線性代數總結

1、第一章 行列式線性方程組的求解是線性代數的一個重要課題。行列式是由研究線性方程組產生的，它是一個重要的數學工具，它在數學及其他學科中都有著廣泛的應用。本章的教學基本要求：了解行列式的定義和性質，掌握利用行列式的性質及按行（列）展開定理計算行列式的方法，會計算簡單的n階行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法則。本章的重點及難點：利用行列式的性質及按行（列）展開定理計算行列式的值，主要是三階、四階行列式的計算；利用克拉默法則求解線性方程組。§ 1 二階、三階行列式一、內容提要1二階行列式的定義其中稱為行列式的元素，的兩個下標表示該元素在行列式中的位置，第一個下標稱為行標，表明該元素位

2、于第i行；第二個下標稱為列標，表明該元素位于第j列。二階行列式中，等式右端的表達式又稱為行列式的展開式，二階行列式的展開式可以用所謂對角線法則得到，即： =其中，實線上兩個元素的乘積帶正號，虛線上兩個元素的乘積帶負號，所得兩項的代數和就是二階行列式的展開式。2三階行列式的定義三階行列式的展開式也可以用對角線法則得到，三階行列式的對角線法則如下圖所示：其中每一條實線上三個元素的乘積帶正號，每一條虛線上三個元素的乘積帶負號，所得六項的代數和就是三階行列式的展開式。二、例題分析例1 求解二元線性方程組解： 由于系數行列式 ， 所以方程組有唯一解為： ， 。 例2 計算行列式 解 例3 計算行列式；

3、； 解： 由對角線法則有： ； ；特別地: ； 三、小結對角線法則只適用與二階與三階行列式的計算。由例3得結論：（1）上（下）三角行列式等于主對角線上元素的乘積。（2）對角行列式等于主對角線上元素的乘積。§ 2 全排列及其逆序數 一、內容提要 排列 把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列，簡稱排列.n 個不同元素的所有排列的種數，通常用表示.。逆序 在一個排列中，若，則稱這兩個數組成一個逆序.逆序數 排列中，所有逆序的總數稱為此排列的逆序數。記為。排列中，考慮元素，如果比大的且排在前面的元素有個，則稱元素的逆序數是。記為。奇排列 逆序數為奇數的排列稱為奇排列。偶排列

4、 逆序數為偶數的排列稱為偶排列。特別地，標準排列1，2，···，n的逆序數。規(guī)定，標準排列是偶排列。二、例題分析排列中，考慮比大，且排在前面的元素的個數，就可以排列的逆序數。即（前面比大的數的個數）+（前面比大的數的個數）+ ······ + （前面比大的數的個數） ；同樣，考慮比小，且排在后面的元素的個數，就可以排列的逆序數。即（后面比小的數的個數）+（后面比小的數的個數）+ ······ + （后面比小的數的個數）。例4 求下列排列的逆序數，

5、并確定它們的奇偶性。 （1）5 3 2 1 4； （2）n (n1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k。解：（1）5 3 2 1 4 ，。 因此，。此排列為奇排列。（2）n (n1) ···2 1 ，···，。因此，。當時，排列為偶排列；當時，排列為奇排列。（3）(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) ··· ( k+1) k， ， ， ，·

6、83;····， ······， ， 。因此，。當k為偶數時，排列為偶排列；當k為奇數時，排列為奇排列。例5 設的逆序數為k，問排列的逆序數是多少？解：若在排列中，后面比小的數共有個，則在排列中，前面的數共有個，前面比大的數共有個。由已知有 。所以排列的逆序數為。 三、小結求排列的逆序數的方法：（1）（前面比大的數的個數）+（前面比大的數的個數）+ ······ + （前面比大的數的個數） ；（2）（后面比小的數的個數）+（后面比小的數

7、的個數）+ ······ + （后面比小的數的個數）。§ 3 n階行列式的定義一、內容提要由n2個元素組成的記號稱為n階行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和，各項的符號是：當這一項中的n個元素的行標排成標準排列后，若對應的列標構成的排列為偶數，則取正號；若對應的列標構成的排列為奇數，則取負號，即。行列式簡記為。一階行列式為。n階行列式中，等式右端的表達式又稱為行列式的展開式，二、例題分析例6 判別和是否為六階行列式中的項。分析：判別是否為n階行列式中的項，要考慮：（1）n個元素是否位于不同行，不同列；

