期權(quán)市場是世界上最具有活力和變化的市場之一

1、 期權(quán)市場是世界上最具有活力和變化的市場之一，盈利和避險的需要不斷推動新工具的產(chǎn)生。 通過在常規(guī)期權(quán)的基礎(chǔ)上加入了條件約束或者增加新的變量等方式，形成比先前所學(xué)習(xí)的常規(guī)期權(quán)更復(fù)雜的衍生證券，統(tǒng)稱為奇異期權(quán)。奇異期權(quán)是世界上最具生命力的金融工具之一，其內(nèi)涵和外延無時不處在變化和拓展中。由于奇異期權(quán)的多樣性，要對它們進(jìn)行完全的描述是不可能的。本章我們將介紹其中一些常見的新型期權(quán)，分析其定價和保值機(jī)制。這些思路和方法將有助于我們理解市場中不斷創(chuàng)新的期權(quán)工具。 知識點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.1 奇異期權(quán)概述 9.1.1 奇異期權(quán)的分類特征（1）分拆與組合 9.1.5 奇異期權(quán)的分類特征（5）維數(shù) 9.2 障

2、礙期權(quán) 在布萊克舒爾斯偏微分方程框架中為障礙期權(quán)定價 了解 了解 9.1.2 奇異期權(quán)的分類特征（2）弱路徑依賴 9.1.3 奇異期權(quán)的分類特征（3）強(qiáng)路徑依賴 9.1.4 奇異期權(quán)的分類特征（4）時間依賴 9.1.6 奇異期權(quán)的分類特征（6）階數(shù) 9.2.1 障礙期權(quán)的分類 9.2.2 障礙期權(quán)的性質(zhì) 9.2.4 數(shù)值定價方法 9.2.3 了解 了解 了解 了解 了解 熟悉 熟悉 熟悉 知識點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.2.5 障礙期權(quán)的套期保值 9.3 亞式期權(quán) 9.3.1 亞式期權(quán)的種類 9.3.2 9.3.3 亞式期權(quán)定價公式的具體方法 9.4 回溯期權(quán) 9.4.1 在布萊克舒爾斯模型框架下的回

3、溯期權(quán) 9.4.2 回溯期權(quán)的定價公式 9.4.3 回溯期權(quán)的數(shù)值定價方法 9.5 其他奇異期權(quán) 9.5.1 兩值期權(quán) 9.5.2 打包期權(quán) 強(qiáng)勢路徑依賴期權(quán)定價的基本思想及其在亞式期權(quán)中的應(yīng)用 熟悉 了解 熟悉 熟悉 熟悉 熟悉 熟悉 了解 了解 知識點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.5.3 非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán) 9.5.4 遠(yuǎn)期開始期權(quán) 9.5.5 吶喊期權(quán) 9.5.6 復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán) 9.5.7 多資產(chǎn)期權(quán) 了解 了解 了解 了解 了解 奇異期權(quán)：比常規(guī)期權(quán)(標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式期權(quán) )更復(fù)雜的衍生證券。比如執(zhí)行價格不是一個確定的數(shù)，而是一段時間內(nèi)的平均資產(chǎn)價格的期 權(quán)，或是在期權(quán)有效期內(nèi)如果資產(chǎn)價格超過

4、一定界限，期權(quán)就作 廢 。Why am I called Exotic? 分拆和組合是金融工程的核心之一。最基本的奇異期權(quán)是對常規(guī)期權(quán)和其他一些金融資產(chǎn)的分拆和組合，從而得到我們所需要的回報。通過對奇異期權(quán)到期時回報的數(shù)學(xué)整理，常?？梢园哑跈?quán)分 成常規(guī)期權(quán)、簡單期權(quán)和其他金融資產(chǎn)的組合，從而大大簡化期權(quán)定價過程。 導(dǎo)致弱式路徑依賴的第二個最常見的原因是 。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格在事先確定的時間內(nèi)觸及某個預(yù)先確定的障礙水平時，障礙期權(quán)（敲入或敲出期權(quán)）就可能被敲出（作廢）或是敲入（開始生效）。這種期權(quán)顯然是路徑依賴的，但是因?yàn)槲覀內(nèi)匀恢恍枰庖粋€以資產(chǎn)價格和時間為變量的偏微分方程，它仍然只是弱式路徑依

