第四章向量代數(shù)與空間解析幾何

1、第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何【數(shù)學(xué)1，A】2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪)向量的概念 向量的線性運(yùn)算 向量的數(shù)量積和向量積 向量的混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算 單位向量 方向數(shù)與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件 點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離 球面 柱面 旋轉(zhuǎn)曲面 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程2008年考試要求1. 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。2. 掌握向

2、量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。3. 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。4. 掌握平面方程和直線方程及其求法。5. 會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題。6. 會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。7. 了解曲面方程和空間曲線方程的概念。8. 了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程。一、三基及其延拓 1. 向量代數(shù) 研

3、究的對(duì)象為自由向量，研究的空間限于實(shí)物空間，即不超過(guò)三維的空間。向量的一般表示,等幾何表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的有向線段。坐標(biāo)表示： 投影表示： ； 坐標(biāo)系：任何極大完備無(wú)關(guān)向量組可以構(gòu)成坐標(biāo)系，如果將該向量組施密特正交化和單位化，則構(gòu)成正交直角坐標(biāo)系，很顯然， 如果中的每一向量是3維（，有三個(gè)坐標(biāo)分量），則不可能由二維坐標(biāo)系（，有二個(gè)獨(dú)立分量）表示，這個(gè)思想應(yīng)特別注意。 向量的方向角和方向余弦與軸、軸和軸的正向且非負(fù)的夾角稱(chēng)為的方向角。稱(chēng)為的方向余弦，且 任意向量（為的單位向量，并規(guī)定離開(kāi)原點(diǎn)為正方向。）稱(chēng)為的單位向量，并且 。 任意向量線元（為的單位向量，并規(guī)定離開(kāi)原點(diǎn)為正方向。） 任意向量面元

4、（為面元法線的單位向量，并規(guī)定與軸夾角為銳角時(shí)為正方向。） 夾角專(zhuān)題 兩向量的夾角規(guī)定：為兩向量不大于的夾角，即。 直線與平面的夾角規(guī)定：直線與該直線在平面上的投影直線之間的夾角，。 平面與平面的夾角規(guī)定：兩平面的公垂面與他們的截痕直線之間的夾角，。 又等于他們的法線之間不超過(guò)的夾角。 定比分點(diǎn)公式：為同一直線上的三點(diǎn)，數(shù)量積 又稱(chēng)標(biāo)積或點(diǎn)積，表示為 或： 稱(chēng)為在上的投影。注意：數(shù)量積本質(zhì)上就是一個(gè)實(shí)數(shù)。 在三維以上空間的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積 ，且可表示為 向量積 又稱(chēng)叉積或外積，表示為 方向規(guī)定：轉(zhuǎn)向角不超過(guò)的右手螺旋定則。 ， 幾何意義： =平行四邊形的面積； 混和積 表示為 幾何意義： 代表平

5、行六面體的體積；求導(dǎo)法則 2、場(chǎng)論考點(diǎn)場(chǎng)的概念： 在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的確定值，叫做該空間的物理量的場(chǎng)，分為數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)兩類(lèi)。數(shù)量場(chǎng)用梯度描述，向量場(chǎng)用散度與旋度描述。場(chǎng)論的數(shù)學(xué)核心：梯度算符，用表示，定義為 。梯度定義： ，就好比樓梯的陡度。散度定義： ，表示分散的程度。 如果沒(méi)有分散，則散度為零，如靜磁場(chǎng)的散度。旋度定義： ，表示蝸旋的程度。 如沒(méi)有閉合，即不存在蝸旋，則旋度為零，如靜電場(chǎng)的旋度。運(yùn)算關(guān)系（本知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求，高數(shù)甲乙或高數(shù)AB需掌握） 高斯公式的場(chǎng)論表示 斯托克斯公式場(chǎng)論表示 平面格林公式 評(píng) 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各

