期權(quán)市場(chǎng)是世界上最具有活力和變化的市場(chǎng)之一

1、 期權(quán)市場(chǎng)是世界上最具有活力和變化的市場(chǎng)之一，盈利和避險(xiǎn)的需要不斷推動(dòng)新工具的產(chǎn)生。 通過(guò)在常規(guī)期權(quán)的基礎(chǔ)上加入了條件約束或者增加新的變量等方式，形成比先前所學(xué)習(xí)的常規(guī)期權(quán)更復(fù)雜的衍生證券，統(tǒng)稱為奇異期權(quán)。奇異期權(quán)是世界上最具生命力的金融工具之一，其內(nèi)涵和外延無(wú)時(shí)不處在變化和拓展中。由于奇異期權(quán)的多樣性，要對(duì)它們進(jìn)行完全的描述是不可能的。本章我們將介紹其中一些常見(jiàn)的新型期權(quán)，分析其定價(jià)和保值機(jī)制。這些思路和方法將有助于我們理解市場(chǎng)中不斷創(chuàng)新的期權(quán)工具。 知識(shí)點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.1 奇異期權(quán)概述 9.1.1 奇異期權(quán)的分類特征（1）分拆與組合 9.1.5 奇異期權(quán)的分類特征（5）維數(shù) 9.2 障

2、礙期權(quán) 在布萊克舒爾斯偏微分方程框架中為障礙期權(quán)定價(jià) 了解 了解 9.1.2 奇異期權(quán)的分類特征（2）弱路徑依賴 9.1.3 奇異期權(quán)的分類特征（3）強(qiáng)路徑依賴 9.1.4 奇異期權(quán)的分類特征（4）時(shí)間依賴 9.1.6 奇異期權(quán)的分類特征（6）階數(shù) 9.2.1 障礙期權(quán)的分類 9.2.2 障礙期權(quán)的性質(zhì) 9.2.4 數(shù)值定價(jià)方法 9.2.3 了解 了解 了解 了解 了解 熟悉 熟悉 熟悉 知識(shí)點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.2.5 障礙期權(quán)的套期保值 9.3 亞式期權(quán) 9.3.1 亞式期權(quán)的種類 9.3.2 9.3.3 亞式期權(quán)定價(jià)公式的具體方法 9.4 回溯期權(quán) 9.4.1 在布萊克舒爾斯模型框架下的回

3、溯期權(quán) 9.4.2 回溯期權(quán)的定價(jià)公式 9.4.3 回溯期權(quán)的數(shù)值定價(jià)方法 9.5 其他奇異期權(quán) 9.5.1 兩值期權(quán) 9.5.2 打包期權(quán) 強(qiáng)勢(shì)路徑依賴期權(quán)定價(jià)的基本思想及其在亞式期權(quán)中的應(yīng)用 熟悉 了解 熟悉 熟悉 熟悉 熟悉 熟悉 了解 了解 知識(shí)點(diǎn)標(biāo)題 認(rèn)知度 9.5.3 非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán) 9.5.4 遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán) 9.5.5 吶喊期權(quán) 9.5.6 復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán) 9.5.7 多資產(chǎn)期權(quán) 了解 了解 了解 了解 了解 奇異期權(quán)：比常規(guī)期權(quán)(標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式期權(quán) )更復(fù)雜的衍生證券。比如執(zhí)行價(jià)格不是一個(gè)確定的數(shù)，而是一段時(shí)間內(nèi)的平均資產(chǎn)價(jià)格的期 權(quán)，或是在期權(quán)有效期內(nèi)如果資產(chǎn)價(jià)格超過(guò)

4、一定界限，期權(quán)就作 廢 。Why am I called Exotic? 分拆和組合是金融工程的核心之一。最基本的奇異期權(quán)是對(duì)常規(guī)期權(quán)和其他一些金融資產(chǎn)的分拆和組合，從而得到我們所需要的回報(bào)。通過(guò)對(duì)奇異期權(quán)到期時(shí)回報(bào)的數(shù)學(xué)整理，常?？梢园哑跈?quán)分 成常規(guī)期權(quán)、簡(jiǎn)單期權(quán)和其他金融資產(chǎn)的組合，從而大大簡(jiǎn)化期權(quán)定價(jià)過(guò)程。 導(dǎo)致弱式路徑依賴的第二個(gè)最常見(jiàn)的原因是 。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在事先確定的時(shí)間內(nèi)觸及某個(gè)預(yù)先確定的障礙水平時(shí)，障礙期權(quán)（敲入或敲出期權(quán)）就可能被敲出（作廢）或是敲入（開(kāi)始生效）。這種期權(quán)顯然是路徑依賴的，但是因?yàn)槲覀內(nèi)匀恢恍枰庖粋€(gè)以資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間為變量的偏微分方程，它仍然只是弱式路徑依