8、（2）確定其符號。解： 不是六階行列式中的項。這是因為，與都位于第6列。是六階行列式中的項。首先，中的6個元素位于不同行，不同列；再有，。確定其符號：，因此，應帶負號。N階行列式的展開式是n!項的代數和，每項都是位于不同行不同列的n個元素的乘積。因此，對于含零元素較多的行列式，可直接用定義計算。但對于一般性的行列式，常用后面將要學到的性質與定理進行簡化計算。對于含零元素較多的行列式，用定義計算時，只需求出所有非零項，并進行代數和即可。例7 計算行列式 。解：這是一個4階行列式。其展開式中項的一般形式為。若，則，從而。所以，只有才可能不為零。同理，要使，必須，。即行列式的展開式中不為零的項僅為。

9、因此，。例8 計算行列式 。解：這是一個1998階行列式。顯然，在所有取自不同行不同列的1998個元素乘積中，只有因此， 。例9 利用行列式定義，證明。證：由行列式定義知其值是n!項的代數和，每項是不同行不同列的n個元素的積。上述行列式中，除主對角元素乘積一項是奇數1外，其余各項（共n! -1項）的每項中至少有一個2，故均是偶數。n! 1個偶數之代數和仍是偶數。再和1相加，不可能是零。因此 。三、小結1行列式的實質是一種特定的算式，計算結果是一個數；2n階行列式的展開式是n!項的代數和，每項都是位于不同行不同列的n個元素的乘積；3項前面的符號為；4對角線法則不適用于四階及四階以上的行列式展開式

10、；5幾個常用行列式結果：（1），（2），（3）。§ 4 對 換一、內容提要在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換。將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換。定理1 一個排列中任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。推論 奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，偶排列調成標準排列的對換次數為偶數。定理2 n 階行列式也可定義為。 二、小結行列式的兩種定義，。行列式更一般的定義為 。其中 。§ 5 行列式的性質一、 內容提要1性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等，即。性質2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。以表示行列式的第i行，以表示第i列。互換第i行與

11、第j行，記作；互換第i列與第j列，記作。推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則行列式為零。性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘以此行列式。即 ，或 。第i行乘以k，記作；第i列乘以k，記作。推論 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。第i行提出公因子k，記作；第i列提出公因子k，記作。性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。性質5 如果行列式的某一列（行）元素都是兩數之和，例如第i列的元素都是兩數之和：，則D等于下列兩個行列式之和。如果第i行的元素都是兩數之和：，則D等于下列兩個行列式之和。性質6 把行列式的某一列

12、（行）各元素乘以同一數，然后加到另一列（行）對應的元素上去，行列式不變。例如，以數k乘第i列加到第j列（記作）有以數k乘第i行加到第j行（記作）有。2常用結論：如果 ， ， 。則， 常記為 。二、例題分析例10 計算上三角行列式（主對角線以下元素全為0）解： 利用性質1，得。例11 計算 。解 。 （第二、三行元素成比例）例12 計算 。解：由性質5有 右邊第一個行列式中，第一列乘加到第2、3列；在第二個行列式的第一列中提出得 。例13 計算 。分析：首先，利用性質將行列式化為型，再利用求出結果。解： 。三、小結（1）行列式的六個性質、兩個推論是計算行列式的理論保證，要盡快熟練掌握它們。（2）

13、。§ 6 行列式按行（列）展開一、內容提要在n階行列式中，劃去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序構成的階行列式，稱為元素的余子式，記為。稱為的代數余子式。定理3 n 階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即 ； 或 。 推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素代數余子式乘積之和等于零。即 ，或 。綜合定理及推論，有展開式或 其中 二、例題分析在實際計算時，直接用定理展開行列式，通常并不能減少計算量，除非行列式中某一行（列）含有較多的0元素。因此，在具體計算時，我們總是先運用行列式的性質，將某一行（列）元素盡可能多地化為0，然后再

14、利用定理，按該行（列）展開。例14 計算行列式 。解：.下面通過例題介紹利用性質、定理計算行列式的幾種常用方法。1化為上三角行列式法利用性質，把行列式化為上三角行列式，是計算行列式的基本方法。例15 計算行列式 解： 在化為上三角行列式時，要從第一列開始，一列一列進行。在化第i列時，利用性質2選擇好，以便化（）為0時，盡量避免出現分數，減少計算量。例16 計算 解： = 4觀察行列式，抓住其特點，是快速準確計算行列式的第一保證。例17 計算 分析： 這個行列式有一個特點，各列4個數之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化簡：解： = 48。例18 計算 ，其中。解