6、符號(hào)的具體意義如下： 評(píng) 注 讀者最難理解是關(guān)系：。其實(shí)就是的方向余弦元投影面元的關(guān)系，讀者可在三維空間作一個(gè)平面。然后在該平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)畫(huà)無(wú)數(shù)線元，每一線元在平面的投影為，顯然，并有：，同理可得其他兩個(gè)坐標(biāo)平面的面元投影關(guān)系：。上述關(guān)系是讀者能否學(xué)好空間積分的關(guān)鍵，務(wù)必掌握。3、萬(wàn)能坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系（本小節(jié)內(nèi)容數(shù)學(xué)1-4不作要求，高數(shù)甲乙或高數(shù)需掌握）在該系中任一曲線元 為球面系、柱面系等坐標(biāo)曲線元。對(duì)直角坐標(biāo) ； ；對(duì)柱坐標(biāo)系 ；對(duì)球坐標(biāo)系 ；則 即：而 （無(wú)須掌握證明過(guò)程）（無(wú)須掌握證明過(guò)程）記住的結(jié)論形式即可。 拉普拉斯算子在球坐標(biāo)系的形式 拉普拉斯算子在柱坐標(biāo)系的形式 ； 4. 直線

7、方程 方向向量：一簇與該直線平行的方向數(shù)；一般用表示直線的方向向量。一般式方程，一般表示平面的法線向量。則直線的方向向量 點(diǎn)向式（標(biāo)準(zhǔn)式） 參數(shù)式 為直線上已知點(diǎn)， 方向數(shù)：兩點(diǎn)式方向角式：，為已知。直線間關(guān)系點(diǎn)到直線的距離直線到直線的距離 兩平行直線的距離同上 兩異面直線的距離（畫(huà)出平行六面體圖推導(dǎo)出下式） 其中：和分別為兩直線上的任意兩點(diǎn)，不管這兩點(diǎn)位置如何， 的投影的模都等于。5. 平面方程一般式 法線方向向量 形象記憶掌握法：“影評(píng)”（隱蔽平行坐標(biāo)量），如不出現(xiàn)，則y軸；依此類(lèi)推。點(diǎn)法式三點(diǎn)式=0截距式：即平面經(jīng)過(guò)下列三點(diǎn)： 平面束方程 不包含；如果所求平面通過(guò)已知直線（一般式），則用

8、平面束方程會(huì)比較簡(jiǎn)便，但必須驗(yàn)證是否滿足所求結(jié)論，以免遺漏。平面間的關(guān)系 =0 夾角 點(diǎn)到平面的距離，對(duì)直線到平面的距離只要在已知直線上任取一點(diǎn)即可類(lèi)似處理 證明：在平面上任取一點(diǎn)，作平面的法線向量，則 。 兩平行平面之間的距離 6. 平面與直線之關(guān)系夾角 7.曲面及其方程 7.1 準(zhǔn)線與母線的界定準(zhǔn)線一般指基準(zhǔn)曲線，如旋轉(zhuǎn)軸，圓或圓錐曲線；母線顧名思義是由該曲線旋轉(zhuǎn)或平移（可以是空間平移）后可以生成所要求的曲面的曲線（就像母親生孩子）；其中的旋轉(zhuǎn)軸和平移基準(zhǔn)也就是準(zhǔn)線。如一條直線沿某一圓周平移一周形成圓柱面。7.2 二次曲面 二次曲面的二次型表示 的特征值就確定了三類(lèi)曲面： 大綱中只要求掌握

9、一部分二次曲面，包括：九種常用二次曲面，圓柱面和一般錐面。如何掌握？下列技巧提供了全面解決方略。陳氏第7技 從準(zhǔn)線與母線的三種關(guān)系和陳式4法來(lái)系統(tǒng)掌握考點(diǎn)，并理解曲面圖形。 7.3 投影方程的確定任一空間曲線: 在平面上的投影構(gòu)成一條平面曲線投影曲線；以投影曲線為母線沿垂直于平面的任意準(zhǔn)線移動(dòng)構(gòu)成投影柱面，如直線的投影柱面就是一個(gè)垂直于的平面。如求曲線在平面上的投影方程由中消去得到一個(gè)母線z軸的柱面方程 。則投影于平面上的投影方程為評(píng) 注 空間幾何解題一般切入點(diǎn)：首先盡可能畫(huà)出草圖，思考所求結(jié)論必須知道幾個(gè)可能的條件，這些條件在題目中一般又是隱含出現(xiàn)的，我們的目標(biāo)就是從隱含條件推出需要的條件，

