21.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用.doc

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學(xué)叢書,給您一個智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(18-21):極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(509) 1299 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 母題(18-21):(選修4-4（人教版）P15.習(xí)題1.3.第6題)已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a、2b(ab0),A、B分別為橢圓上的兩點(diǎn),且OAOB.()求證:+為定值; ()求OAB面積的最大值和最小值.解析:以橢圓中心O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),長軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則橢圓的直角坐標(biāo)方程為:+=1,將橢圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程得:+=12=;由于OAOB,故可設(shè)A(1,

2、),B(2,+)12=,22=;()由+=+=+=+為定值;()由SOAB=|OA|OB|=12=;當(dāng)sin22=1,即=,或時,SOAB有最小值;sin22=0,即=0,或時,SOAB有最大值ab.點(diǎn)評:該題出現(xiàn)在選修4-4中,有兩方面的用意:一是體現(xiàn)極坐標(biāo)系作為研究問題的工具,具有廣泛性,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)方法功能,而非知識構(gòu)建;二選修4-4中雖然沒有圓錐曲線的極坐標(biāo)方程,應(yīng)該探究拓展.極坐標(biāo)的應(yīng)用包括兩個方面:一是利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式,將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)問題解決;二是建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程,并充分利用極坐標(biāo)方程中變量(0)和的幾何意義解決問題. 子題(1):(2009年山東

3、高考試題)設(shè)橢圓E:=1(a,b0)過M(2,)、N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).()求橢圓E的方程; ()是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A、B,且？若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍;若不存在,請說明理由.解析:()將M(2,)、N(,1)的坐標(biāo)=1得: 橢圓E:+=1;()將橢圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程得:+=12=;由于OAOB,故可設(shè)A(1,),B(2,+)12=,22=+=+=原點(diǎn)O到直線AB的距離d=存在圓:x2+y2=;由|AB|2=|OA|2+|OB|2=12+22=+=,12|AB|的取值范圍是,2. 1300 母題(18-2

4、1):極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(509) 注:從知識結(jié)構(gòu)看,本題是母題的一個子題,因此,其解題方法相同,都是直接將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程求解,無需建立新的極坐標(biāo)系,這是解決圓錐曲線的對稱中心問題的統(tǒng)一方法. 子題(2):(2008年安徽高考試題)己知橢圓C:(ab0),其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2,0)的準(zhǔn)線方程為x=4.()求橢圓C的方程; ()己知過點(diǎn)F1(-2,0)傾斜角為的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求證:|AB|=;()過點(diǎn)F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A,B和D,E,求|AB|+|DE|的最小值. 解析:()由a2=8,c=2b2=4橢圓C:+=1;以橢圓C的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)

5、,x軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則橢圓C的極坐標(biāo)方程:=;()令A(yù)(1,),則B(2,+)1=,2=|AB|=1+2=+=,由e=,p=2|AB|=;()由|AB|=|DE|=|AB|+|DE|=+=;當(dāng)sin2=1,即=時,|AB|+|DE|取最小值(本題中=);當(dāng)sin2=0,即=0時,|AB|+|DE|取最大值. 注:從方法的角度看,本題是母題的另一個子題,一般性結(jié)論:過圓錐曲線=的極點(diǎn)作兩條互相垂直的弦,則兩弦長的和的最小值=,最大值=. 子題(3):(2007年安徽高考試題)設(shè)F是拋物線G:x2=4y的焦點(diǎn).()過點(diǎn)P(0,-4)作拋物線G的切線,求切線方程;()設(shè)A、B為拋物線G上異于原

6、點(diǎn)的兩點(diǎn),且滿足=0,延長AF,BF分別交拋物線G于點(diǎn)C,D,求四邊形ABCD面積的最小值.解析:()設(shè)切點(diǎn)Q(x0,x02),則拋物線G在點(diǎn)Q處的切線方程為:2x0x=4y+x02,由題知點(diǎn)P(0,-4)在該切線上x0=4.所以,所求切線方程為:y=2x-4;()以焦點(diǎn)F為極點(diǎn),y軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線G的極坐標(biāo)方程:=;A(1,),則C(2,+)1=,2=|AC|=1+2=+=;由=0,同理可得:|BD|=四邊形ABCD的面積=|AC|BD|=當(dāng)sin2=1,即=時,四邊形ABCD的面積取最小值8p2=32. 注:利用母題方法易得:過圓錐曲線=的極點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AC、BD,剛