15、：從第1行到第n行，依次提出公因子，得。2拆分法根據行列式的特點，利用性質5將行列式進行拆分計算。例19 證明：。證：左邊.例20 計算行列式 。解：按第1列拆分，。3遞推公式法有時，根據行列式的特點，得到遞推公式，計算出行列式。例21 計算 解： 按第一列展開，得將右端第二項的行列式按第一行展開，得 即 由此遞推得 于是 從而 4數學歸納法數學歸納法也是計算行列式的常用方法。例22 證明行列式。證：對階數n使用數學歸納法。當時，故結論成立。假設結論對的自然數都成立，下面要證對n也成立。為此將按第1列展開，得上式右端的第1個行列式為，而第2個行列式按第1行展開其值為，所以有。計算行列式要充分利

16、用已知結果。例23 計算行列式解：從第行開始，第行經過次相鄰對換，換到第1行，第行經次對換換到第2行，經次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式計算行列式，還應多進行一題多解。例24 證明：。解法1：用數學歸納法證明假設對于階行列式命題成立.即 所以，對于階行列式命題成立.解法2：用遞推法。將按第1列展開，得由此得遞推公式： 。于是，。解法3：.解法4：將行列式按第n行展開也可以，讀者自己試一試。三、小結行列式的計算方法靈活多樣，技巧性強，前面所舉例子的解法只是眾多方法中的幾種。讀者可以想象并總結出另一些方法和技巧進行計算，并比較各種作法的繁簡，逐步提高計算能力。*補充 拉普拉斯（Laplace）

17、定理§6中的按行（列）展開定理只是把行列式按某一行（列）展開，下面再把它推廣到按k行（k列）展開。首先應把元素的余子式和代數余子式的概念加以推廣。定義 在n階行列式中，任取k行與k列，將這些行與列相交處的元素按原來相對位置構成的k階行列式 ,稱為該行列式的一個k階子式，記為N。劃去這些行和列后所剩下的元素依原次序構成的一個階子式，稱為N的余子式，記為M。稱為N的代數余子式。例如，對四階行列式 取第2、第3行與第2、第4列，得到一個二階子式 。N的余子式為。N的代數余子式為。 一般在n階行列式中取定k行，就有個k階子式。 定理（Laplace定理） 在n階行列式D中，任取k行（列），則

18、由這k行（列）元素所有的k階子式與其對應的代數余子式的乘積之和等于行列式D。設取定的k行的所有子式為N1，N2，Nt，其所對應的代數余子式分別為A1，A2，At，則 例1 用拉普拉斯定理計算解： 選取第1、2行，只有3個非零二階子式 ， ， ，其對應的代數余子式為， ，。故 。例2 計算2n階行列式 解： 選取第n，n+1行應用拉普拉斯定理，只有一個非零二階子式 ，其代數余子式為 故 利用這個遞推公式及 ，得。§ 7 克拉默法則一、內容提要克拉默法則 如果n元線性方程組 （*) 的系數行列式不等于零，即則方程組（*）有唯一解，且其解為 ， 其中是把的第j列各元素依次換成方程組的常數項

19、所得到的n階行列式，即 ， ( j=1, 2 , , n ) 定理4 如果n元線性方程組（*）的系數行列式，則方程組（*）一定有解，且解是唯一的。定理4如果n元線性方程組（*）無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零。定理5 如果齊次線性方程組 （*）的系數行列式，則齊次方程組（*）只有零解。定理5如果齊次線性方程組（*）有非零解，則它的系數行列式必為零。二、例題分析例25 求下列線性方程組的解解：該方程組的系數行列式為范德蒙德行列式 。方程組有唯一解。容易看出，也是范德蒙德行列式： ；。故方程組的解為 ，。例26 討論為何值時，齊次線性方程組有唯一零解。解：方程組的系數行列式 由此可知，當且時，D 0。此時，方程組有唯一零解。 例27 給定平面上三個點（1，1），（2，1），（3，1），求過這三個點且對稱軸與Y軸平行的拋物線方程。解： 因為拋物線的對稱軸與Y軸平行，因此可設所求拋物線