簡單的線性規(guī)劃問題理

1、第四節(jié) 簡單的線性規(guī)劃問題（文）知識要點(diǎn)梳理（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線（B不為0）及點(diǎn)，則若B>0，則點(diǎn)P在直線的上方，此時不等式表示直線的上方的區(qū)域；若B>0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時不等式表示直線的下方的區(qū)域；（注：若B為負(fù)，則可先將其變?yōu)檎┯纱丝芍?，二元一次不等式在平面直角坐?biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不含邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線.由于對在直線同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入，所得到的實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)

2、取一個特殊點(diǎn)，從的正負(fù)情況，即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地，當(dāng)時，直線不過原點(diǎn)，通常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn).2.線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作

3、平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案。3特別注意: 解線性規(guī)劃時應(yīng)先確定可行域；注意不等式中與對可行域的影響；還要注意目標(biāo)函數(shù)中和在求解時的區(qū)別.疑難點(diǎn)、易錯點(diǎn)剖析本節(jié)的主要內(nèi)容是用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，解決簡單的線性規(guī)劃問題，根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解，刻畫平面區(qū)域是解決問題的關(guān)鍵所在.從實際問題中抽象出二元一次不等式（組），二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域及簡單的二元線性規(guī)劃問題是本節(jié)的重點(diǎn)，而難點(diǎn)則是二元一次不等式表示的平面區(qū)域的探

4、究過程及從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.問題1 如何確定二元一次不等式的表示平面區(qū)域？ 【解析】 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法.（1） 直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線.（2） 特殊點(diǎn)定域，即在直線的某一側(cè)取一個特殊點(diǎn)作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè).特別地，當(dāng)時，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)時，常選點(diǎn)或者作為測試點(diǎn).問題2 怎樣把握線性規(guī)劃問題的求解策略？【解析】解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，借助直線（把線性目

5、標(biāo)函數(shù)看成斜率為常數(shù)的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行域）的交點(diǎn)，直線在軸上的截距的最大值或最小值求解.其一般步驟是：（1）設(shè)出所求未知數(shù)；（2）列出約束條件（即不等式組）；（3）建立目標(biāo)函數(shù)；（4）作出可行域； （5）運(yùn)用圖解法求出最優(yōu)解.其中分析題目的已知條件準(zhǔn)確找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可以把題目涉及的量分類列表，理清思路，然后列出不等式組（或方程組）確定約束條件和目標(biāo)函數(shù).如果可行域是一個多邊形，那么一般在其頂點(diǎn)處取得最優(yōu)解. 在求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)ax+by=t，則此直線往右（或左）平移時，t值隨之增大（或減?。?，要會在可行域中確定最優(yōu)解.解線性規(guī)劃應(yīng)

6、用題步驟：（1）設(shè)出決策變量，找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)； （2）利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大（或最?。?問題3 線性規(guī)劃有哪些實際應(yīng)用解析 簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉

7、平面區(qū)域.第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)（即邊界線的交點(diǎn)）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點(diǎn)坐標(biāo)的近似值.它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點(diǎn)的坐標(biāo)直擊考點(diǎn)考點(diǎn)一 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例 1 畫出不等式表示的平面區(qū)域.O142231圖【思路分析】遵循直線定界，特殊點(diǎn)定域的方法即可.【解答】先作出邊界，因為這條線上的點(diǎn)都不滿足，所以畫成虛線. 取原點(diǎn)，代入因為，所以原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖7.4.1. 錦囊妙計：這是處理線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，必須仔細(xì)體

8、會.例2、畫出下列不等式（或組）表示的平面區(qū)域圖（2）求不等式表示的平面區(qū)域的面積。解：（1）不等式x-2y+1>0表示直線x-2y+1>0右下方的點(diǎn)的集合不等式x+2y+10表示直線x+2y+10右上方的點(diǎn)的集合不等式可化或，它表示夾在兩平行線x=-1和x=1之間或夾在兩平行線x=3或x=5之間的帶狀區(qū)域，但不包括直線x=1或x=3上的點(diǎn)所以原不等式表示的區(qū)域如圖所示(2)思路分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積圖(1)yx解法一：（2）先畫出的圖形，由對稱性得表示的圖形，如圖(1)：，再把圖形向右、向左都平移1個單位得的圖形，如圖(2)圖(2)yx表示圖(2

9、)中的正方形內(nèi)部，故所求的平面區(qū)域的面積為S=8（單位）解法二：x1+y12可化為或或或x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y 4 xy 2 yx 2 x+y0.其平面區(qū)域如圖(2).面積S=×4×4=8.若再求：；的值域，你會做嗎？答案： （，+）；1，5【錦囊妙計】畫圖時應(yīng)注意準(zhǔn)確，要注意邊界，若不等式中不含“=”號，則邊界應(yīng)畫成虛線，否則應(yīng)畫成實線。舉一反三：用平面區(qū)域表示不等式組的解集.O448812圖7.4.4分析與解：由于所求平面區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，即