5、賴的。 如果期權(quán)價(jià)值會(huì)受到路徑變量的影響，但是在期權(quán)定價(jià)的 偏微分方程中并不需要比與之類似的常規(guī)歐式期權(quán)增加新的 獨(dú)立路徑依賴變量，就屬于弱式路徑依賴性質(zhì)的期權(quán)。 強(qiáng)路徑依賴性質(zhì)表明： 期權(quán)的損益除了取決于標(biāo)的資產(chǎn)的目前價(jià)格和時(shí)間之外，還取決于資產(chǎn)價(jià)格路徑的一些特征。期權(quán)價(jià)值是原先的期權(quán)價(jià)格、時(shí)間和至少再多一個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，相應(yīng)的在期權(quán)價(jià)值偏微分方程中也將增加期權(quán)價(jià)值對(duì)這些獨(dú)立變量的導(dǎo)數(shù)。 奇異期權(quán)的一種變化形式是在以上所述的所有特征中加入時(shí)間依賴（Time Dependence）的特性 比如說(shuō)美式期權(quán)只能在特定的一段時(shí)間之內(nèi)提前執(zhí)行，如百慕 大期權(quán)； 敲出期權(quán)的障礙位置也可以隨著時(shí)間而不同

6、，每個(gè)月都可以設(shè) 定一個(gè)比上個(gè)月更高的水平。這些合約都可以稱作是時(shí)間上非均勻的（Time-inhomogeneous）。這些變化使得期權(quán)合約更加豐富，也更符合客戶和市場(chǎng)的特殊需求。 2.弱式路徑依賴期權(quán)合約和那些除了不是路徑依賴之外其他條件都與之完全相同的期權(quán)合約的維數(shù)相同。維數(shù)（Dimensions）指的是基本的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。二維的形式：1.常規(guī)期權(quán)有兩個(gè)獨(dú)立變量 S 和 t ，因此是二維的。 對(duì)于這些合約來(lái)說(shuō)，資產(chǎn)價(jià)格這個(gè)變量的作用和時(shí)間變量的作用是彼此不同的，因?yàn)樵诓既R克舒爾斯方程中，包含了對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)而只有對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)。1.有其他隨機(jī)源的時(shí)候， 比如期權(quán)中有多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)。

7、假設(shè)有一個(gè)期權(quán)，要取兩種股票價(jià)格的最大值。這兩種標(biāo)的資產(chǎn)都是隨機(jī)的，每種都有自己的波動(dòng)率，它們之間還有相關(guān)關(guān)系。在布萊克舒爾斯方程中，我們將會(huì)出現(xiàn)對(duì)每種資產(chǎn)價(jià)格的二階偏導(dǎo)，我們把這叫做存在 和 的擴(kuò)散過(guò)程，這就出現(xiàn)了三維問(wèn)題。1S2S 多維的形式：2.強(qiáng)式路徑依賴的合約。 比如一種新的獨(dú)立變量是路徑依賴量（比如亞式期權(quán)中的價(jià)格平均數(shù)）的一個(gè)衡量，期權(quán)價(jià)值是依賴于這個(gè)量的。這樣，期權(quán)價(jià)格方程中需要再增加新的變量，但這時(shí)期權(quán)價(jià)格對(duì)這個(gè)新變量的導(dǎo)數(shù)只是一階的。這樣這個(gè)新的變量看起來(lái)更像是一個(gè)象時(shí)間一樣的變量，這與多標(biāo)的資產(chǎn)的情況顯然是不同的。1t2t 奇異期權(quán)最后的一個(gè)分類特征是期權(quán)的階數(shù)，但這不僅

8、是一種分類特征，還引入了建模的問(wèn)題。 常規(guī)期權(quán)是一階的，其損益僅直接取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 其他的如路徑依賴期權(quán)，如果路徑變量直接影響期權(quán)價(jià)格的話，它也是一階的。 高階指的是那些期權(quán)損益和價(jià)值取決于另一個(gè)（些）期權(quán)的價(jià)值。最典型的二階期權(quán)的例子是復(fù)合期權(quán)。比如一個(gè)看漲期權(quán)給予持有者購(gòu)買(mǎi)一個(gè)看跌期權(quán)的權(quán)利。復(fù)合期權(quán)在時(shí)刻 到期，而作為其自變量的那個(gè)標(biāo)的期權(quán)則在更遲的一個(gè)時(shí)刻 到期。 從實(shí)際的角度來(lái)看，高階期權(quán)的存在提出了一些重要的建模問(wèn)題：復(fù)合期權(quán)的損益取決于標(biāo)的期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值而非理論價(jià)值。 我們對(duì)兩階期權(quán)都要使用理論模型，這時(shí)高階期權(quán)對(duì)模型正 確與否就非常敏感，需要很小心地處理。 障礙期權(quán)（Bar

