2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)，選擇題只設(shè)6分的0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔，其它各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再嗇其他中間檔次。2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)檔次評分，可以5分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)解：由x2-2x-3>0x<-1或x&g

2、t;3，令f(x)=, u= x2-2x-3，故選A2、 若實數(shù)x, y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 解：B3、 函數(shù)f(x)=(A) 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) (B) 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解：A4、 直線橢圓相交于A，B兩點，該圓上點P，使得PAB面積等于3，這樣的點P共有(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個解：設(shè)P1(4cosa,3sina) (0<a<)，即點P1在第一象限的橢圓上，如圖，考慮四邊形P1AOB的面積S。S=6(

3、sina+cosa)=xyOABP1 Smax=6 SOAB=6 <3 點P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個點P，故選B5、 已知兩個實數(shù)集合A=a1, a2, , a100與B=b1, b2, , b50，若從A到B的映射f使得B中的每一個元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有(A) (B) (C) (D) 解：不妨設(shè)b1<b2<<b50，將A中元素a1, a2, , a100按順序分為非空的50組，定義映射f：AB，使得第i組的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50)，易知這樣的f滿足題設(shè)要求，每個這樣的分組都一

4、一對應(yīng)滿足條件的映射，于是滿足題設(shè)要求的映射f的個數(shù)與A按足碼順序分為50組的分法數(shù)相等，而A的分法數(shù)為，則這樣的映射共有，故選D。6、 由曲線x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的點(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，

5、設(shè)截面與原點距離為|y|，則所得截面面積S1=p(42-4|y|) , S2=p(42-y2)-p4-(2-|y|)2=p(42-4|y|) S1=S2由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等。故遠(yuǎn)C。二、 填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、 已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足|Z1|=2, |Z2|=3，若它們所對應(yīng)向量的夾角為60°，則= 。解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =P9P1P2P3P4P5P6P7P8P108、 將二項式的展開式按x的降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項共有 個。解：不難求出前三項的系數(shù)分別是，當(dāng)n=8時， (r=0

6、,1,2,，8) r=0,4,8,即有3個9、 如圖，點P1,P2,P10分別是四面體點或棱的中點，那么在同一平面上的四點組(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k10)有 個。解：首先，在每個側(cè)面上除P1點外尚有五個點，其中任意三點組添加點P1后組成的四點組都在同一個平面，這樣三點組有個，三個側(cè)面共有3個。其次，含P1的每條棱上三點組添加底面與它異面的那條棱上的中點組成的四點組也在一個平面上，這樣的四點組有3個共有3333個10、 已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5 f(x+1)f(x)+1 若g(x)=f(x)+1

7、-x，則g(2002)= 。解：由g(x)=f(x)+1-x得f(x)=g(x)+ x -1 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x) g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1)g(x) g(x+1)=g(x) T=1 g(1)=1 g(2002)=111、 若，則|x|-|y|的最小值是 。解：由對稱性只考慮y0，因為x>0，所以只須求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 當(dāng)時，u=，故|x|

8、-|y|的最小值是12、 使不等式sin2x+acosx+a21+cosx對一切xR恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是 。解：sin2x+acosx+a21+cosxa<0,當(dāng)cosx=1時，函數(shù)有最大值a2+a-20a-2或a1a<0負(fù)數(shù)a的取值范圍是(-,2三、 解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、 已知點A(0,2)和拋物線y=x2+4上兩點B、C使得ABBC，求點C的縱坐標(biāo)的取值范圍。解：設(shè)B點坐標(biāo)為B(y12-4,y1)，C點坐標(biāo)為C(y2-4,y) 顯然y12-40，故 5分 ABBC KBC= -(y1+2) (2+y1)(y+y1)+1=0 y12+(2+y)y1+

9、(2y+1)=0 10分 y1R 0y0或y4 15分 當(dāng)y=0時，點B的坐標(biāo)為(-3，-1)；當(dāng)y=4時，點B的坐標(biāo)為(5，-3)，均滿足題意。 故點C的縱坐標(biāo)的取值范圍為(-,04,+)14、 如圖，有一列曲線P0, P1, P2, ，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進(jìn)行如下操作得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k=0,1,2,3,)，記Sn為曲線Pk所圍成圖形面積。求數(shù)列Sn的通項公式；求。P0P1P2解：對P0進(jìn)行操作，容易看出P0的每條邊變成P1的4條邊，故P1的邊數(shù)為3×4；同樣，