10、各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.不等式表示直線下方的區(qū)域；不等式表示直線上方的區(qū)域.取兩區(qū)域重疊的部分，圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集.考點(diǎn)二 應(yīng)用線性規(guī)劃求最值例 3 設(shè)x,y滿足約束條件分別求：(1)z=6x+10y；(2)z=2x-y；(3)z=2x-y，(x,y均為整數(shù))的最大值，最小值?！舅悸贩治觥坑捎谒o的約束條件及目標(biāo)函數(shù)均為關(guān)于的一次式，所以此問題是簡單線性規(guī)劃問題，使用圖解法求解.解：（1）先作出可行域，如圖所示中的區(qū)域，且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移當(dāng)L0的平行線過B點(diǎn)時，可使z=6x+10y達(dá)到最小值

11、當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，可使z=6x+10y達(dá)到最大值所以zmin=16;zmax=50（2）同上，作出直線L0：2x-y=0，再將直線L0平移，當(dāng)L0的平行線過C點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最小值當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最大值所以zmin=16;zmax=8（3）同上，作出直線L0：2x-y=0，再將直線L0平移，當(dāng)L0的平行線過C點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最小值，當(dāng)L0的平行線過A點(diǎn)時，可使z=2x-y達(dá)到最大值8但由于不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）中，x,y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)C(1,)不是最優(yōu)解，當(dāng)L0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)(1,4)時，可使z=2x-y達(dá)

12、到最小值，所以zmin=-2錦囊妙計：(1)、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得。(如：上題第一小題中z=6x+10y的最大值可以在線段AC上任一點(diǎn)取到)（2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義在y軸上的截距或其相反數(shù)。圖舉一反三：設(shè)滿足約束條件：，的最小值.【解答】 作出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，把變形為，得到斜率為3，在軸上的截距為，并且隨變化的一族平行直線.由圖7.4.5可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時，截距最小.解方程組，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為.所以的最小值為. 考點(diǎn)三 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用例4、某人上午7時，乘摩托艇

13、以勻速V海里時(4V20)從A港出發(fā)到距50海里的B港去，然后乘汽車以勻速W千米時(30W100)自B港向距300千米的C市駛?cè)ィ瑧?yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市.設(shè)汽車、摩托艇所需的時間分別是x、y小時，(1) 作出表示滿足上述條件的x、y范圍；(2) 如果已知所要經(jīng)費(fèi)P=100+3·(5-x)+2·(8-y)(元)，那么V、W分別是多少時，走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費(fèi)多少元?解：由題得，y2y+3x=381491491032.5ox2y+3x=012.5 所以 ， 由于乘汽車、摩托車所需的時間和應(yīng)滿足：，因此滿足上述條件的點(diǎn)（x,y）的范圍是圖中的陰影部分（包括邊界）（2）

14、P=100+3·(5-x)+2·(8-y) 要使最小，則最大。在圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為的直線中，使k值最大的直線必通過點(diǎn)（10，4），即當(dāng)x=10, y=4時p最小。此時，v=12.5. w=30, p的最小值為39元?！惧\囊妙計】要能從實際問題中，建構(gòu)有關(guān)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型舉一反三：某礦山車隊有4輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車,有9名駕駛員,此車隊每天至少要運(yùn)360噸礦石至冶煉廠。已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次。甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元。問每天派出甲型車與

15、乙型車各多少輛，車隊所花費(fèi)成本最底？解：設(shè)每天派出甲型車x輛，乙型車y輛，車隊所花成本費(fèi)為z元，那么 其中y作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中綠色區(qū)域。5x+4y=30xo作出直線：把直線向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸的截距最小。觀察圖形，可見當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，5）時，滿足x+y=9上面要求。此時，取得最小值，即x=2,y=5時， 答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費(fèi)最低?！惧\囊妙計】由于派出的車輛數(shù)為整數(shù)，所以必須尋找最優(yōu)整數(shù)解。這對作圖的要求較高，平行直線系的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域內(nèi)的各整點(diǎn)，然后以z取得

16、最值的附近整數(shù)為基礎(chǔ)通過解不等式組可以找出最優(yōu)解。圖 例 5 某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺A，B上加工一件甲所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500.如何安排生產(chǎn)可使收入最大？【思路分析】這個問題的數(shù)學(xué)模型是二元線性規(guī)劃.為此，需要確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù).【解答】設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為，則約束條件是，目標(biāo)函數(shù)是.要求出適當(dāng)?shù)?，使取得最大?如圖,先畫出可行域.考慮，是參數(shù)，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族直線. 是

17、直線在y軸上截距，當(dāng)最大時,最大，當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.容易求得兩直線與的交點(diǎn)是（200，100），即安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件、乙產(chǎn)品100件，可使收入取得最大值.【錦囊妙計】線性規(guī)劃的實際問題包括兩種基本類型：第一種是已知一定數(shù)量的人力、物力資源，求如何運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大、收到的效益最大；第二種是給定一項任務(wù)，問如何統(tǒng)籌安排才能使完成該項任務(wù)的人力、物力資源量最小.OBCA圖7.4.7【舉一反三】 1.某公司招收男職員名，女職員y名，和必須滿足約束條件則的最大值是(A) 80 (B) 85 (C) 90 (D) 95分析與解：畫出可行域

