二項分布概念及圖表和查表方法

1、二項分布概念及圖表二項分布就是重復 n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發(fā)生與否互相對立，并且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變，則這一系列試驗總稱為 n重伯努利實驗，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布。中文名二項分布外文名Binomial Distribution提WT伯努利涉及實驗伯努利試驗；兩點分布屬于概率論與數理統(tǒng)計應用學科大氣科學；氣候學；計算機科學目錄1定義?統(tǒng)計學定義?醫(yī)學定義2概念3性質4圖形特點5應用條件6應用實例定義統(tǒng)計學定義在概率論和統(tǒng)計學中，二項分布是n個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散

2、概率分布，其中每次試驗的成功概率為 p。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當神二L時，二項分布就是伯努利分布，二項分布是顯著性差異的二項試驗的基礎。醫(yī)學定義在醫(yī)學領域中，有一些隨機事件是只具有兩種互斥結果的離散型隨機事件，稱為二項分類變量(dichotomous variable ),如對病人治療結果的有效與無效，某種化驗結果的陽性與陰性，接觸某傳染源的感染與未感染等。二項分布( binomial distribution )就是對這類只具有兩種互斥結果的離散型隨機事件的規(guī)律性進行描述的一種概率分布?？紤]只有兩種可能結果的隨機試驗，當成功的概率( K )是恒定的，且各次試驗相互

3、獨立，這種試驗在統(tǒng)計學上稱為伯努利試驗( Bernoulli trial )。如果進行門次伯努利試驗，取得成功次數為=Q 1,2,用的概率可用下面的二項分布概率公式來描述：P=C(X,n)*兀AX*(1-兀)A(n-X)£ & (匕冏7=0一陽箝醛H/寸2常”二項分布公式式中的n為獨立的伯努利試驗次數，兀為成功的概率，(1-兀)為失敗的概率，X為在n次伯努里試驗中出現(xiàn)成功的次數，表示在n次試驗中出現(xiàn)X的各種組合情況，在此稱為二項系數( binomialcoefficient )。所以的含義為：含量為 n的樣本中，恰好有 X例陽性數的概率。概念二項分布(Binomial Dis

4、tribution ),即重復 n 次的伯努利試驗(Bernoulli Experiment )，用 E 表示隨機試驗的結果。=上)=(：)設(卜嚴=8kM3 = S L,二項分布公式如果事件發(fā)生的概率是 P,則不發(fā)生的概率 q=1-p , N次獨立重復試驗中發(fā)生K次的概率是P(E=K尸 C(n,k) * pAk * (1 -p)A(n-k),其中 C(n, k) =n!/(k!(n-k)!),注意：第二個等號后面的括號里 的是上標，表示的是方哥。那么就說這個屬于二項分布。其中 P稱為成功概率。記作 E B(n,p)期望：EE =np;方差：DE =npq；其中q=1-p證明：由二項式分布的定

5、義知， 隨機變量X是n重伯努利實驗中事件 A發(fā)生的次數，且在每次試 驗中A發(fā)生的概率為p。因此，可以將二項式分布分解成 n個相互獨立且以p為參數的(0-1)分布 隨機變量之和。設隨機變量 X (k) (k=1,2,3.n)服從(0-1)分布，則 X=X(1)+X(2)+X(3).X(n).因X(k)相互獨立，所以期望：E(h)= EX +X+ X” + X(叨=m方差：D (x) = X (1)+X(2)+X(3), + X (/!)= «p (1-p)證畢。如果1 .在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且是互相對立的；2 .每次實驗是獨立的，與其它各次試驗結果無關；3 .結果事件發(fā)生

