第九章矩陣和行列式初步

1、第 九 章 矩陣和行列式初步 格致中學(xué) 王國(guó)偉 9.1 矩陣的概念（2）教學(xué)目標(biāo)1、 掌握矩陣的三種基本變換；2、掌握運(yùn)用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用矩陣基本變換求線性方程組的解。教學(xué)難點(diǎn)如何利用系數(shù)矩陣判斷線性方程組是否有解。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入：根據(jù)下列增廣矩陣，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；。這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。二、新課講解：通過(guò)上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一

2、行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 顯然，通過(guò)以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。三、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問(wèn)其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來(lái)自網(wǎng)上“新雞兔同籠問(wèn)題”）解：設(shè)一元硬幣有個(gè)，五角硬幣有個(gè)，則根據(jù)題意可得：加到不變 則該方程組的增廣矩陣為，設(shè)、分別表示矩陣的第1、2行，對(duì)矩陣進(jìn)行下列變換：不變不變 加到不變 由最后一個(gè)矩陣可知：答：一元硬幣有110個(gè)，五角硬幣有352個(gè)。例2、用矩陣變換

3、的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換：加到加到不變 、不變加到加到不變 加到加到不變、不變 交換、不變， 此方程組的解為說(shuō)明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個(gè)行向量所對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)變量； 2、在變換過(guò)程中，實(shí)際為加減消元的過(guò)程，此過(guò)程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算。例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）加到不變解：此方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：，設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換： ）當(dāng)，即時(shí)，以上矩陣可作如下變換：加到不變不變 不變 ，此時(shí)方程有唯一解；）當(dāng)即時(shí)，若即時(shí)，方程組

4、無(wú)解；）當(dāng)即時(shí)且時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，它們均符合。說(shuō)明：（1）符合情況）時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無(wú)解； （3）符合情況）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無(wú)窮多解。四、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問(wèn)題：（1）若方程組的解與相等，求的值。解： 解得，由題意知：求得：。（2）有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為、千克，則由題意知：通過(guò)矩陣變換解得：黑球每個(gè)3千克，白球每個(gè)1千克。（3）解方程組：解：即方程組的解為。五、小結(jié)：本課學(xué)習(xí)了利用矩陣的三種基本變換求解線性方程組的解，此方法的實(shí)質(zhì)為加減消元法解線性方程組，通過(guò)基本變換，將方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣的系數(shù)矩陣化為單位矩陣，則最后一個(gè)列向量即為方