18、（圖4-4中的陰影部分），易得A（5.5，4.5），注意到均為正整數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值 故選（C）.2.要將甲乙兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張甲種鋼板可同時截得A、B、C三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)分別是2，1，1，每張乙種鋼板可同時截得A、B、C三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)分別是1，2，3.現(xiàn)需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別是15，18，27塊，問甲乙兩種鋼板各需截多少塊，使得所用鋼板的總張數(shù)最少？分析與解：設(shè)所需甲種鋼板張，乙種鋼板張，所需鋼板總數(shù)張，則問題的約束條件是，目標(biāo)函數(shù)是.作出可行域（圖略），運(yùn)用圖解法可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的兩條直線和的交點(diǎn)時，截距最小.由于都不

19、是整數(shù)，所以點(diǎn)不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且使截距最小的直線是，經(jīng)過的整點(diǎn)是和，它們是最優(yōu)解.答：要截得所需規(guī)格的鋼板，且使所用鋼板的總張數(shù)最小的方法有兩種，第一種截法是甲鋼板3張，乙鋼板9張；第二種截法是甲鋼板4張，乙鋼板8張.兩種截法都最少要兩種鋼板12張.緊扣考綱大演練1.下列命題中正確的是A.點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+y0內(nèi)； B.點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)C.點(diǎn)（1，0）在區(qū)域y>2x內(nèi)； D.點(diǎn)（0，1）在區(qū)域xy+1>0內(nèi)解析：將（0，0）代入x+y0，成立.答案：A表示的平面區(qū)域為為2.不等式組 2xy+10，x2y10，x+

20、y1 A.正三角形及其內(nèi)部 B.等腰三角形及其內(nèi)部C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域 D.不包含第一象限內(nèi)的點(diǎn)的一個有界區(qū)域解析：將（0，0）代入不等式組適合C，不對；將（，）代入不等式組適合D，不對；又知2xy+1=0與x2y1=0關(guān)于y=x對稱且所夾頂角滿足tan=.答案：B3（07濟(jì)南模擬）已知和是正整數(shù)，且滿足約束條件則的最小值是（ ）(A) 24 (B) 14 (C) 13 (D) 11.5OCAB2圖4-6分析與解：畫出可行域，如圖4-6所示，易得過點(diǎn)C時，直線取得最小值，解方程組，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為， 但由于x，y都是整數(shù)，最接近的整數(shù)解為（4，2），故所求的最小值為故選（B）.4（07

21、溫州調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）(A) (B) 4 (C) (D) 2圖4-7分析與解：本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積.由題意，作出已知的不等式組表示的平面區(qū)域，即所在區(qū)域（如圖4-7所示），其中，三個頂點(diǎn)分別為. 于是，三角形的面積為.故選（B）.5變量滿足下列條件：則使得的值最小的是 （ ）(A)(B)(C)(D)圖4-8分析與解：仔細(xì)審題，準(zhǔn)確作出可行域，如圖4-8，發(fā)現(xiàn)可行域僅僅是一條線段，其中，解方程組得，點(diǎn)；解方程組得，點(diǎn).再分析的幾何意義可知，使的值最小的點(diǎn)為故選（B）.（文）6（06湖北）已知平面區(qū)域D由以為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界

22、組成.若在區(qū)域D上有無窮多個點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，則（ ）（A） 2 （B） 1 （C） 1 （D） 4分析與解：依題意，令z0，可得直線xmy0的斜率為，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線xmy0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)zxmy取得最小值，而直線AC的斜率為1，所以m1.故選（C）.二.填空題7.點(diǎn)（2，t）在直線2x3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_.解析：（2，t）在2x3y+6=0的上方，則2×（2）3t+60，解得t.答案：t8.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）共有_個.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3

23、個.答案：3設(shè)z=，則z的最小值為_，最大值為 x4y+30，9.變量x、y滿足條件3x+5y250， x1， _.解析：作出可行域，如圖.當(dāng)把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當(dāng)直線y=zx過點(diǎn)A時，z最大；當(dāng)直線y=zx過點(diǎn)B時，z最小由 x1，3x5y250，得A（1，）.得B（5，2）.由 x4y+3=0，3x+5y25=0， zmax，zmin答案： 10（06廣東）在約束條件下，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是 .分析與解：由于約束條件是變化的，于是，先求出約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)，以便尋找變化規(guī)律.如圖，易知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是；直線與軸的交點(diǎn)為；又由，即

24、得兩條直線的交圖10點(diǎn)為.（1）當(dāng)時，可行域是四邊形OABC，此時，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即， .（2）當(dāng)時，可行域是，此時，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即綜上可知，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是. 三. 解答題11.畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點(diǎn)的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值.分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式不等式組； 求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域.直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=0，2x+y5=0.在ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0.因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y10，xy+20，2x+y50.作平行于直線3x2y=0的直線系3x2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=xt過A（3，1）時，縱截距t最小