5、賴的。 如果期權(quán)價值會受到路徑變量的影響，但是在期權(quán)定價的 偏微分方程中并不需要比與之類似的常規(guī)歐式期權(quán)增加新的 獨(dú)立路徑依賴變量，就屬于弱式路徑依賴性質(zhì)的期權(quán)。 強(qiáng)路徑依賴性質(zhì)表明： 期權(quán)的損益除了取決于標(biāo)的資產(chǎn)的目前價格和時間之外，還取決于資產(chǎn)價格路徑的一些特征。期權(quán)價值是原先的期權(quán)價格、時間和至少再多一個獨(dú)立變量的函數(shù)，相應(yīng)的在期權(quán)價值偏微分方程中也將增加期權(quán)價值對這些獨(dú)立變量的導(dǎo)數(shù)。 奇異期權(quán)的一種變化形式是在以上所述的所有特征中加入時間依賴（Time Dependence）的特性 比如說美式期權(quán)只能在特定的一段時間之內(nèi)提前執(zhí)行，如百慕 大期權(quán)； 敲出期權(quán)的障礙位置也可以隨著時間而不同

6、，每個月都可以設(shè) 定一個比上個月更高的水平。這些合約都可以稱作是時間上非均勻的（Time-inhomogeneous）。這些變化使得期權(quán)合約更加豐富，也更符合客戶和市場的特殊需求。 2.弱式路徑依賴期權(quán)合約和那些除了不是路徑依賴之外其他條件都與之完全相同的期權(quán)合約的維數(shù)相同。維數(shù)（Dimensions）指的是基本的獨(dú)立變量的個數(shù)。二維的形式：1.常規(guī)期權(quán)有兩個獨(dú)立變量 S 和 t ，因此是二維的。 對于這些合約來說，資產(chǎn)價格這個變量的作用和時間變量的作用是彼此不同的，因?yàn)樵诓既R克舒爾斯方程中，包含了對資產(chǎn)價格的二階偏導(dǎo)而只有對時間的一階偏導(dǎo)。1.有其他隨機(jī)源的時候， 比如期權(quán)中有多個標(biāo)的資產(chǎn)。

7、假設(shè)有一個期權(quán)，要取兩種股票價格的最大值。這兩種標(biāo)的資產(chǎn)都是隨機(jī)的，每種都有自己的波動率，它們之間還有相關(guān)關(guān)系。在布萊克舒爾斯方程中，我們將會出現(xiàn)對每種資產(chǎn)價格的二階偏導(dǎo)，我們把這叫做存在 和 的擴(kuò)散過程，這就出現(xiàn)了三維問題。1S2S 多維的形式：2.強(qiáng)式路徑依賴的合約。 比如一種新的獨(dú)立變量是路徑依賴量（比如亞式期權(quán)中的價格平均數(shù)）的一個衡量，期權(quán)價值是依賴于這個量的。這樣，期權(quán)價格方程中需要再增加新的變量，但這時期權(quán)價格對這個新變量的導(dǎo)數(shù)只是一階的。這樣這個新的變量看起來更像是一個象時間一樣的變量，這與多標(biāo)的資產(chǎn)的情況顯然是不同的。1t2t 奇異期權(quán)最后的一個分類特征是期權(quán)的階數(shù)，但這不僅

8、是一種分類特征，還引入了建模的問題。 常規(guī)期權(quán)是一階的，其損益僅直接取決于標(biāo)的資產(chǎn)價格 其他的如路徑依賴期權(quán)，如果路徑變量直接影響期權(quán)價格的話，它也是一階的。 高階指的是那些期權(quán)損益和價值取決于另一個（些）期權(quán)的價值。最典型的二階期權(quán)的例子是復(fù)合期權(quán)。比如一個看漲期權(quán)給予持有者購買一個看跌期權(quán)的權(quán)利。復(fù)合期權(quán)在時刻 到期，而作為其自變量的那個標(biāo)的期權(quán)則在更遲的一個時刻 到期。 從實(shí)際的角度來看，高階期權(quán)的存在提出了一些重要的建模問題：復(fù)合期權(quán)的損益取決于標(biāo)的期權(quán)的市場價值而非理論價值。 我們對兩階期權(quán)都要使用理論模型，這時高階期權(quán)對模型正 確與否就非常敏感，需要很小心地處理。 障礙期權(quán)（Bar