10、然后套用直線或平面的方程類(lèi)型。其中，重點(diǎn)注意已知直線的方向向量和已知平面的法向向量與待求直線或平面的關(guān)系?！纠?】 求直線 在平面：=0上和三個(gè)坐標(biāo)平面上的的投影方程。 解： 第一步 求投影柱面（對(duì)直線投影而言投影柱面就是投影平面）方程 的，該平面顯然與垂直，又則易知 又也通過(guò)，可以利用上的已知點(diǎn)，則為 在平面投影正好為與的交線，其方程為 直線在三個(gè)平面上的投影方程為：8. 二次曲面方程和圖形的研究 8.1 準(zhǔn)線和母線是研究曲面的核心技術(shù)。已知曲面方程，用零點(diǎn)法可確定準(zhǔn)線和母線，從而確定曲面的生成方式；用截痕法可以確定曲面的具體形狀；用伸縮法可以研究曲面之間的轉(zhuǎn)換，建立新曲面方程和后面的將要建

11、立的旋轉(zhuǎn)曲面方程要使用動(dòng)靜點(diǎn)轉(zhuǎn)換法。研考數(shù)學(xué)中的曲面都是由母線沿準(zhǔn)線空間平移或旋轉(zhuǎn)及坐標(biāo)伸縮變形而形成。 零點(diǎn)法 例如：分析曲面方程為 的圖形，令為一開(kāi)口向下的拋物線；令為一開(kāi)口向上的拋物線；這兩個(gè)拋物線就構(gòu)成了該二次曲面的準(zhǔn)線和母線，可以想象，該二次曲面是有其中一個(gè)拋物線沿另一個(gè)拋物線平移生成。 截痕法 平面與曲面的交線稱(chēng)為截痕，通過(guò)綜合截痕的變化來(lái)了解曲面的形狀的方法，稱(chēng)為截痕法。例如：在中，令，這是一條雙曲線，也就是用水平平面截該曲面時(shí)，其截痕是雙曲線。綜合零點(diǎn)法的分析，我們就能夠確定：正是雙曲拋物面，即馬鞍面。 伸縮法 如在曲面上取一靜點(diǎn)，現(xiàn)把變形為動(dòng)點(diǎn)，然后想辦法消去靜點(diǎn)坐標(biāo)（即動(dòng)靜

12、點(diǎn)轉(zhuǎn)換法）。又，給定兩了點(diǎn)坐標(biāo)的伸縮變換關(guān)系，如令，則：稱(chēng)為原曲面經(jīng)伸縮變形后的新曲面方程。例如圓柱面變成橢圓柱面：又如圓錐面變成橢圓錐面：8.2 常用曲面之一：柱 面評(píng) 注 柱面是由母線沿準(zhǔn)線空間平移形成，柱面的準(zhǔn)線和母線必有一個(gè)是直線。其中，直線為準(zhǔn)線，曲線為母線。如果是圓柱面，則準(zhǔn)線和母線可以互換；如果為非圓柱面，如棱柱面，則必須取直線為準(zhǔn)線，曲線為母線。 圓柱面 橢圓柱面 雙曲柱面 拋物柱面特點(diǎn)：柱面方程中，柱面軸平行于隱含的坐標(biāo)軸，如的軸平行于軸。注意：在三維情況下圓的方程的一種形式為形象記憶掌握法：影（隱）評(píng)（平）。 柱面方程的一般求法： 給定準(zhǔn)線和母線的方向，求柱面方法如下：設(shè)為

13、柱面上的任意點(diǎn)，根據(jù)柱面形成的過(guò)程，必在準(zhǔn)線上有相應(yīng)的點(diǎn)，使得，由此可以利用直線的方程將兩點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系找出來(lái)，即： （1）又由于在上，故 （2）用（1）式代入（2）式，由得 所求的柱面方程為 例如：已知母線方向及準(zhǔn)線，則柱面方程為 這是一個(gè)斜的橢圓柱面。特別地：若母線平行某一坐標(biāo)軸，如平行，則，則柱面方程就是： 8.3 常用曲面之二：旋轉(zhuǎn)曲面（母線沿直線準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)移形成） 平面曲線沿z軸旋轉(zhuǎn)不能形成曲面； 平面曲線沿軸旋轉(zhuǎn)； 平面曲線沿軸旋轉(zhuǎn)。形象記憶法：舅留加飯（方）。即旋轉(zhuǎn)軸留在曲面方程中，增加沒(méi)出現(xiàn)的一個(gè)變量，然后相加開(kāi)平方。如二維曲線繞旋轉(zhuǎn)后的曲面方程為 特別地：當(dāng)母線為直線并與準(zhǔn)線相