9、rier Options）是指期權(quán)的回報(bào)（Payoff）依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在一段特定時(shí)間內(nèi)是否達(dá)到了某個(gè)特定的水平（臨界值），這個(gè)臨界值就叫做“障礙”水平。通常有許多種不同的障礙期權(quán)在場(chǎng)外市場(chǎng)進(jìn)行交易。1.敲出障礙期權(quán)（Knock-out Options）：當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到一個(gè)特定的障礙水平時(shí)，該期權(quán)作廢（即被“敲出”）；如果在規(guī)定時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格并未觸及障礙水平，則仍然是一個(gè)常規(guī)期權(quán)。2.敲入障礙期權(quán)（Knock-in Options）：正好與敲出期權(quán)相反，只有資產(chǎn)價(jià)格在規(guī)定時(shí)間內(nèi)達(dá)到障礙水平，該期權(quán)才得以存在（即“敲入”），其回報(bào)與相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)相同；反之該期權(quán)作廢。在此基礎(chǔ)之上，我們可

10、以通過(guò)考察障礙水平與標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格的相對(duì)位置，進(jìn)一步為障礙期權(quán)分類： 1.如果障礙水平高于初始價(jià)格，則我們把它叫做向上期權(quán)。 2.如果障礙水平低于初始價(jià)格，則我們把它叫做向下期權(quán)。將以上分類進(jìn)行組合，我們可以得到諸如向下敲出看漲期權(quán)（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期權(quán)（Down-and-in Put）等組合形式。根據(jù)市場(chǎng)需求而變形的特殊交易條款 障礙水平的重新設(shè)定障礙水平的時(shí)間依賴性外部障礙 期權(quán)提前執(zhí)行的可能性多次觸及 障礙水平特殊交易條款部分部分折扣折扣雙重障礙 障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報(bào)，以及它們的價(jià)值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。 障礙期權(quán)是屬于弱式路

11、徑依賴。我們只需要知道這個(gè)障礙是否被觸發(fā)，而并不需要關(guān)于路徑的其他任何信息。關(guān)于路徑的信息不會(huì)成為我們定價(jià)模型中的一個(gè)新增獨(dú)立變量，如果障礙水平?jīng)]有被觸發(fā)，障礙期權(quán)到期時(shí)的回報(bào)仍然和常規(guī)期權(quán)是相同的。 障礙期權(quán)通常比常規(guī)期權(quán)便宜。障礙距離資產(chǎn)價(jià)格現(xiàn)價(jià)越近，期權(quán)被敲出的可能性越大，合約就越便宜。相反，一個(gè)敲入期權(quán)將會(huì)被某個(gè)相信障礙水平將會(huì)實(shí)現(xiàn)的人購(gòu)買(mǎi)，這時(shí)期權(quán)同樣也會(huì)比相 應(yīng)的普通期權(quán)便宜。購(gòu)買(mǎi)者可以使用它們來(lái)為某些非常特定的具有類似性質(zhì)的現(xiàn)金流保值。 定價(jià)基本原理障礙期權(quán)是弱式路徑依賴的，這使得我們?nèi)匀豢梢灾苯討?yīng)用布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)偏微分方程來(lái)為其定價(jià)。在障礙條件被觸發(fā)之前，期權(quán)價(jià)值仍然滿

12、足 222212fffrSSrftSS 障礙條件則反映在相應(yīng)的邊界條件上。 1. 敲出障礙 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到敲出障礙水平時(shí)，期權(quán)合約作廢，因此邊界條件為 當(dāng) t T 時(shí)，f (H, t) = 0 其中 H 可以是向上或向下的障礙水平。 對(duì)于一個(gè)向上敲出障礙期權(quán)來(lái)說(shuō)，我們要在 的條件下解出布萊克-舒爾斯偏微分方程，同時(shí)考慮資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到 H 時(shí)的邊界條件（9.1），最后如果障礙水平?jīng)]有達(dá)到，還需要考慮回報(bào)。如一個(gè)看漲期權(quán)，我們有： 這一邊界條件。 如果是一個(gè)向下敲出障礙期權(quán)，則將范圍改為 ，考慮相應(yīng)的兩個(gè)邊界條件，解出偏微分方程。 注意如果合約中有部分折扣規(guī)定的話，邊界條件當(dāng) t T 時(shí)，f (

13、H, t) = 0 可以修改為： f (H, t) = R 其中R為折扣數(shù) 。0SH,max,0f S TSXHS 2. 敲入障礙敲入期權(quán)只有在障礙水平被觸及的時(shí)候才有價(jià)值，因此，如果沒(méi)有到達(dá)障礙水平，則 對(duì)于敲入期權(quán)來(lái)說(shuō)，其價(jià)值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個(gè)向上敲入期權(quán)，那么在資產(chǎn)價(jià)格到達(dá)上限的時(shí)候，合約的價(jià)值 就等于一個(gè)相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)價(jià)值 。當(dāng) 時(shí)， 。對(duì)于敲入期權(quán)來(lái)說(shuō)，當(dāng)障礙被觸及時(shí)，我們得到的是衍生工具本身，因此一個(gè)敲入期權(quán)實(shí)際上是一個(gè)二階合約。在解敲入期權(quán)價(jià)值的時(shí)候，我們必須先得到常規(guī)期權(quán)的價(jià)值，因此要花解敲出期權(quán)兩倍的 時(shí)間，才能得到敲入期權(quán)的價(jià)值。,0f S T ,f H t,