9、rier Options）是指期權(quán)的回報（Payoff）依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價格在一段特定時間內(nèi)是否達(dá)到了某個特定的水平（臨界值），這個臨界值就叫做“障礙”水平。通常有許多種不同的障礙期權(quán)在場外市場進(jìn)行交易。1.敲出障礙期權(quán)（Knock-out Options）：當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達(dá)到一個特定的障礙水平時，該期權(quán)作廢（即被“敲出”）；如果在規(guī)定時間內(nèi)資產(chǎn)價格并未觸及障礙水平，則仍然是一個常規(guī)期權(quán)。2.敲入障礙期權(quán)（Knock-in Options）：正好與敲出期權(quán)相反，只有資產(chǎn)價格在規(guī)定時間內(nèi)達(dá)到障礙水平，該期權(quán)才得以存在（即“敲入”），其回報與相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)相同；反之該期權(quán)作廢。在此基礎(chǔ)之上，我們可

10、以通過考察障礙水平與標(biāo)的資產(chǎn)初始價格的相對位置，進(jìn)一步為障礙期權(quán)分類： 1.如果障礙水平高于初始價格，則我們把它叫做向上期權(quán)。 2.如果障礙水平低于初始價格，則我們把它叫做向下期權(quán)。將以上分類進(jìn)行組合，我們可以得到諸如向下敲出看漲期權(quán)（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期權(quán)（Down-and-in Put）等組合形式。根據(jù)市場需求而變形的特殊交易條款 障礙水平的重新設(shè)定障礙水平的時間依賴性外部障礙 期權(quán)提前執(zhí)行的可能性多次觸及 障礙水平特殊交易條款部分部分折扣折扣雙重障礙 障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報，以及它們的價值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。 障礙期權(quán)是屬于弱式路

11、徑依賴。我們只需要知道這個障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于路徑的其他任何信息。關(guān)于路徑的信息不會成為我們定價模型中的一個新增獨(dú)立變量，如果障礙水平?jīng)]有被觸發(fā)，障礙期權(quán)到期時的回報仍然和常規(guī)期權(quán)是相同的。 障礙期權(quán)通常比常規(guī)期權(quán)便宜。障礙距離資產(chǎn)價格現(xiàn)價越近，期權(quán)被敲出的可能性越大，合約就越便宜。相反，一個敲入期權(quán)將會被某個相信障礙水平將會實(shí)現(xiàn)的人購買，這時期權(quán)同樣也會比相 應(yīng)的普通期權(quán)便宜。購買者可以使用它們來為某些非常特定的具有類似性質(zhì)的現(xiàn)金流保值。 定價基本原理障礙期權(quán)是弱式路徑依賴的，這使得我們?nèi)匀豢梢灾苯討?yīng)用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價偏微分方程來為其定價。在障礙條件被觸發(fā)之前，期權(quán)價值仍然滿

12、足 222212fffrSSrftSS 障礙條件則反映在相應(yīng)的邊界條件上。 1. 敲出障礙 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達(dá)到敲出障礙水平時，期權(quán)合約作廢，因此邊界條件為 當(dāng) t T 時，f (H, t) = 0 其中 H 可以是向上或向下的障礙水平。 對于一個向上敲出障礙期權(quán)來說，我們要在 的條件下解出布萊克-舒爾斯偏微分方程，同時考慮資產(chǎn)價格達(dá)到 H 時的邊界條件（9.1），最后如果障礙水平?jīng)]有達(dá)到，還需要考慮回報。如一個看漲期權(quán)，我們有： 這一邊界條件。 如果是一個向下敲出障礙期權(quán)，則將范圍改為 ，考慮相應(yīng)的兩個邊界條件，解出偏微分方程。 注意如果合約中有部分折扣規(guī)定的話，邊界條件當(dāng) t T 時，f (

13、H, t) = 0 可以修改為： f (H, t) = R 其中R為折扣數(shù) 。0SH,max,0f S TSXHS 2. 敲入障礙敲入期權(quán)只有在障礙水平被觸及的時候才有價值，因此，如果沒有到達(dá)障礙水平，則 對于敲入期權(quán)來說，其價值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個向上敲入期權(quán)，那么在資產(chǎn)價格到達(dá)上限的時候，合約的價值 就等于一個相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)價值 。當(dāng) 時， 。對于敲入期權(quán)來說，當(dāng)障礙被觸及時，我們得到的是衍生工具本身，因此一個敲入期權(quán)實(shí)際上是一個二階合約。在解敲入期權(quán)價值的時候，我們必須先得到常規(guī)期權(quán)的價值，因此要花解敲出期權(quán)兩倍的 時間，才能得到敲入期權(quán)的價值。,0f S T ,f H t,

