2013年湖南高考理科數(shù)學試卷(帶詳解)(共13頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁，時量120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【測量目標】復數(shù)乘法的運算法則,復數(shù)集與復平面上的點對應關系.【考查方式】利用復數(shù)乘法的運算法則及復數(shù)的幾何意義求解.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】復數(shù)對應復平面上的點是該點位于第二象限.2.某學校有男、女學生各500

2、名.為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（ ）A抽簽法 B隨機數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法 【測量目標】分層抽樣.【考查方式】給出實際案例，判斷其解決問題的方法屬于四種抽樣方法的哪一種.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】由于是調查男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在差異，因此用分層抽樣方法.3.在銳角中，角所對的邊長分別為.若則角等于（ ）A B C D 【測量目標】正弦定理.【考查方式】給出三角形中的邊角關系，運用正弦定理求解未知角.【難易程度】容易【參考答案】D【試題解析】在中，(為的外接圓

3、半徑).（步驟1）,（步驟2）又為銳角三角形，.（步驟3）4.若變量滿足約束條件，則的最大值是（ ）A B C D 【測量目標】二元線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最值.【考查方式】利用線性規(guī)劃知識求目標函數(shù)的最值問題.【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】根據(jù)不等式組作出其平面區(qū)域，令結合的特征求解.不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，（步驟1）平行移動可知該直線經(jīng)過與的交點時，有最大值為.（步驟2）第4題圖 5.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（ ）A3 B2 C1 D0 【測量目標】函數(shù)圖象的應用.【考查方式】先作出常見函數(shù)圖象再確定其圖象交點個數(shù).【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】

4、又當時，（步驟1）在同一直角坐標系內畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示，可知與有2個不同的交點.（步驟2）第5題圖 6. 已知是單位向量，.若向量滿足則的取值范圍是（ ）A B C D 【測量目標】向量數(shù)量積的運算及定義、向量加法的幾何意義.【考查方式】將所給向量式兩邊平方后利用向量數(shù)量積的運算律以及向量數(shù)量積定義的求解.【難易程度】較難【參考答案】A【試題解析】由題意，不妨令，由得，（步驟1）可看做到原點的距離，而點在以為圓心，以1為半徑的圓上（步驟2）如圖所示，當點在位置時到原點的距離最近，在位置時最遠，而，故選A（步驟3）第6題圖 7已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體

5、的正視圖的面積不可能等于（ ）A B C D 【測量目標】空間幾何體三視圖.【考查方式】根據(jù)正方體的正視圖的形狀來求解其面積值.【難易程度】中等【參考答案】C【試題解析】根據(jù)三視圖中正視圖與俯視圖等長，故正視圖中的長為，如圖所示故正視圖的面積為，而，故面積不可能等于.第7題圖 8.在等腰三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到點（如圖）.若光線經(jīng)過的重心，則等于（ ）第8題圖 A B C D 【測量目標】直線的斜率，直線的方程.【考查方式】已知一個三角形的邊長關系，建立平面直角坐標系求解未知邊的值.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】以A為原點，AB為x軸，AC為y軸建

6、立直角坐標系如圖所示則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)（步驟1）設ABC的重心為D，則D點坐標為.設P點坐標為(m,0)，則P點關于y軸的對稱點P1為(m,0)，（步驟2）因為直線BC方程為xy40，所以P點關于BC的對稱點P2為(4,4m)，根據(jù)光線反射原理，P1，P2均在QR所在直線上，即，（步驟3）解得，m或m0.當m0時，P點與A點重合，故舍去.（步驟4）第8題圖 二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計分）9.在平面直角坐標系中，若(為參數(shù))，過橢圓C（為參數(shù)）的右頂點，