14、bfH ttT,f H t,bfH t 3. 敲入和敲出障礙期權(quán)的關(guān)系 在不考慮折扣R的情況下，具有相同的執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間和障礙水平的敲入期權(quán)和敲出期權(quán)具有如下的關(guān)系： 這是因?yàn)闊o(wú)論資產(chǎn)價(jià)格是否觸及障礙水平，敲入期權(quán)和敲出期權(quán)的組合總能得到與常規(guī)期權(quán)相同的回報(bào)。這個(gè)關(guān)系在障礙期權(quán)定價(jià)中很有意義，只需要求出其中一個(gè)障礙期權(quán)，即可得到另一個(gè)的價(jià)值。 障礙期權(quán)的具體定價(jià)公式 向下敲出看漲期權(quán)向下敲入看漲期權(quán) 2212,rbbSHf S tfS tftSH2212,rbSHf S tftSH障礙期權(quán)定價(jià)的擴(kuò)展波動(dòng)率的選擇標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的觀察頻率 障礙期權(quán)合約中增加條款的考慮數(shù)值定價(jià)方法將結(jié)點(diǎn)設(shè)置在障礙

15、上 結(jié)點(diǎn)不在障礙水平上的調(diào)整 適應(yīng)性網(wǎng)狀模型圖9.4.2.1 三叉樹(shù)圖 圖9.4.2.2 二叉樹(shù)圖 盡可能地用交易活躍的常規(guī)看漲和看跌期權(quán)來(lái)復(fù)制障礙期權(quán)價(jià)值。障礙期權(quán)的靜態(tài)套期保值 比如為向上敲出看漲期權(quán)空頭保值的一個(gè)常用方法是買(mǎi)進(jìn)同樣價(jià)格和到期日的看漲期權(quán)多頭，若期權(quán)敲出，則還有一個(gè)看漲期權(quán)多頭可以彌補(bǔ)。 但是只有在障礙水平和執(zhí)行價(jià)格以正確的順序排列的時(shí)候才有效。 假設(shè)我們目前擁有一個(gè)向下敲入看漲期權(quán)，并假設(shè)障礙水平H和執(zhí)行價(jià)格X相等?，F(xiàn)在用一個(gè)具有同樣執(zhí)行價(jià)格的常規(guī)看跌期權(quán)空頭來(lái)為其保值。如果觸及障礙水平，則我們的組合頭寸價(jià)值為 ，其中第一項(xiàng)來(lái)自障礙期權(quán)，第二項(xiàng)來(lái)自常規(guī)期權(quán)。根據(jù)平價(jià)關(guān)系和

16、 ，組合價(jià)值正好等于， 這是一個(gè)接近0的數(shù)。此時(shí)我們將兩個(gè)期權(quán)平倉(cāng)，就可實(shí)現(xiàn)保值。cp1r T tr T tSXeXeHX反射保值 很簡(jiǎn)單但效果相當(dāng)不錯(cuò)， 這個(gè)方法建立在反射原理和看漲看跌對(duì)稱的基礎(chǔ)上，亞式期權(quán)（Asian Options）是當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一。 它最重要的特點(diǎn)在于：其到期回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在 一段特定時(shí)間（整個(gè)期權(quán)有效期或其中部分時(shí)段）內(nèi)的平均價(jià)格。它屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)，因?yàn)檫@一平均價(jià)格將成為定價(jià)公式中的一個(gè)獨(dú)立狀態(tài)變量。 121.nISSSn1231lnlnlnln.lnnISSSSn平均資產(chǎn)價(jià)期權(quán) 平均執(zhí)行價(jià)期權(quán) 幾何平均 算術(shù)平均定義反映資

17、產(chǎn)價(jià)格路徑平均值的變量 ，消除隨機(jī)項(xiàng)，獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。使用BS公式得到偏微分方程： 其中 為平均值函數(shù)，視期權(quán)合約條款規(guī)定而不同分析易得 ，即I所滿足的隨機(jī)偏微分方程中并沒(méi)有包含隨機(jī)項(xiàng)，因此我們?nèi)匀豢梢越⒁粋€(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合 0,tI tF Sd,F S,dIF S t dt22221,02ffffSf S trSrftSIS連續(xù)取樣平均, ,ff S I tSS , ,f S I TP S I2222102ffffSSrSrftSIS22221ln02ffffSSrSrftSIS 偏微分方程中增加了對(duì)變量I的一階偏導(dǎo)，是對(duì)第三個(gè)獨(dú)立變量的影響的描述。邊界條件變?yōu)檫B續(xù)取樣平均（續(xù)）這里的P (S,