14、bfH ttT,f H t,bfH t 3. 敲入和敲出障礙期權(quán)的關(guān)系 在不考慮折扣R的情況下，具有相同的執(zhí)行價格、到期時間和障礙水平的敲入期權(quán)和敲出期權(quán)具有如下的關(guān)系： 這是因?yàn)闊o論資產(chǎn)價格是否觸及障礙水平，敲入期權(quán)和敲出期權(quán)的組合總能得到與常規(guī)期權(quán)相同的回報。這個關(guān)系在障礙期權(quán)定價中很有意義，只需要求出其中一個障礙期權(quán)，即可得到另一個的價值。 障礙期權(quán)的具體定價公式 向下敲出看漲期權(quán)向下敲入看漲期權(quán) 2212,rbbSHf S tfS tftSH2212,rbSHf S tftSH障礙期權(quán)定價的擴(kuò)展波動率的選擇標(biāo)的資產(chǎn)價格的觀察頻率 障礙期權(quán)合約中增加條款的考慮數(shù)值定價方法將結(jié)點(diǎn)設(shè)置在障礙

15、上 結(jié)點(diǎn)不在障礙水平上的調(diào)整 適應(yīng)性網(wǎng)狀模型圖9.4.2.1 三叉樹圖 圖9.4.2.2 二叉樹圖 盡可能地用交易活躍的常規(guī)看漲和看跌期權(quán)來復(fù)制障礙期權(quán)價值。障礙期權(quán)的靜態(tài)套期保值 比如為向上敲出看漲期權(quán)空頭保值的一個常用方法是買進(jìn)同樣價格和到期日的看漲期權(quán)多頭，若期權(quán)敲出，則還有一個看漲期權(quán)多頭可以彌補(bǔ)。 但是只有在障礙水平和執(zhí)行價格以正確的順序排列的時候才有效。 假設(shè)我們目前擁有一個向下敲入看漲期權(quán)，并假設(shè)障礙水平H和執(zhí)行價格X相等。現(xiàn)在用一個具有同樣執(zhí)行價格的常規(guī)看跌期權(quán)空頭來為其保值。如果觸及障礙水平，則我們的組合頭寸價值為 ，其中第一項(xiàng)來自障礙期權(quán)，第二項(xiàng)來自常規(guī)期權(quán)。根據(jù)平價關(guān)系和

16、 ，組合價值正好等于， 這是一個接近0的數(shù)。此時我們將兩個期權(quán)平倉，就可實(shí)現(xiàn)保值。cp1r T tr T tSXeXeHX反射保值 很簡單但效果相當(dāng)不錯， 這個方法建立在反射原理和看漲看跌對稱的基礎(chǔ)上，亞式期權(quán)（Asian Options）是當(dāng)今金融衍生品市場上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一。 它最重要的特點(diǎn)在于：其到期回報依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在 一段特定時間（整個期權(quán)有效期或其中部分時段）內(nèi)的平均價格。它屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)，因?yàn)檫@一平均價格將成為定價公式中的一個獨(dú)立狀態(tài)變量。 121.nISSSn1231lnlnlnln.lnnISSSSn平均資產(chǎn)價期權(quán) 平均執(zhí)行價期權(quán) 幾何平均 算術(shù)平均定義反映資

17、產(chǎn)價格路徑平均值的變量 ，消除隨機(jī)項(xiàng)，獲得無風(fēng)險收益。使用BS公式得到偏微分方程： 其中 為平均值函數(shù)，視期權(quán)合約條款規(guī)定而不同分析易得 ，即I所滿足的隨機(jī)偏微分方程中并沒有包含隨機(jī)項(xiàng)，因此我們?nèi)匀豢梢越⒁粋€無風(fēng)險組合 0,tI tF Sd,F S,dIF S t dt22221,02ffffSf S trSrftSIS連續(xù)取樣平均, ,ff S I tSS , ,f S I TP S I2222102ffffSSrSrftSIS22221ln02ffffSSrSrftSIS 偏微分方程中增加了對變量I的一階偏導(dǎo)，是對第三個獨(dú)立變量的影響的描述。邊界條件變?yōu)檫B續(xù)取樣平均（續(xù)）這里的P (S,