7、四邊形ABCD面積的最小值=(e),最大值=(e1). 子題系列: 母題(18-21):極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(509) 1301 1.(2007年天津高考試題)設(shè)橢圓=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,A是橢圓上的一點(diǎn),AF2F1F2,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為|OF1|. ()證明:a=b;()設(shè)Q1、Q2為橢圓上的兩個動點(diǎn),OQ1OQ2,過原點(diǎn)O作直線Q1Q2的垂線OD,垂足為D,求點(diǎn)D的軌跡方程;2.(2009年北京高考試題)己知雙曲線C:=1(a0,b0)的離心率為,右準(zhǔn)線方程為x=.()求雙曲線C的方程; ()設(shè)直線l是圓O:x2+y2=2上的動點(diǎn)P(x0,y0)(x0y00)處

8、的切線,l與雙曲線C交于同的兩點(diǎn)A、B,證明:AOB的大小為定值.3.(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F為焦點(diǎn),且PQ為過F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求OPQ的面積.4.(2007年重慶高考試題)如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).()求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程;()若為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明:|FP|-|FP|cos2為定值,并求此定值. 5.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽試題)設(shè)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B為拋物線上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),且滿足=0.延長AF,BF分別交拋物

9、線于點(diǎn)C,D,求四邊形ABCD面積的最小值.6.(1989年上海高考試題)如圖,F是定點(diǎn),l是定直線,點(diǎn)F到l的距離為p(p0),點(diǎn)M在直線l上滑動,動點(diǎn)N在MF的延長線上,且滿足條件|FN|:|MN|=1:|MF|.()求動點(diǎn)N的軌跡; ()求|MN|的最小值.7.(1983年全國高考試題)如圖,己知橢圓長軸|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線交橢圓于兩點(diǎn)M、N,設(shè)F2F1M=(0),當(dāng)取什么值時,|MN|等于橢圓短軸的長？8.(2007年重慶高考試題)中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0),右準(zhǔn)線l的方程為:x=12.()求橢圓的方程;()在橢圓上任取三個不同的

10、點(diǎn)P1、P2、P3,使P1FP2=P2FP3=P3FP1,證明:+為定值,并求此定值.9.(2005年全國高考試題)P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2+上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn),己知與共線,與共線,且=0.求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值.10.(2007年全國高考試題)己知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別在F1、F2,過F1的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn),過F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn),且ACBD,垂足為P.()設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),證明:; ()求四邊形ABCD面積的最小值. 子題詳解: 1302 母題(18-21):極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(509) 1.解:()由AF2F1F2|AF2|=|A

11、F1|=2a-;又由|AF2|:|AF1|=1:32a-=3a=b;()由+=+=|OD|=點(diǎn)D的軌跡方程:x2+y2=.2.解:()雙曲線C:x2-=1;()設(shè)AOB=,由2(cos)2-(sin)2=22=;若|OA|2=,則|OB|2=;由AB邊上的高h(yuǎn)=|OA|OB|sin=|AB|OA|2|OB|2sin2=2(|OA|2+|OB|2-2|OA|OB|cos)sin2=2(+-)4cos2-3sin2(+)-=0對任意恒成立=900.3.解:如圖,以F為極點(diǎn)、Fx為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線的方程為=,若|PF|=,則|QF|=|PQ|=+=bsin=SOPQ=|OF|PQ|sin=

12、ab=a.4.解:()F(2,0),準(zhǔn)線l:x=-2;()如圖,以F為極點(diǎn)、Fx為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線的方程為=|AF|=,|BF|=;設(shè)AB的中點(diǎn)為H,則|FH|=(-)=|FP|=|FP|-|FP|cos2=|FP|(1-cos2)=2|FP|sin2=8.5.解:如圖,以F為極點(diǎn)、Fx為極軸建立極坐標(biāo)系,則拋物線的方程為=;若|AF|=,則|CF|=|AC|=,同理可得:|BD|=四邊形ABCD面積=|AC|BD|=32.6.解:()如圖,以F為極點(diǎn)、Fx為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)NFx=,|FN|=,則|FM|=;由|FN|:|MN|=1:|MF|FN|MF|=|MN|=+=;()|MN|=;當(dāng)0