18、 I )表示T時(shí)刻的期權(quán)回報(bào)。具體運(yùn)用到算術(shù)平均和幾何平均期權(quán)，偏微分方程分別為 1.更新規(guī)則在離散取樣平均中，我們通常使用一個(gè)更新規(guī)則（Updating Rule）的概念。假設(shè)每個(gè)取樣日為 ，獲得的路徑依賴變量取值 ，由于取樣的離散性，在 之間，路徑依賴變量始終為 ，直到 才根據(jù)一定的規(guī)則更新為 。比如在簡(jiǎn)單的亞式平均期權(quán)中，這個(gè)更新規(guī)則為： itiI1iittt iI1it1iI 1,iiiIF S tIi離散取樣平均 2222102fffSrSrftSS 2. 離散取樣的定價(jià)方程由于更新規(guī)則，實(shí)際上只有在取樣日變量I才發(fā)生變化。在取樣日之間，I 是常數(shù)，因此定價(jià)方程與一般的布萊克-舒爾斯

19、偏微分方程相同： 離散取樣平均（續(xù)） ititit定義 為無(wú)限接近取樣日 的時(shí)刻， 則為取樣日之后無(wú)限接近的時(shí)刻，期權(quán)價(jià)格的連續(xù)性要求：1,iiiif S Itf S I t, , ,iif S I tf S F S I it離散取樣平均（續(xù)） 用更新規(guī)則表示為在亞式期權(quán)中，只有幾何平均期權(quán)能得到精確的解析解。幾何平均期權(quán)的解析價(jià)格公式之所以存在，是因?yàn)椴既R克-舒爾斯模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而一系列對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量的幾何平均值仍為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 幾何平均亞式期權(quán)亞式期權(quán)中更常見(jiàn)的情況是取算術(shù)平均，但是一系列對(duì)數(shù)正態(tài)分布值的算術(shù)平均值并不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。為了解決這個(gè)問(wèn)題，人們采用

20、了各種方法，但是仍然無(wú)法得到解析的定價(jià)公式。對(duì)標(biāo)的算術(shù)平均亞式期權(quán)更多的是采用數(shù)值方法或以標(biāo)的幾何平均亞式期權(quán)來(lái)近似逼近，常見(jiàn)的如下： 算術(shù)平均亞式期權(quán)二階矩近似法 控制方差法相似變量代換法能在價(jià)格最高點(diǎn)賣出，或在最低點(diǎn)買(mǎi)進(jìn)，是市場(chǎng)交易者夢(mèng)寐以求的情形。回溯期權(quán)（Lookback Options）就提供了這樣一種可能?；厮萜跈?quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個(gè)確定的時(shí)段（稱為回溯時(shí)段）中達(dá)到的最大或最小價(jià)格（又稱為回溯價(jià)），根據(jù)是資產(chǎn)價(jià)還是執(zhí)行價(jià)采用這個(gè)回溯價(jià)格，回溯期權(quán)可以分為： 固定執(zhí)行價(jià)期權(quán) 浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)期權(quán) 回溯期權(quán)定價(jià)模型中包含路徑依賴變量，屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)?？梢狼笆龅膹?qiáng)式路徑依賴定價(jià)的思

21、路，根據(jù)連續(xù)觀測(cè)和離散觀測(cè)的不同，將回溯期權(quán)定價(jià)納入到布萊克-舒爾斯模型框架中。但回溯期權(quán)的定價(jià)和亞式期權(quán)有所不同：亞式期權(quán)中平均價(jià)必然會(huì)隨著觀測(cè)值的增加而改變，取最值的回溯價(jià)則不一定會(huì)改變 Goldman, Sosin和Gatto（1979）推導(dǎo)出這個(gè) 方程的邊界條件是 當(dāng) 時(shí)， 。 最后由回報(bào)推出的邊界條件是 （固定執(zhí)行價(jià)看漲期權(quán)） （浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)看跌期權(quán)） 連續(xù)觀測(cè)條件下的回溯期權(quán)的定價(jià)模型 當(dāng) 時(shí)，最大值不會(huì)改變， 。這時(shí)我們使用以 作為參數(shù)的方程 B. Goldman, H. Sosin, H & M. A. Gatto, “Path Dependent Option: Buy

22、 at the Low, Sell at the High,” Journal of Finance 34 (December 1979), 1111-1128 SM0dM M2222102fffSrSrftSSSM0fMmax,0MXmax,0TMS 1max,iiiMS tM,max,iif S M tf SS Mt 離散觀測(cè)條件下，回溯價(jià)是通過(guò)離散時(shí)間取得的觀測(cè)值比較形成的，其更新規(guī)則為這樣資產(chǎn)價(jià)格可能會(huì)在M之上，而且離散觀測(cè)下的回溯價(jià)M更新的次數(shù)要少于連續(xù)觀測(cè)的狀態(tài)，這使得離散觀測(cè)的回溯期權(quán)價(jià)格偏低。根據(jù)上述更新規(guī)則，我們可以得到離散觀測(cè)的回溯期權(quán)的跳躍條件： 之后我們可以應(yīng)用亞式期權(quán)