6、的概率在整個系列試驗中保持不變，則這一系列試驗稱為伯努利實驗。 在這試驗中，事件發(fā)生的次數為一隨機事件，它服從二次分布。二項分布可以用于可靠性試驗?？煽啃栽囼灣３Ｊ峭度?n個相同的式樣進行試驗 T小時，而只允許k個式樣失敗， 應用二項分布可以得到通過試驗的概率。若某事件概率為 p,現(xiàn)重復試驗n次，該事件發(fā)生k次的概率為：P=C(n,k) XpAkx(l-p)A(n-k) °C(n,k) 表示組合數，即從 n個事物中拿出k個的方法數。性質(一)二項分布是離散型分布，概率直方圖是躍階式的。因為x為不連續(xù)變量，用概率條圖表示更合適，用直方圖表示只是為了更形象些。1 .當p=q時圖形是對稱的

7、例如，, p=q=1/2 ,各項的概率可寫作：p" 4- 6P5k 4-= L2 .當pWq時，直方圖呈偏態(tài)，p<q與p>q的偏斜方向相反。如果 n很大，即使pwq,偏態(tài)逐漸 降低，最終成正態(tài)分布，二項分布的極限分布為正態(tài)分布。故當n很大時，二項分布的概率可用正態(tài)分布的概率作為近似值。何謂n很大呢？一般規(guī)定：當p<q且np>5,或p>q且nq>5,這時的n就被認為很大，可以用正態(tài)分布的概率作為近似值了。(二)二項分布的平均數與標準差如果二項分布滿足 p<q , np>5,(或p>q , np>5附，二項分布接近正態(tài)分布。這時

8、，也僅僅在這 時，二項分布的x變量(即成功的次數)具有如下性質：口 二呼 x (5 - 1 a = yfnpq(5 一 10公即x變量具有(1 =np ,的正態(tài)分布。式中n為獨立試驗的次數，p為成功事件的概率，q=1- p。由于n很大時二項分布逼近正態(tài)分布， 其平均數，標準差是根據理論推導而來的，故用 科和b而不用X和S表示。它們的含意是指在二項 試驗中，成功的次數的平均數科=np ,成功次數的分散程。例如一個擲10枚硬幣的試驗，出現(xiàn)正面向上的平均次數為 5次(科=np=),正面向上的散布程度為 V10X(1/2) X (1/2)= 1.58(次)，這是根據 理論的計算，而在實際試驗中，有的人

9、可得10個正面向上，有人得 9個、8個 ，人數越多，正面向上的平均數越接近 5,分散程度越接近1.58。圖形特點(1)當(n+1 ) p不為整數時，二項概率 PX=k在k=(n+1)p時達到最大值；(2)當(n+1) p為整數時，二項概率 PX=k在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1時達到最大值。注：x為不超過x的最大整數。應用條件1 .各觀察單位只能具有相互對立的一種結果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于兩分類資料。2 .已知發(fā)生某一結果(陽性)的概率為 兀，其對立結果的概率為 1-兀，實際工作中要求 兀是從 大量觀察中獲得比較穩(wěn)定的數值。1 二項分布公式3. n次試驗在相同條件下進行，

10、且各個觀察單位的觀察結果相互獨立，即每個觀察單位的觀察結果不會影響到其他觀察單位的結果。如要求疾病無傳染性、無家族性等。應用實例二項分布在心理與教育研究中，主要用于解決含有機遇性質的問題。所謂機遇問題，即指在實驗 或調查中，實驗結果可能是由猜測而造成的。比如，選擇題目的回答，劃對劃錯，可能完全由猜測造 成。凡此類問題，欲區(qū)分由猜測而造成的結果與真實的結果之間的界限，就要應用二項分布來解決。 下面給出一個例子。已知有正誤題10題，問答題者答對幾題才能認為他是真會，或者說答對幾題，才能認為不是出 于猜測因素？分析：此題P二。二1/2 ,即猜對猜錯的概率各為0.5。之5 ,故此二項分布接近正態(tài)分布：

11、 = ftp = 10 x0.5 = 5根據正態(tài)分布概率，當 Z=1.645時，該點以下包含了全體的95%。如果用原分數表示，則為+ L645。= 5+ L645黑 1.58 =7,6 * 8它的意義是，完全憑猜測，10題中彳1對8題以下的可能性為 95%,猜對8、9、10題的概率只5%。因此可以推論說，答對 8題以上者不是憑猜測，而是會答。但應該明確：作此結論，也仍然有犯錯誤的可能，即那些完全靠猜測的人也有5%的可能性答對8、9、10道題。此題的概率值，還可用二項分布函數直接計算，亦得與正態(tài)分布近似的結果：b(8 10 0.5)=10*9/2*0.58*0.52 = 45/1024b(9 1