7、則常數(shù) .【測量目標】參數(shù)方程的轉化，橢圓的簡單幾何性質.【考查方式】先將參數(shù)方程化為普通方程后求解，再運用橢圓的簡單幾何性質求出未知參數(shù).【難易程度】容易【參考答案】3【試題解析】由題意知在直角坐標系下，直線l的方程為yxa，橢圓的方程為，（步驟1）所以其右頂點為(3,0)由題意知03a，解得a3. （步驟2）10.已知則的最小值為 .【測量目標】柯西不等式，最值問題.【考查方式】使用柯西不等式化簡式子求其最值.【難易程度】中等【參考答案】12【試題解析】由柯西不等式得，即，（步驟1）當時等號成立，所以的最小值為12. （步驟2）11.如圖，在半徑為的中,弦相交于點，則圓心到弦的距離為 .第

8、11題圖 【測量目標】圓的相交弦定理及圓的弦的性質，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圓內線段的長再根據(jù)弦的性質求解三角形中未知數(shù).【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】如圖所示，取CD中點E，連結OE，OC由圓內相交弦定理知，（步驟1）所以PC4，CD5，則CE，OC.（步驟2）所以到距離為.（步驟3）第11題圖 必做題（12-16題）12.若則常數(shù)的值為 .【測量目標】微積分基本定理.【考查方式】利用微積分基本定理建立方程求解.【難易程度】中等【參考答案】3【試題解析】，. 13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 .第13題圖 【測量目標】循環(huán)結構的程序框圖.【考查方式】閱讀程序框圖

9、，運行程序得出結果.【難易程度】中等【參考答案】9【試題解析】輸入不滿足故a3；a3不滿足a8，故a5；a5不滿足a8，故a7；7不滿足8，故9，滿足8，終止循環(huán)輸出9.14設是雙曲線的兩個焦點，P是C上一點，若且的最小內角為，則C的離心率為_.【測量目標】雙曲線的定義，余弦定理.【考查方式】根據(jù)雙曲線的定義及已知條件，利用余弦定理建立關于的方程求解.【難易程度】較難【參考答案】【試題解析】不妨設|PF1|PF2|，由可得（步驟1）2a2c，PF1F230，（步驟2）整理得，即.（步驟3）15設為數(shù)列的前項和，則（1）_； （2）_.【測量目標】已知遞推關系求通項，數(shù)列的前項和.【考查方式】根

10、據(jù)建立關于的關系式，根據(jù)的關系式歸納尋找其規(guī)律后求解.【難易程度】中等【參考答案】 【試題解析】（步驟1）當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，,（步驟2）當時.（步驟3）根據(jù)以上的關系式及遞推式可求：（步驟4）（步驟6）16設函數(shù)（1）記集合不能構成一個三角形的三條邊長，且，則所對應的的零點的取值集合為_.（2）若是的三條邊長，則下列結論正確的是 .（寫出所有正確結論的序號）使不能構成一個三角形的三條邊長；若為鈍角三角形，則，使【測量目標】對數(shù)的運算，對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，余弦定理，函數(shù)零點存在性定理.【考查方式】由三角形的構成條件與函數(shù)的零點存在性求解未知參數(shù)的范圍，以及舉反例驗證.【難易程度】較難【參

11、考答案】 【試題解析】(1)且不能構成三角形三邊，（步驟1）令得，即.（步驟2）（步驟3）（2）是三角形的三條邊長，當時， （步驟4）故正確（步驟5）；令，則可以構成三角形.但卻不能構成三角形，故正確；（步驟6）且為鈍角三角形，又（步驟7）函數(shù)在上存在零點，故正確. （步驟8）三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知函數(shù).（I）若是第一象限角，且.求的值；（II）求使成立的x的取值集合.【測量目標】兩角和與差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函數(shù)不等式的解法.【考查方式】運用三角恒等變換公式化簡函數(shù)求解.【難易程度】容易【

12、試題解析】（I）.（步驟1）（步驟2）（II）（步驟3）（步驟4）18（本小題滿分12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：X1234Y51 484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.（I）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望.第18題圖 【測量目標】古典概型，分布列數(shù)學期望.【