23、一節(jié)中所介紹的離散取樣的定價(jià)方 法，為回溯期權(quán)定價(jià) 。離散觀測(cè)條件下回溯期權(quán)的定價(jià)max,0SMSM122112322q T tq T tr T tYSeN aSeNaMeN ae Narqrq其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最小值。在布萊克-舒爾斯模型框架下，期權(quán)價(jià)值為歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看漲期權(quán)21ln2S MrqTtaTt21aaTt23ln2S MrqTtaTt 2122ln2rqS MY 其中歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看漲期權(quán)，。其中M是目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的最大值。在布萊克-舒爾斯模型框架下，期權(quán)價(jià)值為 max,0MSMS 222132222r T tq T tq T tYMeN be NbSeNbSeN b

24、rqrq歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看跌期權(quán)其中21ln2M SrqTtbTt 21bbTt23ln2M SrqTtbTt2222ln2rqM SY歐式浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回溯看跌期權(quán)，。 回溯期權(quán)的定價(jià)就經(jīng)常使用到二叉樹(shù)模型。但是，在使用二叉樹(shù)模型的時(shí)候，在每個(gè)結(jié)點(diǎn)需要考慮到當(dāng)前為止不同路徑所導(dǎo)致的不同的最大值或最小值，路徑越多，這些值的個(gè)數(shù)越多，降低了二叉樹(shù)模型的實(shí)用意義 解決方法1、在每個(gè)結(jié)點(diǎn)，僅對(duì)路徑函數(shù)中具有代表性意義的值 進(jìn)行計(jì)算，其他值則用內(nèi)插法從已知的值中計(jì)算得到 解決方法2、最高價(jià)格M和現(xiàn)價(jià)S之比 來(lái)建立標(biāo)的資產(chǎn) 價(jià)格樹(shù)圖并進(jìn)一步為期權(quán)定價(jià) M tY tS t奇異期權(quán)的種類非常繁多，而且正在不斷

25、擴(kuò)大中除了前面具體分析的三種期權(quán)，本節(jié)還將介紹其他一些常見(jiàn)的奇異期權(quán) 兩值期權(quán)打包期權(quán)標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán)吶喊期權(quán)復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)多資產(chǎn)期權(quán)兩值期權(quán)（Binary Options）也是一種基本期權(quán)，其到期回報(bào)是不連續(xù)的。其中一種是現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（Cash-or-nothing Call）。到期日時(shí)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)固定的數(shù)額Q。期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率為因此現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值就是相應(yīng)地現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)的價(jià)值是2N d2r T tQeN d2r T tQeNd 兩值期權(quán)（續(xù)） 資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（

26、Asset-or-nothing Call）。如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期日時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的款額。這種資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值就是 . 類似地，資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)的價(jià)值就是 。常規(guī)期權(quán)可以分解為兩值期權(quán)的組合。比如一個(gè)常規(guī)歐式看漲期權(quán)就等于一個(gè)資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)多頭和一個(gè)現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭之和，一個(gè)常規(guī)歐式看跌期權(quán)等于一個(gè)資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)多頭和一個(gè)現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看跌期權(quán)空頭之和，其中的現(xiàn)金支付金額等于執(zhí)行價(jià)格 。 1q T tS eN d1q T tS eNd 打包期權(quán)通常是由常規(guī)的歐式期權(quán)、遠(yuǎn)期合約、現(xiàn)金和標(biāo)的資產(chǎn)等

27、構(gòu)成的證券組合。 經(jīng)濟(jì)意義：可以利用這些金融工具之間的關(guān)系，組合成符合需要的投資工具 最常見(jiàn)的打包期權(quán)：具有零初始成本的期權(quán)組合 另一種可以實(shí)現(xiàn)零初始成本的期權(quán)是延遲支付期權(quán)（Deferred Payment Options） 原理：目前不支付期權(quán)價(jià)格，到期時(shí)支付期權(quán)價(jià)格的終值。 執(zhí)行價(jià)格等于相應(yīng)資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格時(shí)，這類延遲支付期權(quán)又叫做不完全遠(yuǎn)期、波士頓期權(quán)、可選退出的遠(yuǎn)期和可撤銷遠(yuǎn)期。 標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)在有效期內(nèi)任何時(shí)間都可執(zhí)行且執(zhí)行價(jià)格總是相同的，非標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)則對(duì)其做了一些改動(dòng)： 百慕大期權(quán)（Bermudan Options）只能在事先確定的 時(shí)間內(nèi)提前執(zhí)行 公司發(fā)行的認(rèn)股權(quán)證（Warran

