例12】 如圖，已知梯形中，,(),交于點，連接.（1）判斷與，與是否分別一定相似，若相似，請加以證明.（2）如果不一定相似，請指出、滿足什么關(guān)系時，它們就能相似.四、與內(nèi)接矩形有關(guān)的相似問題【例13】 中，正方形

10、的兩個頂點、在上，另兩個頂點、分別在、上，,邊上的高,求.【鞏固】如圖，已知中，四邊形為正方形，其中在邊上，在上，求正方形的邊長【例14】 如圖，已知中，四邊形為正方形，在線段上，在上，如果，求的面積【鞏固】如圖，在中，動點(與點，不重合)在邊上，交于點當?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長當?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長試問在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出的長課后作業(yè)1. 直線與的邊相交于點，與邊相交于點，下列條件：；中，能使與相似的條件有（ ）A1個B2個C3個D4個2. 如圖，在的邊上取一點，在取一點，使，直線和的延長線相交于，求證：3. 已知：為的中位線上任意一點，、的延長線分別交對邊、于、，求證：4.