韋達(dá)定理在解析幾何中的應(yīng)用

1、韋達(dá)定理在解析幾何中的應(yīng)用陳歷強(qiáng)一，求弦長 在有關(guān)解析幾何的高考題型中不乏弦長問題以及直線與圓錐曲線相交的問題。求直線與圓錐曲線相交所截得的弦長，可以聯(lián)立它們的方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出，但計算比較麻煩。能否另擗捷徑呢？能！仔細(xì)觀察弦長公式：AB=x1-x2=或AB=y1-y2 = ， 立刻發(fā)現(xiàn)里面藏著韋達(dá)定理（其中x1、x2分別表示弦的兩個端點(diǎn)的橫坐標(biāo)，y1、y2分別表示弦的兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)）。請看下面的例子：例1,已知直線 L 的斜率為2，且過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，求直線 L 被拋物線截得的弦長。解：易知直線的方程為y=2(x-). 聯(lián)立方程組y2=2px

2、和y=2(x-) 消去x得y2-py-p2=0.=5p2>0,直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)。由韋達(dá)定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦長d=例2,直線y=kx-2交橢圓x2+4y2=80交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則PQ等于_.分析：聯(lián)立方程組y=kx-2和x2+4y2=80消去y得(4k2+1)x2-16kx-64=0設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 由韋達(dá)定理得x1+x2= = 4得k=.x1x2= -32PQ=6 .練習(xí)1：過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (

3、A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同)二，判定曲線交點(diǎn)的個數(shù)例3,曲線 y = ax2(a>0)與曲線 y2+3= x2+4y交點(diǎn)的個數(shù)應(yīng)是_個.分析：聯(lián)立方程組y=ax2(a>0)與y2+3=x2+4y.消去x得y2-(1/a+4)y+3=0(a>0)因?yàn)樗?方程有兩個不等正實(shí)根。由y=ax2 得出，有四個不等的x解，故二曲線的交點(diǎn)有4個。三，求弦中點(diǎn)坐標(biāo)例4，已知直線 x-y=2與拋物線 y2= 4x交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.分析：聯(lián)立方程組 x-y = 2和y2= 4x.消去x 得 y2-4y-8=0由韋達(dá)定理得y1 + y2

4、= 4,線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y= , 橫坐標(biāo)x= y+2= 4. 故線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）.練習(xí)2：求直線y=和圓x2+y2=16相交所成的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。四，求曲線的方程例5，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,被直線 y=2x+1截得的弦長為.求此拋物線方程。解：設(shè)拋物線方程為 y2=2px, 聯(lián)立方程組y2=2px 和 y=2x+1消去y 得4x2+2(2-p)x+1=0.又由韋達(dá)定理得x1+x2= x1x2=.于是有解得 p= -2 或 p=6. 故拋物線方程為 y2= -4x 或 y2=12x.例6,拋物線 y= -.與過點(diǎn)M(0,-1)的直線L相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直

5、線OA和OB的斜率之和為1，求直線L的方程.解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線L的方程為y=kx-1.聯(lián)立方程組y=kx-1和y=-消去y 得 x2+2kx-2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=-2k, x1x2= -2. 又 則直線 L 的方程為 y = x-1.練習(xí)3：直線L在雙曲線2x2-3y2=6上截得的弦長為4，其斜率為2，求直線L的方程.練習(xí)4:求m的值使圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0的兩個交點(diǎn)A、B滿足OAOB.練習(xí)5:一條直線與拋物線y2=x及y軸分別交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x3,y3).求證：_練習(xí)1提示：易知拋物線的焦點(diǎn)

6、為（1，0），設(shè)過焦點(diǎn)的直線為y=k(x-1)(由x1+x2=6知此直線不平行于y軸，斜率k存在)聯(lián)立方程組y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 由韋達(dá)定理得x1+x2 =2(k2+2) /k2=6,解得k2=1又x1x2=1.從而可求|AB|=8.練習(xí)2提示：聯(lián)立方程組y=和x2+y2=16,消去y得方程5x2-10x-39=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=2練習(xí)3提示：設(shè)直線L的方程為y=2x+m. 聯(lián)立方程組y=2x+m和2x2-3y2=6消去y得10x2+12mx+3(m2+2)=0.令直線L與雙曲線的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 由韋達(dá)定理