28、ts）往往規(guī)定提前執(zhí)行 的時(shí)間段，而且執(zhí)行價(jià)格也會(huì)有所不同 遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán)（Forward Start Options）是現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)而在未來(lái)某時(shí)刻才開(kāi)始的期權(quán) 零時(shí)刻的期權(quán)為 遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán)的價(jià)值與具有相同有效期的處于平價(jià)狀態(tài)的常規(guī)期權(quán)價(jià)值完全相同。 2100102r ttcS N dS eN d 吶喊期權(quán)(Shout Options) 是一個(gè)常規(guī)歐式期權(quán)加上一個(gè)額外的特征：在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)，持有者可以向空頭方“吶喊”一次在期權(quán)到期時(shí)，期權(quán)持有者可以選擇以下兩種損益中的一種：一個(gè)常規(guī)歐式期權(quán)的回報(bào)根據(jù)吶喊時(shí)刻的內(nèi)在價(jià)值得到的回報(bào)吶喊期權(quán)的回報(bào)寫(xiě)為其中T 是到期時(shí)刻， 是指吶喊時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格我

29、們也可以用二叉樹(shù)或三叉樹(shù)模型為吶喊期權(quán)定價(jià)，在每個(gè)結(jié)點(diǎn)我們都要分別計(jì)算持有者吶喊和持有者沒(méi)有吶喊的期權(quán)價(jià)值，取其大者。 整個(gè)過(guò)程很類似美式期權(quán)的定價(jià)過(guò)程。 max,0TSSSXS 復(fù)合期權(quán)： 在 時(shí)刻給予持有者一個(gè)在特定時(shí)間 以特定價(jià)格買(mǎi)賣另一個(gè)期權(quán)的權(quán)利，后面這個(gè)標(biāo)的期權(quán)將在 時(shí)刻到期。復(fù)合期權(quán)是二階期權(quán)，因?yàn)閺?fù)合期權(quán)給了我們對(duì)另一個(gè)衍生工具的權(quán)利。首先，為標(biāo)的期權(quán)定價(jià)假設(shè)我們的復(fù)合期權(quán)是看漲期權(quán)的看漲期權(quán)，則標(biāo)的期權(quán)價(jià)值 滿足 條件為其中 為 時(shí)刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)理論價(jià)格， 為標(biāo)的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。通過(guò)以上公式計(jì)算出 時(shí)刻的標(biāo)的期權(quán)理論價(jià)值 。10tt210ttt1f22211112102

30、fffSrSrftSS12221,max,0fS tSX2S2t1X111,fS t0t1t復(fù)合期權(quán)（續(xù)）然后為復(fù)合期權(quán)定價(jià)，得到 時(shí)刻的復(fù)合期權(quán)價(jià)值滿足：條件為其中 為 時(shí)刻標(biāo)的期權(quán)中的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格， 為復(fù)合期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。0t222000110211102ffffrfrftff0111110,max,0ff tfS tX1S1t0X 選擇者期權(quán) 持有者可以在特定時(shí)間 以特定價(jià)格選擇一個(gè)進(jìn)一步的期權(quán)：持有者可以選擇購(gòu)買(mǎi)一個(gè)看漲期權(quán)或是購(gòu)買(mǎi)一個(gè)看跌期權(quán)。 在 時(shí)刻的回報(bào)為：其中的 和 分別代表 時(shí)刻備選看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值， 和 則表示事先確定的這兩種期權(quán)的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格， 為 時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格

31、。10tt1t011111,max,0ccppff tfS tXfS tX11,cfS t11,pfS t1tcXpX1S1t復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)的定價(jià)模型在實(shí)際應(yīng)用方面存在著同樣的問(wèn)題：期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格服從的概率分布性質(zhì)非常敏感，這些公式在實(shí)際當(dāng)中都很少直接使用，交易者常常用我們?cè)诘谄哒轮兴榻B的隨機(jī)波動(dòng)率模型或是隱含波動(dòng)率矩陣來(lái)定價(jià)。iiiiidSS dtS dzijijE dz dzdt ijij 多資產(chǎn)期權(quán)（Multi-asset Options）中往往包含兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)的資產(chǎn)，需要引進(jìn)多維的概念。在三維或多維概念下，我們必須考慮標(biāo)的資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，相應(yīng)地產(chǎn)生了Ito引理和布萊

32、克-舒爾斯模型在多維世界中的擴(kuò)展。 在多資產(chǎn)期權(quán)中，每個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)仍然假設(shè)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 其中 是在第 個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)和第 個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)之間的相關(guān) 關(guān)系 （一）彩虹期權(quán) 彩虹期權(quán)（Rainbow Options）是指標(biāo)的資產(chǎn)有兩種以上的期權(quán)，比如籃子期權(quán)（Basket Options）?；@子期權(quán)的回報(bào)取決于一籃子資產(chǎn)的價(jià)值。這些資產(chǎn)包括單個(gè)股票、股票指數(shù)或是外匯等?；@子期權(quán)的價(jià)值可以在高維的布萊克-舒爾斯框架中得到解釋。 建立一個(gè)包括一籃子期權(quán) 和 份各項(xiàng)標(biāo)的資產(chǎn)的組合，令 ，我們就可以得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，這樣根據(jù)布萊克-舒爾斯的建模思想，我們得到籃子期權(quán)的價(jià)值方程為：12,.,nf S SS

