高二數(shù)學(xué)第九章三垂線定理課件 新課標(biāo) 人教版

1、三垂線定理三垂線定理AaOP 已知已知 PA、PO分別分別是平面是平面 的垂線、斜的垂線、斜線，線，AO是是PO在平面在平面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求證： aPO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP證明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a三垂線定理三垂線定理： 在平面在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。么，它就和這條斜線

2、垂直。AaOP證明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一點(diǎn)，外一點(diǎn)， PA平面平面ABC ，AC BC， 求證：求證： PC BC證明：證明： P 是平面是平面ABC 外一點(diǎn)外一點(diǎn) PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BCM例2 直接利用三垂線定理證明下列各題：(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：POBD，PCBD(3) 在正方體AC1中，求證：A1CB1

3、D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：POBD，PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點(diǎn) AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中點(diǎn)， 求證：BCAMBCAM證明: PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方體AC1中

4、，求證：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方體AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1證明： C B A1B1 C1A D D1同理可證， A1CB1D1由三垂線定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧解題回顧，怎么找？三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面 內(nèi)的射影和平面內(nèi)的 一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作為已知條件解題回顧解題回顧PA

5、OaPAOabcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：相交直線相交直線異面直線異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧解題回顧直線a 在一定要在平面內(nèi)，如果 a 不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOa例如：當(dāng) b 時(shí)， bOA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但但 b不垂直于OP 解題回顧解題回顧若a是平面的斜線，直線b垂直于 a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影， 則 ab （ ）若a是平面的斜線，直線b 且b垂直于a在另一平面內(nèi)的射 影則ab （ ）若 a是平面的斜線，

6、平面內(nèi) 的直線b垂直于a在平面內(nèi)的射 影，則 ab （ ）練習(xí)：判斷下列命題的真假：面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直線A1C 斜線 a直線AB 垂線 b面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bPAOal已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影，a , a AO，l 平行于 a 。求證： l 垂直于PO若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 abPAOa三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？線射垂直PAOa線面垂直線斜垂直PAOa直 線 和平面

7、垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求證：a AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果

8、和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線射垂直 線斜垂直線斜垂直 定 理逆定理例3 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：BAO=CAO分析： 要證 BAO=CAO只須證OE=OF, OEAB,OFACP C B A O F E ?證明： PO OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEAB OEAB同理可得OFAC結(jié)論成立例4 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD求證：ADBCDOBC，于是ADBC.證明：作AO平面BCD于點(diǎn)O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1. 在正方體AC1中，E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn)， F在AB上，且C1EEF，則EF與GD所成的角的大小為（ ）(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG練習(xí)與作業(yè)2.已知 PA、