級(jí)數(shù)與廣義積分

1、第五章 級(jí)數(shù)與廣義積分§5.1 收斂性的討論一、基本概念與收斂的必要條件1.級(jí)數(shù)與廣義積分收斂性定義（1）設(shè)是數(shù)列,則稱為級(jí)數(shù).稱為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和.若數(shù)列收斂,則稱此級(jí)數(shù)收斂,并稱極限值為級(jí)數(shù)的和.(2)設(shè)是定義在上的函數(shù),其中.若對(duì)任意,在上可積,且極限存在,則稱積分收斂,或在上廣義可積,且記.當(dāng)且在點(diǎn)附近無界時(shí),稱為瑕點(diǎn).當(dāng)為或瑕點(diǎn)時(shí),稱為廣義積分.類似可定義為時(shí)廣義積分的收斂性.設(shè)是定義在上的函數(shù),其中,定義,其中.若與都收斂時(shí),稱積分收斂,易證上述定義與的選擇無關(guān).2.級(jí)數(shù)收斂的必要條件若級(jí)數(shù)收斂,則.但是由廣義積分收斂,不能推出.例1 存在上廣義可積的正值連續(xù)函數(shù),使得.

2、解 定義函數(shù)如下:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),.其中取遍任意自然數(shù)函數(shù).的圖像如圖所示再令,則在上連續(xù)恒正,且是收斂的,但是.例2設(shè)在上一致連續(xù)且收斂,證明.證明 由于在上一致連續(xù),當(dāng)且時(shí), 有.由于收斂,存在,當(dāng)時(shí), .由于.所以.即.這證明了.例3設(shè)在上單調(diào)遞減非負(fù)且收斂,證明.證明 由于收斂, 存在,當(dāng)時(shí), .又在上單調(diào)遞減非負(fù),從而.故有.因此當(dāng)時(shí),所以.例4設(shè)在上可微, 可積,且當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減趨于零.又收斂,試證收斂.證明 首先非負(fù).否則,若存在使得,則時(shí)恒有,從而發(fā)散,而這與已知條件矛盾.其次由,且收斂可知,收斂與否取決于是否存在. 由例3證明過程可知.例5設(shè)在上有連續(xù)可微函數(shù),積分

3、和都收斂.證明.證明 要證,有極限,由歸結(jié)原則,只要證恒有收斂.事實(shí)上,由收斂,由Cauchy收斂準(zhǔn)則, , 存在,當(dāng)時(shí), 恒有.于是,存在,當(dāng)時(shí),有,從而.所以收斂.由歸結(jié)原則存在.下證.若,由局部保號(hào)性,存在,當(dāng)時(shí)有.從而時(shí)這與收斂矛盾.同理可證也不可能,故.二、收斂的充分條件1.比較原則 設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在,當(dāng)時(shí), .(1)若收斂,則收斂;(2)若發(fā)散,則發(fā)散.推論 設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在,當(dāng)時(shí), .(1)若收斂,則收斂;(2)若發(fā)散,則發(fā)散.對(duì)廣義積分有類似的比較原則.例6設(shè)是單調(diào)遞增的正數(shù)列,證明(1) 當(dāng)有界時(shí),收斂;(2) 當(dāng)無界時(shí),發(fā)散.證明 (1)由條件知存在,設(shè).因

4、為,由比較原則級(jí)數(shù)收斂.(2) 當(dāng)無界時(shí),有.由于,對(duì)固定的,取充分大的使得,則有.由Cauchy收斂準(zhǔn)則,級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí) 設(shè)在上連續(xù),對(duì)任意有.另外.試證若,則收斂.證明 因故, 存在,當(dāng)時(shí)有,即,所以(當(dāng)時(shí)).因,故取,于是,所以收斂.由比較判別法收斂.2.比式判別法 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),若極限存在，則(1)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)1試證如下級(jí)數(shù)收斂(1);(2).提示 (1)令，(其中),易證.(歸結(jié)原則).練習(xí)2設(shè)在的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂證明1 由得,.又.由歸結(jié)原則, ,故,而級(jí)數(shù)收斂,由比較判別法知絕對(duì)收斂證明2 由得,.在某鄰域內(nèi)的二階泰勒展式為,

