附錄A科斯定理的數(shù)學(xué)證明

1、附錄A：科斯定理的數(shù)學(xué)證明 李仁君：產(chǎn)權(quán)界定與資源配置，載于南開經(jīng)濟(jì)研究，1999年第1期科斯第一定理的數(shù)學(xué)證明：為便于分析，先做如下設(shè)定：令，分別表示農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的成本函數(shù)，其中分別表示谷物和牛的產(chǎn)量。在農(nóng)夫的成本函數(shù)中包含了養(yǎng)牛者的變量，這說明存在生產(chǎn)的外部性即牛群規(guī)模擴(kuò)大會(huì)損害谷物的事實(shí)，另外用分別表示兩種產(chǎn)出的價(jià)格。這樣農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的利潤函數(shù)便可以表示為： 下面分別看養(yǎng)牛者對(duì)牛給農(nóng)夫造成的損失承擔(dān)和不承擔(dān)責(zé)任時(shí)的資源配置情況。（1）養(yǎng)牛者對(duì)牛給農(nóng)夫造成的損失承擔(dān)責(zé)任情況時(shí)的情況。在此情況下，雖然牛群可以損害谷物，但養(yǎng)牛者必須向農(nóng)夫支付賠償。我們用線性齊次函數(shù)表示牛群規(guī)模在 ()時(shí)相應(yīng)的

2、損害價(jià)值。如果按價(jià)賠償，那么賠償費(fèi)就成為養(yǎng)牛者的一部分成本，對(duì)農(nóng)夫則表現(xiàn)為收益。這樣，農(nóng)夫和養(yǎng)牛者新的利潤函數(shù)就變?yōu)椋?農(nóng)夫和養(yǎng)牛者通過市場交易的結(jié)果就可表示為求解如下數(shù)學(xué)模型： (3.1) (3.1)式的一階條件為： 二階條件總是滿足的，整理以上得到： (3.2) (3.3)由(3.2)式和(3.3)式?jīng)Q定了產(chǎn)值最大化的資源配置結(jié)果。（3.2）式反映了農(nóng)夫耕種谷物的邊際收益等于其邊際成本，這是下符合利潤最大化的原則。（3.3）式也反映了這一原則。（3.3）式等號(hào)右邊的邊際成本包括兩部分，其中是養(yǎng)牛者給農(nóng)夫帶來的成本，即養(yǎng)牛者每增加一頭牛的給農(nóng)夫帶來的谷物損害價(jià)值（邊際外部成本）；是養(yǎng)牛者自身

3、的邊際（內(nèi)部）成本。可見，在養(yǎng)牛者對(duì)損害負(fù)有責(zé)任的情況下他只能將牛群規(guī)模確定在其邊際收益等于邊際內(nèi)外部成本之和的條件下，才能使產(chǎn)值最大化。（2）養(yǎng)牛者對(duì)牛給農(nóng)夫造成的損失不承擔(dān)責(zé)任時(shí)的情況。在此情況下，養(yǎng)牛者擁有牛群損害谷物的權(quán)力，農(nóng)夫想要避免損害，就必須向養(yǎng)牛者支付賠償，我們用線性齊次函數(shù)表示養(yǎng)牛者把牛群規(guī)模維持在時(shí)從農(nóng)夫那里得到的賠償，那么農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的利潤函數(shù)分別是： 農(nóng)夫和養(yǎng)牛者通過市場交易的結(jié)果可表示為： (3.4)(3.4)式的一階條件為： 二階條件總是滿足的，整理上式得到： (3.5) (3.6)比較(3.5)式和(3.6)式與(3.2)式和(3.1) (3.3)式可知，二者完全

4、相同。這說明了在對(duì)損害負(fù)有責(zé)任的產(chǎn)權(quán)辦界定下，產(chǎn)量最大化的資源配置結(jié)果完全相同：產(chǎn)出。這再次證明了科斯第一定理的結(jié)論?？扑沟诙ɡ淼臄?shù)理證明：由于下的交易費(fèi)用的存在，農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的成本狀況就會(huì)有新的變化。設(shè)是交易費(fèi)用函數(shù)，這也是一個(gè)線性齊次函數(shù)，并且進(jìn)一步假定交易費(fèi)用由賠償者承擔(dān)。（1）養(yǎng)牛者對(duì)牛農(nóng)夫造成的損失承擔(dān)責(zé)任的情況。在這種情況下，養(yǎng)牛者不僅要賠償損害，而且還要承擔(dān)交易費(fèi)用。所以，農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的利潤函數(shù)分別為： 這時(shí)農(nóng)夫和養(yǎng)牛者通過市場交易的結(jié)果就可以表示為求解如下數(shù)學(xué)模型： (3.7)(3.7)式的一階條件為 二階條件總是滿足的，整理以上得到： (3.8) (3.9)（2）養(yǎng)牛者對(duì)牛給農(nóng)夫造成的損失不承擔(dān)責(zé)任的情況。在這種情況下，由農(nóng)夫進(jìn)行賠償并承擔(dān)交易費(fèi)用。這時(shí)，農(nóng)夫和養(yǎng)牛者的利潤函數(shù)變?yōu)椋?農(nóng)夫養(yǎng)牛者通過市場交易的結(jié)果可表示為求解如下數(shù)學(xué)模型： (3.10)(3.10)式的一階條件為： 二階條件總是滿足的，整理上式得到： (3.11) (3.12)現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)，在交易費(fèi)用大于零的情況下，兩種產(chǎn)權(quán)界定方式所產(chǎn)生的資源最優(yōu)配置的條件已不再相同，主要體現(xiàn)在(3.9)式與(3.12)式的不同上。由于農(nóng)夫和養(yǎng)牛者之間信息的不對(duì)等不完全，他們交易費(fèi)用的分布情況也是不相同的，由線性齊次假定，所以，兩種產(chǎn)權(quán)界