14、交時(shí)，旋轉(zhuǎn)或平移則形成圓錐面。例如：直線（母線）(為兩直線小于90度交角的一半)沿軸（準(zhǔn)線）旋轉(zhuǎn)后，變?yōu)榧礊殄F面方程，也可以由直線（母線）沿某一園空間平移一周而形成錐面。錐面方程的一般求法：給定準(zhǔn)線和原點(diǎn)，求錐面方程如下：設(shè)為錐面上的任意點(diǎn)，根據(jù)錐面形成的過(guò)程，必在準(zhǔn)線上有相應(yīng)的點(diǎn)，使得在直線的延長(zhǎng)線上，直線的方向數(shù)顯然為即： （1）又由于在上，故 （2）用（1）式代入（2）式，得所求的錐面方程為 可見(jiàn)以圓點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程是齊次方程。例如：已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)及準(zhǔn)線，則錐面方程為 這是一個(gè)橢圓錐面。【例2】求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且與三坐標(biāo)的截距相等的圓錐（正圓錐）方程。解：設(shè)錐面與三坐標(biāo)的交點(diǎn)為，得該三點(diǎn)

15、確定的平面方程截距式為：，該平面與正圓錐的的交線是一個(gè)圓，這就是準(zhǔn)線。又設(shè)為錐面上任意點(diǎn)，為原點(diǎn)， 為母線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，則母線方程點(diǎn)法式為令代入準(zhǔn)線方程得即為所求的錐面方程?？臻g曲線旋轉(zhuǎn)形成的曲面（可以沿任意軸旋轉(zhuǎn)） 空間曲線的參數(shù)方程：，空間曲面的參數(shù)方程：沿軸旋轉(zhuǎn)后形成的曲面方程為： 【例3】求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面方程。 解：先將曲線寫(xiě)成參數(shù)式 繞軸旋轉(zhuǎn)一周后 9種必須掌握的曲面1）橢球錐面 2）橢球面 3）單葉雙曲面 4）雙葉雙曲面 5）橢圓拋物面 6）雙曲的拋物面 又稱(chēng)馬鞍面（準(zhǔn)線與母線是相互正交的拋物線，母線拋物線沿準(zhǔn)線拋物線平移形成馬鞍面，這是我們需要掌握的唯一一個(gè)準(zhǔn)線與母

16、線都是非直線的曲面。）7）橢圓柱面 （橢圓）母線平行軸8）雙曲柱面 母線平行軸9）拋物柱面 母線平行軸五星級(jí)提示：對(duì)于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一個(gè)變量為零，如能得出母線或準(zhǔn)線，我們就能確定該曲面的形狀。二、 典型題型【例4】 證明向量 表示向量與的角平行線方向。證明：因?yàn)閱挝幌蛄浚河膳c為邊構(gòu)成的平行四邊形為棱形，其對(duì)角線平分頂角，則與與夾角平分線平行的向量故原命題成立?！纠?】 一向量與軸夾角相等為，與軸夾角為，試確定該向量的方向。解：由于 ，所以： 故該向量的方向?yàn)??！纠?】 過(guò)點(diǎn)（-1，0，4），平行于平面且與直線相交的直線方程。 解：一般切入點(diǎn)：如果所求的直線方向向量不

17、能明顯求出，就設(shè)直線方程的參數(shù)形式。設(shè)所求直線方程為： 直線與已知平面平行，則 兩直線相交，則將代入消去得 聯(lián)立（1）（2得，所求的直線方程為【例7】 判斷 ：；和 ： 是否共面，若在同一平面求交點(diǎn)，若異面求距離？解：為異面直線。設(shè)兩直線距離為，, , 則由二元函數(shù)極值的充分條件知：是最小值點(diǎn)，所以 也可直接套用公式計(jì)算距離： 【例8】判斷 ：；和 ： 的關(guān)系。 解：兩直線的有四種關(guān)系：異面；相交；平行但不重合；重合。 故不平行，也不重合； 看兩直線有無(wú)交點(diǎn)，將寫(xiě)成參數(shù)式，代入的兩平面，看看能否得到同一個(gè) 故兩直線不相交，所以兩直線異面?！纠?】求過(guò)點(diǎn)，且與直線 都相交的直線方程。解：由于所求