5、由連續(xù)知，有，從而有故絕對(duì)收斂例7（比式判別法的推廣）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),則(1) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.證明 (1) 設(shè),存在使得.由上極限的性質(zhì),存在,當(dāng)時(shí).故有,由于等比級(jí)數(shù)收斂,由比較原則, 收斂,所以級(jí)數(shù)收斂.（2）設(shè),存在使得.由下極限的性質(zhì),存在,當(dāng)時(shí), .因此,所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的.3.根式判別法 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),若極限存在，則(1)當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.（根式判別法的推廣）設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),則(1) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.證明可仿照例7進(jìn)行.4.Raabe判別法(極限形式) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)且極限存在.(1)若,則級(jí)數(shù)收斂;(2) 若,則級(jí)數(shù)發(fā)

6、散.證明 取使得.存在,當(dāng)時(shí), ,由此得.取滿足.由于,故當(dāng)充分大時(shí),即.所以.因此由收斂與比較原則的推論可知收斂.(3) 當(dāng)充分大時(shí),有,.由調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散與比較原則的推論可知發(fā)散.例8討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 設(shè),由于 ,(此處利用已知極限),由Raabe判別法,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)由Raabe判別法的證明過程知級(jí)數(shù)發(fā)散.推論 .例9討論級(jí)數(shù)的斂散性.其中.解 設(shè).由于,由Raabe判別法,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為,因此級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例10 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減非負(fù),證明級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂.證明 設(shè),.當(dāng)時(shí), .因此若級(jí)數(shù)收斂,則數(shù)列有界,從而數(shù)列有界,這推出級(jí)數(shù)收斂.

7、當(dāng)時(shí), .故由級(jí)數(shù)收斂可推出級(jí)數(shù)收斂.例11 設(shè),證明數(shù)列與級(jí)數(shù)同為收斂或發(fā)散.證明 令,則.所以收斂收斂收斂.由于當(dāng)時(shí)有,所以與同為收斂或發(fā)散,從而數(shù)列與級(jí)數(shù)同為收斂或發(fā)散注當(dāng)數(shù)列收斂時(shí),稱無窮乘積收斂,其極限值稱為無窮乘積的值.否則稱無窮乘積發(fā)散.例如發(fā)散而收斂.例12設(shè)且,證明級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同為收斂或發(fā)散.證明 令,.則.所以級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同為收斂或發(fā)散.例13 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)散的,表示該級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和.證明（1）級(jí)數(shù)也是發(fā)散的;（2）級(jí)數(shù)收斂證明 (1) 由條件知單調(diào)遞增趨于.我們有固定,令,則.因此存在,當(dāng)時(shí),有.所以當(dāng)時(shí), .由Cauchy收斂準(zhǔn)則級(jí)數(shù)發(fā)散.（2），此級(jí)數(shù)部分和有界，故該

8、級(jí)數(shù)收斂5. Leibniz判別法 設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(其中)滿足(1) 單調(diào)遞減;(2) ,則級(jí)數(shù)收斂.6. Abel判別法 設(shè) (1) 級(jí)數(shù)收斂;(2) 數(shù)列單調(diào)有界,則級(jí)數(shù)收斂.7. Dirichlet判別法 設(shè) (1) 級(jí)數(shù)的部分和有界;(2) 數(shù)列單調(diào)遞減且,則級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于廣義積分有相應(yīng)的Abel判別法與Dirichlet判別法,這里就不再復(fù)述了.例14設(shè)函數(shù)在上,且單調(diào)遞減,并對(duì)任意的,在上可積.試證明:與具有相同的斂散性.證明 因,且單調(diào)遞減,故單調(diào)遞減到0或到某個(gè)正數(shù)A.（1）當(dāng)單調(diào)遞減到0時(shí),則由Dirichlet判別法知,收斂.從而由=知,與具有相同的斂散性.（2）當(dāng)單調(diào)遞減到某

9、個(gè)正數(shù)A時(shí),則對(duì)無論多么大的數(shù),有.,故這兩個(gè)積分都發(fā)散.例15 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 （1）當(dāng)時(shí),通項(xiàng)不收斂到0,此級(jí)數(shù)發(fā)散;（2） 當(dāng)時(shí),而收斂,由比較原則知,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（3） 當(dāng)時(shí),收斂,單調(diào)有界,應(yīng)用Abel判別法知原級(jí)數(shù)收斂.因?yàn)?,故原級(jí)數(shù)條件收斂.例16設(shè),且極限存在且大于證明級(jí)數(shù)收斂.證明 由Leibniz判別法,只要證單調(diào)遞減趨于.由條件知,存在與,當(dāng)時(shí), ,由此得.該不等式說明單調(diào)遞減的.取滿足.當(dāng)時(shí),有,故存在,當(dāng)時(shí),即.所以當(dāng)時(shí),即.不妨設(shè)當(dāng)時(shí)該不等式成立.則用數(shù)學(xué)歸納法可證明.由此可得.例17討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 設(shè),由例8知級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散.因此當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)