10、對P1進(jìn)行操作，P1的每條邊變成P2的4條邊，故P2的邊數(shù)為3×42，從而不難得到Pn的邊數(shù)為3×4n 5分 已知P0的面積為S0=1，比較P1與P0，容易看出P1在P0的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而P0有3條邊，故S1=S0+3×=1+ 再比較P2與P1，容易看出P2在P1的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為×，而P1有3×4條邊，故S2=S1+3×4×=1+ 類似地有：S3=S2+3×42×=1+ 5分 Sn= =1+ = () 10分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明()式 當(dāng)n=1時，由

11、上面已知()式成立， 假設(shè)當(dāng)n=k時，有Sk= 當(dāng)n=k+1時，易知第k+1次操作后，比較Pk+1與Pk，Pk+1在Pk的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而Pk有3×4k條邊。故Sk+1=Sk+3×4k×= 綜上所述，對任何nN，()式成立。 15、 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR,a0)滿足條件： 當(dāng)xR時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x； 當(dāng)x(0,2)時，f(x) f(x)在R上的最小值為0。求最大值m(m>1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關(guān)于x=

12、-1對稱 b=2a由知當(dāng)x= -1時,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 5分假設(shè)存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1時，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0對固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m 10分 m=9 15分當(dāng)t= -4時，對任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值為9。 20分另解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關(guān)

13、于x= -1對稱 b=2a由知當(dāng)x= -1時,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 5分 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20當(dāng)x1,m時，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)20當(dāng)t-4,0時，恒有解 10分令t= -4得，m2-10m+901m9 15分即當(dāng)t= -4時，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9

14、20分2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 評閱試卷時，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分；2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，可以10分為一個檔次，不要再增加其它中間檔次。一、（本題滿分50分）BACEFOHKMN 如圖，在ABC中，A=60°，AB>AC，點O是外心，兩條高BE、CF交于H點，點M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN，求的值。解：在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，由三角形外心的性質(zhì)知 BOC=2A=120°由三角形垂心的性質(zhì)知 BHC=

15、180°-A=120° BOC=BHC B、C、HO四點共圓 20分 OBH=OCH OB=OC BK=CH BOKCOH 30分 BOK=BOC=120°，OKH=OHK=30° 觀察OKH KH=OH 40分 又BM=CN，BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH=OH = 50分二、（本題滿分50分） 實數(shù)a,b,c和正數(shù)l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個實根x1,x2,x3，且滿足 x2-x1=l, x3>(x1+x2)求解： f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1

16、,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的兩個根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)= l23x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3>(x1+x2) () 且 4a2-12b-3l20 () 10分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20分 f(x3)=0 () 由()得 記p=，由() 和()可知p且 令 y=，則y0且 30分 = = 0 40分 取a=2,b=2,c=0,l=2，則f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 顯然假設(shè)條件成立，且 綜上所述的最大值是 50分三、（本題滿分50分） 在世界杯足球賽前，F(xiàn)國教練為了考察A1,A2,A7

17、這七名，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場90分鐘)都上場，假設(shè)在比賽的任何時刻，這些中有且僅有一人在場上，并且A1,A2,A3,A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除，如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊員上場的總時間計算，共有多少種不同的情況。解：設(shè)第i名隊員上場的時間為xi分鐘(i=1,2,3,7)，問題即求不定方程 x1+x2+x7=270 在條件7|xi (1i4)且13|xj (5j7)下的正整數(shù)解的級數(shù)。 若(x1,x2,x7)是滿足條件的一組正整數(shù)解，則應(yīng)有 =7m =13n m,nN m,n是不定方程 7m+13n=270 在條件m4且n3下的一組正整數(shù)解。 10分 7(

18、m-4)+13(n-3)=203 令 m=m -4 n=n -3 有 7m+13n=270 求滿足條件m4且n3的正整數(shù)解等價于求的非負(fù)整數(shù)解。 易觀察到 7·2+13·(-1)=1 7·406+13·(-203)=203 即 m0=406 n0= -203是的整數(shù)解 的整數(shù)通解為 m=406 -13k n= -203+7k kZ 令 m0 n0,解得 29k31 20分 取k=29,30,31得到滿足條件的三組非負(fù)整數(shù)解： 從而得到滿足條件的三組正整數(shù)解： 30分 1)在m=33,n=3時，顯然x5=x6=x7=13僅有一種可能， 又設(shè)xi=7yi (i=1,2,3,4)，于是由不定方程y1+y2+y3+y4=33有組正整數(shù)解。 此時有滿