18、 I )表示T時刻的期權(quán)回報。具體運(yùn)用到算術(shù)平均和幾何平均期權(quán)，偏微分方程分別為 1.更新規(guī)則在離散取樣平均中，我們通常使用一個更新規(guī)則（Updating Rule）的概念。假設(shè)每個取樣日為 ，獲得的路徑依賴變量取值 ，由于取樣的離散性，在 之間，路徑依賴變量始終為 ，直到 才根據(jù)一定的規(guī)則更新為 。比如在簡單的亞式平均期權(quán)中，這個更新規(guī)則為： itiI1iittt iI1it1iI 1,iiiIF S tIi離散取樣平均 2222102fffSrSrftSS 2. 離散取樣的定價方程由于更新規(guī)則，實(shí)際上只有在取樣日變量I才發(fā)生變化。在取樣日之間，I 是常數(shù)，因此定價方程與一般的布萊克-舒爾斯

19、偏微分方程相同： 離散取樣平均（續(xù)） ititit定義 為無限接近取樣日 的時刻， 則為取樣日之后無限接近的時刻，期權(quán)價格的連續(xù)性要求：1,iiiif S Itf S I t, , ,iif S I tf S F S I it離散取樣平均（續(xù)） 用更新規(guī)則表示為在亞式期權(quán)中，只有幾何平均期權(quán)能得到精確的解析解。幾何平均期權(quán)的解析價格公式之所以存在，是因?yàn)椴既R克-舒爾斯模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從對數(shù)正態(tài)分布，而一系列對數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均值仍為對數(shù)正態(tài)分布。 幾何平均亞式期權(quán)亞式期權(quán)中更常見的情況是取算術(shù)平均，但是一系列對數(shù)正態(tài)分布值的算術(shù)平均值并不服從對數(shù)正態(tài)分布。為了解決這個問題，人們采用

20、了各種方法，但是仍然無法得到解析的定價公式。對標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是采用數(shù)值方法或以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來近似逼近，常見的如下： 算術(shù)平均亞式期權(quán)二階矩近似法 控制方差法相似變量代換法能在價格最高點(diǎn)賣出，或在最低點(diǎn)買進(jìn)，是市場交易者夢寐以求的情形。回溯期權(quán)（Lookback Options）就提供了這樣一種可能?；厮萜跈?quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個確定的時段（稱為回溯時段）中達(dá)到的最大或最小價格（又稱為回溯價），根據(jù)是資產(chǎn)價還是執(zhí)行價采用這個回溯價格，回溯期權(quán)可以分為： 固定執(zhí)行價期權(quán) 浮動執(zhí)行價期權(quán) 回溯期權(quán)定價模型中包含路徑依賴變量，屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)?？梢狼笆龅膹?qiáng)式路徑依賴定價的思

21、路，根據(jù)連續(xù)觀測和離散觀測的不同，將回溯期權(quán)定價納入到布萊克-舒爾斯模型框架中。但回溯期權(quán)的定價和亞式期權(quán)有所不同：亞式期權(quán)中平均價必然會隨著觀測值的增加而改變，取最值的回溯價則不一定會改變 Goldman, Sosin和Gatto（1979）推導(dǎo)出這個 方程的邊界條件是 當(dāng) 時， 。 最后由回報推出的邊界條件是 （固定執(zhí)行價看漲期權(quán)） （浮動執(zhí)行價看跌期權(quán)） 連續(xù)觀測條件下的回溯期權(quán)的定價模型 當(dāng) 時，最大值不會改變， 。這時我們使用以 作為參數(shù)的方程 B. Goldman, H. Sosin, H & M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy

22、 at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128 SM0dM M2222102fffSrSrftSSSM0fMmax,0MXmax,0TMS 1max,iiiMS tM,max,iif S M tf SS Mt 離散觀測條件下，回溯價是通過離散時間取得的觀測值比較形成的，其更新規(guī)則為這樣資產(chǎn)價格可能會在M之上，而且離散觀測下的回溯價M更新的次數(shù)要少于連續(xù)觀測的狀態(tài)，這使得離散觀測的回溯期權(quán)價格偏低。根據(jù)上述更新規(guī)則，我們可以得到離散觀測的回溯期權(quán)的跳躍條件： 之后我們可以應(yīng)用亞式期權(quán)

23、一節(jié)中所介紹的離散取樣的定價方 法，為回溯期權(quán)定價 。離散觀測條件下回溯期權(quán)的定價max,0SMSM122112322q T tq T tr T tYSeN aSeNaMeN ae Narqrq其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最小值。在布萊克-舒爾斯模型框架下，期權(quán)價值為歐式浮動執(zhí)行價回溯看漲期權(quán)21ln2S MrqTtaTt21aaTt23ln2S MrqTtaTt 2122ln2rqS MY 其中歐式浮動執(zhí)行價回溯看漲期權(quán)，。其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最大值。在布萊克-舒爾斯模型框架下，期權(quán)價值為 max,0MSMS 222132222r T tq T tq T tYMeN be NbSeNbSeN b