12、0 0.5)=10*0.59*0.51 = 10/1024b(10 10 0.5) = 1/1024根據概率加法， 答8題及其以上的總概率為：45/1024+10/1024+1/1024=56/1024 = 0.0547 同理，可計算8題以下的I率為 95%。(近似)附表1二項分布表X tn 七 kn上PX Ex=1，k P (l - P)k 0nXP0.0010.0020.0030.0050.010.020.030.000.250.30200.9980 ().9960 0.9940 0.9900 0.9801 0.960)4 0.9409)0.90250.8100 0

13、.7225 0.(>400 0.5(525 0.49)0211.0000 1.0000 1.0000 1.C000 0.9999 0.99916 0.99910.99750.9900 0.9775 0K)600 0.9：375 0.91)0300.9970 0).9940 0.9910 0.9851 0.9703 0.9412 0.912'0.85740.7290 0.6141 0.f5120 0.4；>19 0.3430311.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.99818 0.997,0.99280.9720 0.9393 01I960

14、 0.8,138 0.7840321.0000 1.0000 10000 1.0000 0.9999 0.9990 0.99660.99200.9844 0.9730400.9960 0).9920 0.9881 0.9801 0.9606 0.922!4 0.8853i 0.81450.6561 0.5220 0.L096 0.3164 0.2401411.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9994 0.9977 0.99480.98600.9477 0.8905 01!192 0.7：383 0.6517421.0000 -.0000 1.0000 1.0000 0.

15、9999 0.9995 0.99630.98800.9728 09492 0.9)163431.00001.0000 09999 0.9995 0.9984 0.996i1 0.9919500.9950 0).9900 0.9851 0.9752 0.9510 0.903i9 0.85870.77380.5905 0.4437 0.：，277 0.2：373 0.1631511.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9990 0.99(>2 0.9915i 0.97740.9185 0.8352 0.'373 0.6：328 0.5232521.0000 1.0

16、000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9988 0.99140.97340.9421 08965 0.81369531.00001.0000 10000 0.9995 0.9978 0.9933 0.984/. 0.9692541.0000).9999 0.9997 0.9990 0.9976600.9940 0).9881 0.9821 0.9704 0.9415 0.885i8 0.83301 0.73510.5314 0.3771 01!621 0.1780 0.1176611.0000 0).9999 0.9999 0.9996 0.9985 0.9943 0.9875

17、i 0.96720.8857 0.7765 0.(>554 0.5：339 0.4202621.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9995 0.99780.98420.9527 0.9011 0J5306 0.7143631.00001.0000 09999 0.9987 0.9941 0.9830 0.9624. 0.9295641.0000 ().9999 09996 0.9984 0.9954 0.9891651.0000.0000 0.9999 0.9998 0.9993700.9930 0).9861 0.9792 0.9655 0.9321

18、 0.86811 0.80801 0.69830.4783 0.3206 01!097 0.1：335 0.0824711.0000 0).9999 0.9998 0.9995 0.9980 0.992!1 0.9829)0.95560.8503 0.7166 0.f"67 0.4149 0.3294721.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9991 0.9962：0.97430.9262 0.8520 0/，564 0.6,171731.00001.0000 09998 0.9973 0.9879 0.9667 0.9294. 0.8740741

19、.0000 ().9998 09988 0.9953 0.9871 0.9712751.0000).9999 0.9996 0.9987 0.9962761.0000 1.0000 0.9999 0.9998800.9920 0).9841 0.9763 0.9607 0.9227 0.850)8 0.78370.66340.4305 0.2725 0/678 0.1()01 0.0576811.0000 0).9999 0.9998 0.9993 0.9973 0.98917 0.97770.94280.8131 0.6572 0.f5033 0.3(571 0.2553821.0000 1