10、絕對(duì)收斂,此時(shí)有,故.由例16知當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂.由收斂的必要條件知當(dāng)時(shí), .因此當(dāng)時(shí), .故級(jí)數(shù)發(fā)散.本題的結(jié)論可總結(jié)為:.例18證明級(jí)數(shù)是條件收斂的.證明 令,.則單調(diào)遞減趨于.又由三角恒等式,所以.由Dirichlet判別法知級(jí)數(shù)收斂.下面證明發(fā)散. .設(shè),顯然且是連續(xù)的周期函數(shù).因此存在使得.所以.由此可知級(jí)數(shù)發(fā)散.例19討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)顯然收斂.當(dāng)時(shí),令,.同例18可證部分和有界.下證單調(diào)遞減趨于.由Dirichlet判別法知級(jí)數(shù)收斂.用類似于例18的方法可證該級(jí)數(shù)是條件收斂的.例20 若收斂，收斂,則級(jí)數(shù)收斂.證明 令,則.利用Abel變換得到.由于.而單調(diào)有界,級(jí)數(shù)

11、收斂.由Abel判別法知級(jí)數(shù)收斂.再由數(shù)列的收斂性即可知級(jí)數(shù)收斂.練習(xí)設(shè)收斂，證明：證明 記級(jí)數(shù) 的前n項(xiàng)和為，則，而，所以例21 設(shè),級(jí)數(shù)的和記為.證明.證明 顯然.另一方面, 令,則,.當(dāng)時(shí), .因此為嚴(yán)格下凸函數(shù).故對(duì)任意,當(dāng)時(shí),有.取則即.所以,. 因此.所以.例22討論級(jí)數(shù)的斂散性.解 令.由于,故.同理可證.因此是單調(diào)遞減趨于的.所以級(jí)數(shù)收斂,從而原級(jí)數(shù)收斂.注 上例中實(shí)際上是證明了加括號(hào)后的級(jí)數(shù)是收斂的.問題是:一個(gè)變號(hào)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂能否推出原級(jí)數(shù)是收斂的?在一般情況下是不行的.例如級(jí)數(shù)是發(fā)散的,但加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂.我們有以下的定理.定理 將級(jí)數(shù)加括號(hào),使得同一括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)具有

12、相同的符號(hào).如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂,則原級(jí)數(shù)也收斂,且兩個(gè)級(jí)數(shù)的和相等.證明 設(shè)加括號(hào)后的級(jí)數(shù)為.其中.設(shè)的部分和為,則.由條件知級(jí)數(shù)收斂.因此極限存在,記為其極限值.設(shè),則當(dāng)中的項(xiàng)全為正項(xiàng)時(shí), ;則當(dāng)中的項(xiàng)全為負(fù)項(xiàng)時(shí), .因此,即.例23討論廣義積分的斂散性.解 顯然該積分不是絕對(duì)收斂的.設(shè),則.由Leibniz判別法,級(jí)數(shù)是收斂的,而,所以積分是條件收斂的.例24將級(jí)數(shù)的項(xiàng)重新排列,使得按原有順序先排個(gè)正項(xiàng)與個(gè)負(fù)項(xiàng),然后再排個(gè)正項(xiàng)與個(gè)負(fù)項(xiàng),得.證明此級(jí)數(shù)收斂并求其和.證明 由,其中是Euler常數(shù).令,則,其中.我們有;.將重排以后的級(jí)數(shù)的符號(hào)相同的相鄰的項(xiàng)加括號(hào),得.它的前項(xiàng)部分和為,其