24、rqrq歐式浮動執(zhí)行價回溯看跌期權(quán)其中21ln2M SrqTtbTt 21bbTt23ln2M SrqTtbTt2222ln2rqM SY歐式浮動執(zhí)行價回溯看跌期權(quán)，。 回溯期權(quán)的定價就經(jīng)常使用到二叉樹模型。但是，在使用二叉樹模型的時候，在每個結(jié)點(diǎn)需要考慮到當(dāng)前為止不同路徑所導(dǎo)致的不同的最大值或最小值，路徑越多，這些值的個數(shù)越多，降低了二叉樹模型的實(shí)用意義 解決方法1、在每個結(jié)點(diǎn)，僅對路徑函數(shù)中具有代表性意義的值 進(jìn)行計(jì)算，其他值則用內(nèi)插法從已知的值中計(jì)算得到 解決方法2、最高價格M和現(xiàn)價S之比 來建立標(biāo)的資產(chǎn) 價格樹圖并進(jìn)一步為期權(quán)定價 M tY tS t奇異期權(quán)的種類非常繁多，而且正在不斷

25、擴(kuò)大中除了前面具體分析的三種期權(quán)，本節(jié)還將介紹其他一些常見的奇異期權(quán) 兩值期權(quán)打包期權(quán)標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)遠(yuǎn)期開始期權(quán)吶喊期權(quán)復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)多資產(chǎn)期權(quán)兩值期權(quán)（Binary Options）也是一種基本期權(quán)，其到期回報是不連續(xù)的。其中一種是現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)（Cash-or-nothing Call）。到期日時，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個固定的數(shù)額Q。期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為因此現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的價值就是相應(yīng)地現(xiàn)金或無價值看跌期權(quán)的價值是2N d2r T tQeN d2r T tQeNd 兩值期權(quán)（續(xù)） 資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（

26、Asset-or-nothing Call）。如果標(biāo)的資產(chǎn)價格在到期日時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的款額。這種資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值就是 . 類似地，資產(chǎn)或無價值看跌期權(quán)的價值就是 。常規(guī)期權(quán)可以分解為兩值期權(quán)的組合。比如一個常規(guī)歐式看漲期權(quán)就等于一個資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)多頭和一個現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭之和，一個常規(guī)歐式看跌期權(quán)等于一個資產(chǎn)或無價值看跌期權(quán)多頭和一個現(xiàn)金或無價值看跌期權(quán)空頭之和，其中的現(xiàn)金支付金額等于執(zhí)行價格 。 1q T tS eN d1q T tS eNd 打包期權(quán)通常是由常規(guī)的歐式期權(quán)、遠(yuǎn)期合約、現(xiàn)金和標(biāo)的資產(chǎn)等

27、構(gòu)成的證券組合。 經(jīng)濟(jì)意義：可以利用這些金融工具之間的關(guān)系，組合成符合需要的投資工具 最常見的打包期權(quán)：具有零初始成本的期權(quán)組合 另一種可以實(shí)現(xiàn)零初始成本的期權(quán)是延遲支付期權(quán)（Deferred Payment Options） 原理：目前不支付期權(quán)價格，到期時支付期權(quán)價格的終值。 執(zhí)行價格等于相應(yīng)資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格時，這類延遲支付期權(quán)又叫做不完全遠(yuǎn)期、波士頓期權(quán)、可選退出的遠(yuǎn)期和可撤銷遠(yuǎn)期。 標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)在有效期內(nèi)任何時間都可執(zhí)行且執(zhí)行價格總是相同的，非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)則對其做了一些改動： 百慕大期權(quán)（Bermudan Options）只能在事先確定的 時間內(nèi)提前執(zhí)行 公司發(fā)行的認(rèn)股權(quán)證（Warran

28、ts）往往規(guī)定提前執(zhí)行 的時間段，而且執(zhí)行價格也會有所不同 遠(yuǎn)期開始期權(quán)（Forward Start Options）是現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)而在未來某時刻才開始的期權(quán) 零時刻的期權(quán)為 遠(yuǎn)期開始期權(quán)的價值與具有相同有效期的處于平價狀態(tài)的常規(guī)期權(quán)價值完全相同。 2100102r ttcS N dS eN d 吶喊期權(quán)(Shout Options) 是一個常規(guī)歐式期權(quán)加上一個額外的特征：在整個期權(quán)有效期內(nèi)，持有者可以向空頭方“吶喊”一次在期權(quán)到期時，期權(quán)持有者可以選擇以下兩種損益中的一種：一個常規(guī)歐式期權(quán)的回報根據(jù)吶喊時刻的內(nèi)在價值得到的回報吶喊期權(quán)的回報寫為其中T 是到期時刻， 是指吶喊時刻的資產(chǎn)價格我