33、 tiiifS 211112nnniijijijiijiijfffrSS SrftSS S （二）資產(chǎn)交換期權(quán) 資產(chǎn)交換期權(quán)（Exchange Options）是另一種常見(jiàn)的多資產(chǎn)期權(quán)，它可以有多種形式：比如對(duì)于一個(gè)美國(guó)投資者而言，用澳元購(gòu)買(mǎi)日元的期權(quán)就是用一種外幣資產(chǎn)交換另一種外幣資產(chǎn)的期權(quán)，股權(quán)收購(gòu)（Stock Tender Offer）則可以看成是用一個(gè)公司的股份換取另一個(gè)公司股份的期權(quán)。 一個(gè)在 時(shí)刻用價(jià)值為 的資產(chǎn)來(lái)?yè)Q取價(jià)值為 的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，其回報(bào)為 TTUTVmax,0TTVU 資產(chǎn)交換期權(quán)（續(xù)） Margrabe首先提出了這個(gè)期權(quán)的定價(jià)公式：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格U和V都遵循幾何布朗運(yùn)

34、動(dòng)，波動(dòng)率分別為 和 ，收益率分別為 和 ，零時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)值分別為 和 。進(jìn)一步假設(shè)U和V之間的瞬時(shí)相關(guān)關(guān)系為 ，則零時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值為其中UVUqVq0U0V0102VUq Tq TV eN dU eN d2001ln2UVV UqqTdT21ddT222UVUV 1.奇異期權(quán)的基本類型包括分拆與組合、弱式路徑依賴、強(qiáng)式路徑依賴、時(shí)間依賴、維數(shù)和階數(shù)。2.奇異期權(quán)的變化很多，并且處在不斷的衍生和變化當(dāng)中。3.障礙期權(quán)的回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格在特定時(shí)間內(nèi)是否達(dá)到了一個(gè)特定的水平，一般可以分為敲出期權(quán)、敲入期權(quán)、向上期權(quán)和向下期權(quán)等。障礙期權(quán)屬于弱式路徑依賴期權(quán)。4.亞式期權(quán)的回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)

35、在一段時(shí)間內(nèi)的平均價(jià)格，回溯期權(quán)的損益則依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在某個(gè)確定的時(shí)段中達(dá)到的最大或最小價(jià)格，它們都屬于強(qiáng)式路徑依賴期權(quán)。5.其他的奇異期權(quán)還包括兩值期權(quán)（現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值期權(quán)、資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值期權(quán)）、打包期權(quán)（由期權(quán)和其他金融資產(chǎn)組成的證券組合）、遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán)（現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)而在未來(lái)某時(shí)刻才開(kāi)始的期權(quán)）、二階期權(quán)（復(fù)合期權(quán)和選擇者期權(quán)）、多資產(chǎn)期權(quán)（多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)）以及吶喊期權(quán)等等。6.大多數(shù)奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)的定價(jià)仍然可以在布萊克舒爾斯模型框架中進(jìn)行。例如障礙期權(quán)中的障礙條件主要反映在相應(yīng)的邊界條件上，連續(xù)平均的亞式期權(quán)在原來(lái)的偏微分方程中加進(jìn)了對(duì)新的平均值變量的一階偏導(dǎo)。我們也可以得到其

36、中一些奇異期權(quán)的定價(jià)公式。但是大部分情況下，我們無(wú)法得到精確的解析解，或者是這些公式難以在實(shí)際中運(yùn)用，大多時(shí)候人們是用數(shù)值方法或是近似方法來(lái)為奇異期權(quán)和路徑依賴期權(quán)定價(jià)。7.蒙特卡羅模擬常用于處理路徑依賴期權(quán)，但缺點(diǎn)是收斂緩慢，為此，人們對(duì)樹(shù)圖方法進(jìn)行了多種改進(jìn)，使之可以用于估計(jì)許多路徑依賴型的期權(quán)價(jià)格。8.有些奇異期權(quán)比常規(guī)期權(quán)更容易保值，如亞式期權(quán)，另一些奇異期權(quán)則更難保值，如障礙期權(quán)，現(xiàn)實(shí)中人們使用靜態(tài)期權(quán)復(fù)制的方法來(lái)為之保值 。奇異期權(quán)確實(shí)是無(wú)法盡述的。它的豐富多變就是金融工程的核心和魅力的體現(xiàn)。 1.二階矩近似法 這是在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用得最廣泛的方法之一，它適合于為離散算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)。其主要思想是：盡管分布是未知的，但算術(shù)平均價(jià)格的前兩階矩（即均值和方差）是可以精確計(jì)算出來(lái)的，用一個(gè)適合前兩階矩的對(duì)數(shù)正態(tài)分布逼近算術(shù)平均價(jià)格的分布，即假定算術(shù)平均的分布是具有相同均值和方差的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，進(jìn)而計(jì)算算術(shù)平均亞式期