13、中.所以原級(jí)數(shù)是收斂的,其和為.特別地有§5.2 一致收斂性及其應(yīng)用一、基本概念與主要結(jié)果1. 一致收斂性的定義(1) 設(shè)與都在區(qū)間上有定義, ，當(dāng)時(shí),有對(duì)一切成立則稱函數(shù)列在一致收斂于. (2) 設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),其中每一個(gè)在上有定義.記，.若函數(shù)列在上一致收斂于某函數(shù)，則稱在上一致收斂于(3) 設(shè)是含參量廣義積分,其中定義在上.記.若當(dāng)時(shí)在上一致收斂于某函數(shù)則稱廣義積分在一致收斂于.2. 一致收斂性的判斷(1)（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）在上一致收斂，有(2) 若在上一致收斂于 （）推論 級(jí)數(shù)在上一致收斂的必要條件是：一致收斂于零(3) Wwierstrass判別法(魏爾斯特拉斯判別法,

14、判別法或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法）若，對(duì)一切成立且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則在上一致收斂(4) Dirichlet判別法 若1）級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界；2），在上對(duì)是單調(diào)的；3）I 0（），則級(jí)數(shù)在一致收斂(5) Abel判別法 若1）級(jí)數(shù)在一致收斂；2）,在上對(duì)是單調(diào)的(即或)；3）在一致有界，即，則級(jí)數(shù)在一致收斂3 和函數(shù)的分析性質(zhì)定理1 若在處連續(xù)（），且在某領(lǐng)域一致收斂，則在處連續(xù)定理2 若在內(nèi)連續(xù)（），且在內(nèi)閉一致收斂，則在內(nèi)連續(xù)定理3（連續(xù)性） 若在一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)，即即求和與求極限可以交換次序定理4（逐項(xiàng)求積）在定理14的條件下，有即求和與求積分可交換次序定理5（

15、逐項(xiàng)求導(dǎo)）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件：（1）在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，；（2），在點(diǎn)收斂；（3）在一致收斂，則例1設(shè)在上正?？煞e，證明函數(shù)項(xiàng)在上一致收斂 證明（遞推方式放大） 由在上正?？煞e知在有界，即，使得，從而，一般地，若對(duì)有，則，從而有.由于級(jí)數(shù)收斂，由Weierstrass判別法, 在上一致收斂 練習(xí) 設(shè)在上正?？煞e，證明：函數(shù)序列在上一致收斂于零例2（函數(shù)列Dini定理）若(1) 在上連續(xù)，(2) 對(duì)任意,，(3) 且在上連續(xù)則函數(shù)列在上一致收斂于 證明（反證法）設(shè)在上不一致收斂于.由于遞增, ，使得 (1)由于是有界數(shù)列,由致密性定理，存在收斂子列,不妨設(shè)又由于,從而存在使得.由于在點(diǎn)連續(xù)且,

16、故存在使得當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),由,得.這與(1)式矛盾.注 當(dāng)條件(2)改為”,”時(shí)結(jié)論仍然成立.（函數(shù)項(xiàng)Dini定理）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每項(xiàng)均在有限區(qū)間上連續(xù)，且收斂于連續(xù)函數(shù)若，級(jí)數(shù)為同號(hào)級(jí)數(shù)，則在上一致收斂于 證明（反證法）假設(shè)在上非一致收斂，則，使得，取，使；取，使，如此下去得一子列，使得， （1）由致密性定理，有界數(shù)列中存在收斂子列：由題設(shè)知是同號(hào)級(jí)數(shù)，因此關(guān)于單調(diào)遞減，所以由（1）得：當(dāng)時(shí)，由于連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，這與在上收斂相矛盾，故一致收斂例3設(shè)(1) 對(duì)每一,是上的單調(diào)函數(shù)，(2) 且在上一致連續(xù)證明函數(shù)列在上一致收斂于 注 本題條件中不要求對(duì)任意,都是單調(diào)遞增的或都是單調(diào)遞減的.證明 由

17、于在上一致連續(xù),故,當(dāng)且時(shí), 有. (1)將區(qū)間作等分,使得.設(shè)其分點(diǎn)為.由于,故存在,當(dāng)時(shí), . (2)對(duì)于任意,存在使得.由于為上的單調(diào)函數(shù), 介于與之間.因此.由不等式(1)與(2),.所以.故在上一致收斂于例4 證明級(jí)數(shù)在上收斂而非一致收斂證明 由Dirichlet判別法知對(duì)任意收斂.對(duì)任意,取.注意當(dāng)時(shí),有.所以.由Cauchy收斂準(zhǔn)則, 在上非一致收斂注 可以證明在上一致收斂,其中,但在的任一鄰域內(nèi)非一致收斂分析 估計(jì)的麻煩在于每項(xiàng)因子有，否則很容易證明其發(fā)散因此，我們想：在的任一鄰域，當(dāng)從變化到時(shí)，能否大于某常數(shù)，若能則必非一致收斂事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，因此，取，使，即只需，取即可證明

