蝴蝶定理小證

1、感謝各位數(shù)學大蝦美麗的蝴蝶定理已知圓O，PQ是一條弦，設M為弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。 設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。證明：過圓心O作AD與BC垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM。SM。MT。AMDCMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， DS/BT=DM/BM又D=B MSDMTB，MSD=MTB MSX=MTY； 又O，S，X，M與O，T。Y。M均是四點共圓， XOM=YOM OMPQ XM=YM北京高考題，橢圓的長軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（o，r）（br0）。 （）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率； （）直線y

2、=k1x交橢圓于兩點（x1,y1）,D(x2，y2)（y2）；直線y=k2x交橢圓于兩點（x3，y3），（x4，y4）（y）。 求證：kxx2(x1+x2)=k2x3x4(x3+x4) （）對于（）中的C，D，G，H，設CH交X軸于點P，GD交X軸于點Q。 求證： | OP | = | OQ |。 （證明過程不考慮CH或GD垂直于X軸的情形）（）解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1焦點坐標為（a2-b2）1/2，0）（）證明將直線CD的方程y=kx入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理，得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根據(jù)

3、韋達定理，得x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r 將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r 由， 得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以結論成立。（）證明：設點P（p，o），點Q（q，o）。由C，P，H共線，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D，Q，G共線，同理可得q=(k1-k2)x2x

4、3/(k1x2-k2x3) （*）由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。（*）設： k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)為式，兩邊同取倒數(shù)，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 式，兩邊同取倒數(shù)，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/

5、x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 將兩邊同乘以k1k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4可見與相同小學幾何 梯形蝴蝶定理公式梯形蝴蝶定理 如圖，在梯形中，存在以下關系：(1)相似圖形，面積比等于對應邊長比的平方S1：S2=a2/b2（2）S1S2S3S4= a2b2abab ；（3）S3=S4 ；（4）S1S2=S3S4(由S1/S3=S4/S2推導出)其它搜集（僅供參考）推廣二次曲線S的三條弦AB,CD,EF交于一點M,ED交AB于Q,CF交AB于P, 則1/QM-1/PM=1/AM-1/BM. 以M為原點，AB為x軸，S:Ax2+Bxy+Cy2+

6、Dx+Ey+F=0, CD:y=k1x,EF:Y=k2x,過C,D,E,F四點的二次曲線系方程： S+t(y-k1x)(y-k2x)=0. 令y=0,得(A+tk1k2)x2+Dx+F=0,其根為曲線與橫軸交點的橫坐標， 則Fx2+Dx+A+tk1k2=0根為橫坐標的倒數(shù)，其和=-D/F為定值。 即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM). 得證。如圖:Area(ABC)表示三角形ABC的面積 根據(jù)三角形面積公式：Area(ABC)=0.5*a*b*sinC， 如果兩個三角形中有一個角相等，那么他們的面積比， 就是這個角的兩個夾邊的比。 1:Area(XAM)/Area(MCY)=A

7、XAM/CMCY 2:Area(CMY)/Area(DMX)=CMMY/DMMX 3:Area(XDM)/Area(MBY)=DXDM/BMBY 4:Area(BMY)/Area(AMX)=BMMY/AMMX 現(xiàn)在，四個比例式相乘，等號左邊是1。于是有： AXDXMY2/CYBYMX2=1, 即 (1)AXDX/CYBY=MX2/MY2. 點X的對于圓的冪： AXDX=PXQX=(MP-MX)(MQ+MX) 同理： CYBY=QYPY=(MQ-MY)(MP+MY). 帶入1式，得： (2)(MP-MX)(MQ+MX)/MX2=(MQ-MY)(MP+MY)/MY2. 因為MP=MQ,我們得到： MP2/MX2-1=MP2/MY2-1, 即MX=MY.命題1蝴蝶定理對于橢圓、雙曲線、拋物線都成立 特別地，當二次曲線退化成兩條直線時，有 命題2l1、l2是兩條相交或平行的直線，點P、Q分別在l1、l2上，M為PQ中點，過M任作兩直線AB、CD與l1、l2分別交于A、B，C、D連結AC、BD，交直線PQ于S、T兩點，則PS=QT(或QS=PT) 在射影變換下，M是PQ中點的性質不再保持，為了使蝴蝶定理具有純粹的射影形式，可以對其適當改造 本定理的實質在于：PM=QM蘊含PS=QT(或MS=MT)這等價于(P，