20、.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9942：0.96190.8948 0.7969 0.(>785 0.5,518831.0000 11.0000 0.9999 0.9996 0.9950 0.9786 0.94370.88620.8059841.0000 1.0000 09996 0.9971 0.9896 0.9727 0.9420851.0000 ().9998 09988 0.9958 0.9887861.0000 ().9999 0.9996 0.9987871.00001.0000 09999900.9910 (.9821 0.9733

21、0.9559 0935 0.8337 0.760：0.6302 ,0.3874 0.2316 0.1342 0.0-751 0.04)4911.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9966 0.9869 0.97180.92880.7748 0.5995 0.，1362 0.3(003 0.1960921.0000 -.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9980 0.99160.94700.8591 0.7382 0.(>007 0.4(628931.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9917 0.9661 0.91440.

22、83430.7297941.0000 1.0000 09991 0.9944 0.9804 0.9511 0.9012：950.9999 ().9994 09969 0.9900 0.9747961.00001.0000 09997 0.9987 0.9957971.00000.9999 09996981.00001.00001000.9900 0.9802 0.9704 0.9511 0.9044 0.8171 0.73740.59870.3487 0.1969 0.1074 0.0J563 0.02321011.0000 0.9998 0.9996 0.9989 0.9957 0.9838

23、 0.96550.91390.7361 0.5443 0二3758 02440 0.14931021.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9972 0.98850.92980.8202 0.6778 0.J5256 038281031.0000 1.0000 0.9999 0.9990 0.9872 0.9500 0.87910.77590.64961041.0000 0).9999 09984 0.9901 0.9672 0.9219 0.84971051.0000 (0.9999 09986 0.9936 0.9803 0.95271061.0000 ()

24、.9999 09991 0.9965 0.98941071.0000 ().9999 0.9996 0.99841081.00001.0000 0.99991091.00001100.9891 0.9782 0.9675 0.9464 0.8953 0.8007 0.71530.56880.3138 0.1673 0.(0859 0.0，422 0.01981110.9999 0.9998 0.9995 0.9987 0.9948 0.9805 0.95870.89810.6974 0.4922 0二3221 0.1971 0.11301121.0000 1.0000 1.0000 1.C00

25、0 0.9998 0.9988 0.99630.98480.9104 0.7788 0.(>174 04552 0.31271131.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9815 0.9306 0.83890.71330.56961141.0000 0).9999 09972 0.9841 0.9496 0.8854 0.78971151.0000 (0.9997 09973 0.9883 0.9657 0.92181161.0000 ().9997 09980 0.9924 0.97841171.0000 ().9998 0.9988 0.99571181.0000

26、0.9999 099941191.00001.00001200.9881 0.9763 0.9646 0.9416 0.8864 0.7847 0.69380.54040.2824 0.1422 0.(0687 0.0：317 0.01381210.9999 0.9997 0.9994 0.9984 0.9938 0.9769 0.95140.88160.6590 0.4435 0.：>749 0.1584 0.08501221.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9985 0.99520.98040.8891 0.7358 0J5583 03907 0

27、.25281231.0000 0).9999 0.9997 0.9978 0.9744 0.9078 0.79460.64880.49251241.0000 .0000 0.9998 0.9957 0.9761 0.9274 0.8424. 0.72371251.0000 (0.9995 09954 0.9806 0.9456 0.88221260.9999 ().9993 09961 0.9857 0.96141271.0000 I).9999 0.9994 0.9972 0.99051281.0000 0).9999 09996 0.99831291.00001.0000 09998121

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29、1.0000 0).9999 0.9995 0.9969 0.9658 0.8820 0.74730.58430.42061341.00001.0000 0.9997 0.9935 0.9(58 0.9009 0.7940)0.65431351.00000.9991 09925 0.9700 0.9198 0.83461360.9999 ().9987 0.9930 0.9757 0.93761371.0000 ().9998 0.9988 0.9944 0.98181381.0000 0).9998 09990 0.99601391.00000.9999 0999313101.00000.9

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