18、取，有，由柯西收斂準(zhǔn)則知非一致收斂例5 設(shè)是單調(diào)遞減的正數(shù)列,且級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明.證明 由于在上一致收斂, ,存在,當(dāng)時(shí), 對(duì)任意成立.取則.由于單調(diào)遞減,有所以.同理可證.因此.注 本題可推出在上不一致收斂.例6設(shè)在開區(qū)間內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).令證明對(duì)任意閉區(qū)間,函數(shù)列在上一致收斂于證明 取滿足由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即，當(dāng),且時(shí)，有由微分中值定理,存在使得.所以.存在,使得且,則當(dāng)時(shí),從而.這證明了在上一致收斂于練習(xí)設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)每一個(gè)自然數(shù)，定義函數(shù)：試證：在上一致收斂于證明 在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即，當(dāng)時(shí)，有取，則當(dāng)時(shí)，有，從而由上式和微分中值定理得，即在上一致收

19、斂于例7 設(shè),.證明函數(shù)列在上一致收斂于證明 由于,用數(shù)學(xué)歸納法可證對(duì)任意有, 由此推出對(duì)任意與成立,所以在上一致收斂于例8證明在上一致收斂 證明（最大值法） 記，則令得穩(wěn)定點(diǎn)，而，所以在上的最大值為，從而由收斂知在上一致收斂例9設(shè)是區(qū)間中全體有理數(shù),對(duì)任意定義,求定積分的值解 顯然在上是單調(diào)遞增有界函數(shù),因而是可積的.令則.由于且收斂,由Weierstrass判別法,級(jí)數(shù)在上一致收斂.由逐項(xiàng)積分定理, .例10 設(shè)是區(qū)間中全體有理數(shù)試討論函數(shù)在的連續(xù)性，其中是符號(hào)函數(shù)解 令.顯然有惟一的間斷點(diǎn),且在上一致收斂于.對(duì)任意,令,則.由于中每一項(xiàng)在連續(xù),且該級(jí)數(shù)一致收斂,因此在連續(xù).但是在不連續(xù),

20、所以在不連續(xù).同理可證在任意無理點(diǎn)是連續(xù)的.注在上是可積的,且.練習(xí) 設(shè)是區(qū)間的一個(gè)序列，且，試討論函數(shù)在的連續(xù)性，其中是符號(hào)函數(shù)解 10 ，而收斂，故一致收斂20 設(shè)為中任一點(diǎn)，則通項(xiàng)在連續(xù)，由定理（P17）知在連續(xù)30 設(shè)為中某點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，上式右端第一項(xiàng)連續(xù)，第二項(xiàng)在處間斷，從而其和間斷，即在處間斷例11設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列,且在上一致收斂于，又滿足證明 分析證明 由一致收斂定義得：，有 （1）又連續(xù)，且一致收斂于，所以在也連續(xù)，進(jìn)而在處連續(xù).則對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有而，則對(duì)上述 當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有 （2）取，則當(dāng)時(shí)，（1）和（2）式均成立，故有，所以 例12設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列，且在上一

21、致收斂于,又在上無零點(diǎn).證明上一致收斂于.證明 由于在上連續(xù)，且恒不為,因此在上同號(hào).不妨設(shè)恒正.由連續(xù)函數(shù)的最值定理, 在上有正的最小值,故.由于在上一致收斂于 ,，當(dāng)時(shí)，有，所以,.又,.因此取，則當(dāng)時(shí),對(duì)任意有，這證明了上一致收斂于.練習(xí) 設(shè)為上連續(xù)函數(shù)列，且I （1）證明：若在上無零點(diǎn)，則當(dāng)n充分大時(shí)，在上無零點(diǎn)，且有I證明 由函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)知在上連續(xù)，又在上無零點(diǎn)，故由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知在上不變號(hào)，不妨設(shè)設(shè)m為其最小值，則由（1）得：對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，由此得：當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，在無零點(diǎn)同時(shí)，我們有，由一致收斂的定義立得I.例13證明Riemann函數(shù)在連續(xù)但不一致連續(xù),且有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明 任取,存在滿足,則當(dāng),.由于級(jí)數(shù)收斂,所以在上一致收斂.又每一項(xiàng)在上連續(xù),所