29、們也可以用二叉樹或三叉樹模型為吶喊期權(quán)定價，在每個結(jié)點(diǎn)我們都要分別計(jì)算持有者吶喊和持有者沒有吶喊的期權(quán)價值，取其大者。 整個過程很類似美式期權(quán)的定價過程。 max,0TSSSXS 復(fù)合期權(quán)： 在 時刻給予持有者一個在特定時間 以特定價格買賣另一個期權(quán)的權(quán)利，后面這個標(biāo)的期權(quán)將在 時刻到期。復(fù)合期權(quán)是二階期權(quán)，因?yàn)閺?fù)合期權(quán)給了我們對另一個衍生工具的權(quán)利。首先，為標(biāo)的期權(quán)定價假設(shè)我們的復(fù)合期權(quán)是看漲期權(quán)的看漲期權(quán)，則標(biāo)的期權(quán)價值 滿足 條件為其中 為 時刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)理論價格， 為標(biāo)的期權(quán)執(zhí)行價格。通過以上公式計(jì)算出 時刻的標(biāo)的期權(quán)理論價值 。10tt210ttt1f22211112102

30、fffSrSrftSS12221,max,0fS tSX2S2t1X111,fS t0t1t復(fù)合期權(quán)（續(xù)）然后為復(fù)合期權(quán)定價，得到 時刻的復(fù)合期權(quán)價值滿足：條件為其中 為 時刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)價格， 為復(fù)合期權(quán)執(zhí)行價格。0t222000110211102ffffrfrftff0111110,max,0ff tfS tX1S1t0X 選擇者期權(quán) 持有者可以在特定時間 以特定價格選擇一個進(jìn)一步的期權(quán)：持有者可以選擇購買一個看漲期權(quán)或是購買一個看跌期權(quán)。 在 時刻的回報為：其中的 和 分別代表 時刻備選看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值， 和 則表示事先確定的這兩種期權(quán)的購買價格， 為 時刻的標(biāo)的資產(chǎn)價格

31、。10tt1t011111,max,0ccppff tfS tXfS tX11,cfS t11,pfS t1tcXpX1S1t復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)的定價模型在實(shí)際應(yīng)用方面存在著同樣的問題：期權(quán)價值對資產(chǎn)價格服從的概率分布性質(zhì)非常敏感，這些公式在實(shí)際當(dāng)中都很少直接使用，交易者常常用我們在第七章中所介紹的隨機(jī)波動率模型或是隱含波動率矩陣來定價。iiiiidSS dtS dzijijE dz dzdt ijij 多資產(chǎn)期權(quán)（Multi-asset Options）中往往包含兩個或兩個以上標(biāo)的資產(chǎn)，需要引進(jìn)多維的概念。在三維或多維概念下，我們必須考慮標(biāo)的資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，相應(yīng)地產(chǎn)生了Ito引理和布萊

32、克-舒爾斯模型在多維世界中的擴(kuò)展。 在多資產(chǎn)期權(quán)中，每個標(biāo)的資產(chǎn)仍然假設(shè)服從幾何布朗運(yùn)動： 其中 是在第 個幾何布朗運(yùn)動和第 個幾何布朗運(yùn)動之間的相關(guān) 關(guān)系 （一）彩虹期權(quán) 彩虹期權(quán)（Rainbow Options）是指標(biāo)的資產(chǎn)有兩種以上的期權(quán)，比如籃子期權(quán)（Basket Options）?；@子期權(quán)的回報取決于一籃子資產(chǎn)的價值。這些資產(chǎn)包括單個股票、股票指數(shù)或是外匯等?；@子期權(quán)的價值可以在高維的布萊克-舒爾斯框架中得到解釋。 建立一個包括一籃子期權(quán) 和 份各項(xiàng)標(biāo)的資產(chǎn)的組合，令 ，我們就可以得到無風(fēng)險組合，這樣根據(jù)布萊克-舒爾斯的建模思想，我們得到籃子期權(quán)的價值方程為：12,.,nf S SS