13、考查方式】利用古典概型求概率，根據(jù)所求概率列出分布列，結合期望公式求解.【難易程度】中等【試題解析】() 由圖知，三角形邊界共有12個格點,內部共有3個格點.從三角形上頂點按逆時針方向開始，分別有,8對格點恰好“相近”.所以，從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率.（步驟1）（）三角形共有15個格點.與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)都是1個的格點有2個，坐標分別為(4,0),(0,4).所以（步驟2），與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)都是2個的格點有4個，坐標分別為(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以（步驟3），與周圍格點的距離不超過1米

14、的格點數(shù)都是3個的格點有6個，坐標分別為(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以（步驟4）與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)都是4個的格點有3個，坐標分別為(1，1), (1,2), (2,1).所以（步驟5）如下表所示：X1234Y51484542頻數(shù)2463概率P.（步驟6）19（本小題滿分12分）如圖，在直棱柱，.（I）證明：； （II）求直線與平面所成角的正弦值.第19題圖 【測量目標】線面垂直的判定與性質，線面角.【考查方式】利用空間線面垂直的性質證明線線垂直，建立空間直角坐標系用向量法證明，再求直線與平面所成角的正弦值【難易程度】中等【試題

15、解析】()是直棱柱面，且面面（步驟1）又，且，面，面.（步驟2） （）直線與平面的夾角即直線與平面的夾角.（步驟3）建立直角坐標系，用向量解題.設原點在點，為軸正半軸，為軸正半軸，為z的正半軸.設，則（步驟4）設平面的法向量為，則平面的一個法向量（步驟5）所以平面的一個法向量所以與平面夾角的正弦值為.（步驟6）第19題（）圖 20（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑與路徑都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面內三點處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心.（I

16、）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.第20題圖 【測量目標】絕對值函數(shù)最值.【考查方式】將實際案例中的關系先列出式子再將其轉化為含絕對值的和的形式，進行分類討論求解.【難易程度】較難【試題解析】（I）設點，且點P到點A（3，20）的“L路徑”的最短距離d 等于水平距離加上垂直距離，即，其中（步驟1）（）點P到A,B,C三點的“L路徑”長度之和的最小值d = 水平距離之和的最小值h + 垂直距離之和的最小值v（且h和v互不影響）

17、.顯然當y=1時，v = 20+1=21；顯然當時，水平距離之和,且當x=3時，h=24.因此,當P(3,1)時，d=21+24=45. （步驟2）所以，當點滿足P(3,1)時,點P到A,B,C三點的“L路徑”長度之和d的最小值為45. （步驟3）21（本小題滿分13分）過拋物線的焦點F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點A，B，與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為.（I）若，證明；（II）若點M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程.【測量目標】拋物線的定義，向量數(shù)量積的定義，圓的方程，直線與拋物線的位置關系.【考查方式】先將直線方

18、程帶入拋物線的方程，利用向量數(shù)量積的坐標運算求解，再求出圓的相交弦方程利用點到直線的距離公式及函數(shù)思想求解.【難易程度】較難【試題解析】()已知拋物線的焦點為設（步驟1）直線方程：與拋物線方程聯(lián)立，化簡整理得（步驟2）（步驟3）同理.（步驟4）（步驟5）所以，成立. （步驟6）（）設圓的半徑分別為（步驟7）同理則的方程分別為， （步驟7）直線的方程為：.（步驟8）點到直線的距離為：.拋物線的方程為（步驟9）22（本小題滿分13分）已知，函數(shù).（I）記在區(qū)間上的最大值為求的表達式；（II）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線相互垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【測量目標】利用導數(shù)求分段函數(shù)的最值，導數(shù)的幾何意義.【考查方式】根據(jù)已知條件轉化函數(shù)為分段函數(shù)再求導，判斷極值點所在區(qū)間進行分類討論，依題意將問題轉化為函數(shù)單調性不一致區(qū)