18、直線過(guò)與相交，則必在過(guò)與的平面上，同理它也必須過(guò)與的平面上，和聯(lián)立的交面式直線方程即為所求的方程。又，過(guò)的平面束方程為： 將帶入上式得過(guò)的平面束方程為： 將帶入上式得故所求直線方程為 【例10】求滿足下面條件的直線方程 過(guò)點(diǎn)； 與平面：平行； 與直線：相交。解：已知直線的方向，其上由一點(diǎn)，根據(jù)已知條件，過(guò)作平行于平面的平面 ：再根據(jù)已知條件，作平面通過(guò)點(diǎn)和直線，顯然所求直線方程為【例11】設(shè)有直線 求與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線的方程； 求與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的直線的方程； 求與關(guān)于平面：對(duì)稱(chēng)的直線的方程；。解：對(duì)于任何在直線上的靜點(diǎn)，由于與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的動(dòng)點(diǎn)必在上，故的方程為： 對(duì)于

19、任何在直線上的靜點(diǎn)，由于與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，從而與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的動(dòng)點(diǎn)必在上，故的方程為： 與平面的交點(diǎn)也在所求的直線上，且該點(diǎn)坐標(biāo)滿足由上面的方程組得到： 從而解的交點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為。的方向數(shù)可根據(jù)向量代數(shù)的基礎(chǔ)求得： 故所求直線的方程為：【例12】證明 是異面直線，并求公垂線方程即公垂線的長(zhǎng)。 解：的方向向量，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；的方向向量，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由于 ，所以是異面直線。公垂線的方向向量 那么，經(jīng)過(guò)并且與平行的平面的方程為 經(jīng)過(guò)并且與平行的平面的方程為 而平面的交線即是公垂線的方程 公垂線的長(zhǎng)為 【例13】求過(guò)點(diǎn)及直線的平面。 解：將寫(xiě)成一般式 經(jīng)過(guò)的平面束方程為 以代入得 ，得平面方程為 又，采用這個(gè)平面束

20、方程時(shí)沒(méi)有包括這個(gè)平面，但不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故不是所求。【例14】求經(jīng)過(guò)直線，并且與平面交成二面角為的平面方程。 解：平面束方程為 又有 得平面方程為 由于平面束方程沒(méi)有包括，故需要驗(yàn)證如下 所以，所求的平面方程為 或【例15】設(shè)直線在平面上，而平面與曲面相切于點(diǎn)，求之值。 解：平面束方程為 又 切平面法向向量為 則平面束方程中只有過(guò)的，且其法線平行的平面才能滿足要求，即 ?！纠?6】垂直通過(guò)平面， 坐標(biāo)已知，離平面的距離為線段的，求的坐標(biāo)。 解：由定比分點(diǎn)公式得與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為 該點(diǎn)滿足平面方程，則 （1） （2）（2）代入（1）可解得 所以的坐標(biāo)為 【例17】求直線在平面上的投影直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周

21、所形成的曲面方程。 解：再次提示：如果所求的平面通過(guò)一已知直線，則使用平面束方程簡(jiǎn)便。 經(jīng)過(guò)的平面束方程為 所求為將寫(xiě)成參數(shù)式繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成的曲面方程 陳氏第8技 動(dòng)靜轉(zhuǎn)換法求旋轉(zhuǎn)曲面方程?！纠?8】求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面的方程。解：建立旋轉(zhuǎn)面、錐面與柱面的方程的一般方法是等效變換靜點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的所滿足的幾何關(guān)系。 設(shè)曲線存在一靜點(diǎn)，對(duì)任意在旋轉(zhuǎn)面上的動(dòng)點(diǎn)，其坐標(biāo)關(guān)系為，得曲面的方程為 【例19】求直線：繞直線：旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程。解：設(shè)直線上的一靜點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面上任意動(dòng)點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，顯然，則 又在上，故有： 代入 得所求的曲面方程為： 【例20】求準(zhǔn)線，母線方向?yàn)榈闹娣匠?。解：設(shè)（動(dòng)點(diǎn)）為所求柱面上的一點(diǎn)，按該題的含義，形成柱面的是