33、 tiiifS 211112nnniijijijiijiijfffrSS SrftSS S （二）資產(chǎn)交換期權(quán) 資產(chǎn)交換期權(quán)（Exchange Options）是另一種常見的多資產(chǎn)期權(quán)，它可以有多種形式：比如對于一個美國投資者而言，用澳元購買日元的期權(quán)就是用一種外幣資產(chǎn)交換另一種外幣資產(chǎn)的期權(quán)，股權(quán)收購（Stock Tender Offer）則可以看成是用一個公司的股份換取另一個公司股份的期權(quán)。 一個在 時刻用價值為 的資產(chǎn)來換取價值為 的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，其回報為 TTUTVmax,0TTVU 資產(chǎn)交換期權(quán)（續(xù)） Margrabe首先提出了這個期權(quán)的定價公式：假設(shè)資產(chǎn)價格U和V都遵循幾何布朗運(yùn)

34、動，波動率分別為 和 ，收益率分別為 和 ，零時刻的資產(chǎn)價值分別為 和 。進(jìn)一步假設(shè)U和V之間的瞬時相關(guān)關(guān)系為 ，則零時刻期權(quán)的價值為其中UVUqVq0U0V0102VUq Tq TV eN dU eN d2001ln2UVV UqqTdT21ddT222UVUV 1.奇異期權(quán)的基本類型包括分拆與組合、弱式路徑依賴、強(qiáng)式路徑依賴、時間依賴、維數(shù)和階數(shù)。2.奇異期權(quán)的變化很多，并且處在不斷的衍生和變化當(dāng)中。3.障礙期權(quán)的回報依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價格在特定時間內(nèi)是否達(dá)到了一個特定的水平，一般可以分為敲出期權(quán)、敲入期權(quán)、向上期權(quán)和向下期權(quán)等。障礙期權(quán)屬于弱式路徑依賴期權(quán)。4.亞式期權(quán)的回報依賴于標(biāo)的資產(chǎn)

35、在一段時間內(nèi)的平均價格，回溯期權(quán)的損益則依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在某個確定的時段中達(dá)到的最大或最小價格，它們都屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)。5.其他的奇異期權(quán)還包括兩值期權(quán)（現(xiàn)金或無價值期權(quán)、資產(chǎn)或無價值期權(quán)）、打包期權(quán)（由期權(quán)和其他金融資產(chǎn)組成的證券組合）、遠(yuǎn)期開始期權(quán)（現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)而在未來某時刻才開始的期權(quán)）、二階期權(quán)（復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)）、多資產(chǎn)期權(quán)（多個標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)）以及吶喊期權(quán)等等。6.大多數(shù)奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)的定價仍然可以在布萊克舒爾斯模型框架中進(jìn)行。例如障礙期權(quán)中的障礙條件主要反映在相應(yīng)的邊界條件上，連續(xù)平均的亞式期權(quán)在原來的偏微分方程中加進(jìn)了對新的平均值變量的一階偏導(dǎo)。我們也可以得到其

36、中一些奇異期權(quán)的定價公式。但是大部分情況下，我們無法得到精確的解析解，或者是這些公式難以在實(shí)際中運(yùn)用，大多時候人們是用數(shù)值方法或是近似方法來為奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)定價。7.蒙特卡羅模擬常用于處理路徑依賴期權(quán)，但缺點(diǎn)是收斂緩慢，為此，人們對樹圖方法進(jìn)行了多種改進(jìn)，使之可以用于估計(jì)許多路徑依賴型的期權(quán)價格。8.有些奇異期權(quán)比常規(guī)期權(quán)更容易保值，如亞式期權(quán)，另一些奇異期權(quán)則更難保值，如障礙期權(quán)，現(xiàn)實(shí)中人們使用靜態(tài)期權(quán)復(fù)制的方法來為之保值 。奇異期權(quán)確實(shí)是無法盡述的。它的豐富多變就是金融工程的核心和魅力的體現(xiàn)。 1.二階矩近似法 這是在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用得最廣泛的方法之一，它適合于為離散算術(shù)平均亞式期權(quán)定價。其主要思想是：盡管分布是未知的，但算術(shù)平均價格的前兩階矩（即均值和方差）是可以精確計(jì)算出來的，用一個適合前兩階矩的對數(shù)正態(tài)分布逼近算術(shù)平均價格的分布，即假定算術(shù)平均的分布是具有相同均值和方差的對數(shù)正態(tài)分布，進(jìn)而計(jì)算算術(shù)平均亞式期