第4章向量組的線性相關(guān)性

1、線性代數(shù)4 41 1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4 43 3 向量組的秩向量組的秩4 42 2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4 45 5 向量空間向量空間4 44 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4-1 4-1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合一、向量一、向量 定義定義 n個(gè)有次序的數(shù)個(gè)有次序的數(shù)a1 a2 an所組成的數(shù)組稱為所組成的數(shù)組稱為n維向量維向量 這這n個(gè)數(shù)稱為該向量的個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量個(gè)分量 第第i個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)ai稱為第稱為第i個(gè)分量個(gè)分量。分量全為

2、復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量。分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量，例如例如), 3 , 2 , 1(n例如例如)1(,32 ,21(innii 1 1、n維向量的概念維向量的概念第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2 2、向量的表示、向量的表示12(,)Tnaa aa n維向量寫成一行，稱為行向量維向量寫成一行，稱為行向量(即行矩陣），即行矩陣），通常用等表示，如：通常用等表示，如：,TTTTab n維向量寫成一列，稱為列向量（即列矩陣），維向量寫成一列，稱為列向量（即列矩陣），通常用等表示，如：通常用等表示，如：, , ,a b 12n

3、aaaa第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性注意注意、行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；、行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；、行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；、行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；、當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量、當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量. .第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1 1、向量組、向量組 若干個(gè)若干個(gè)同維數(shù)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合，稱為合，稱為向量組。向量組。 12111maaa 22212maaa mn

4、nnaaa21 二、向量組及其線性組合二、向量組及其線性組合 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111a2ajana1a2ajana 一個(gè)一個(gè)m n矩陣矩陣A，對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)m維列向量組：維列向量組：第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性類似類似一個(gè)一個(gè)m n矩陣矩陣A，對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)n維行向量組：維行向量組： aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn212122221112111T2TTiTm1T2TTiTm )( )()(212222111211mnmmnnaaaaaaaaa 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2 2

5、、向量組的線性組合、向量組的線性組合 給定向量組給定向量組A 對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1 k2 km，表達(dá)式表達(dá)式12,ma aa 1212mmaakkk a稱為向量組稱為向量組A的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合. k1 k2 km為該線性組合的系數(shù)為該線性組合的系數(shù).第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1122mmkkbaaka則稱則稱向量向量b能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 三、向量組的線性表示三、向量組的線性表示 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充分線性表示的充分必要條件是矩陣必要條件是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩

6、相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定義：定義：如果向量如果向量b是向量組是向量組A的線性組合：的線性組合：1 1、向量、向量 能由向量組能由向量組A線性表示線性表示b第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-14-1 設(shè)設(shè) 證明向量證明向量b能由向量組能由向量組 線性表示線性表示 并求出表示式并求出表示式。12311111210,21432301aaab 123,a a a 解解 123(,)Aa a a 123( , )Ba a a b 設(shè)設(shè)1 1111 21 02 1432 301Br1 1110 1210 000

7、0 000( )( )2R AR Br1 0320 1210 0000 000向量向量b能由向量組能由向量組 線性表示線性表示。123,a a a 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性3221cxcc由由B最簡(jiǎn)形可得線性方程組最簡(jiǎn)形可得線性方程組 解為解為123(,)a a axbAxb 即即得表達(dá)式得表達(dá)式123(,)ba a ax 1233221()+()cacaca第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2 2、向量組、向量組B能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 定義：定義：若向量組若向量組 中每一個(gè)向量都能由向量組中每一個(gè)向量都能由向量組 線性表示，則稱線性

8、表示，則稱向量組向量組B能由向量組能由向量組 A線性表示。線性表示。12,nAa aa12:,mB b bb 若向量組若向量組B組能由向量組組能由向量組A線性表示線性表示 含義是存在矩陣含義是存在矩陣K (kij) 使使 1112121222121212(,)(,)lllmmmm lkkkkkkb bba aakkk , 矩陣矩陣K稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣( (注意系數(shù)矩陣的位置注意系數(shù)矩陣的位置) ) 這就是說矩陣方程這就是說矩陣方程 AX B 有解，由第三章定理有解，由第三章定理6 6立即可得立即可得R(A) R(A B) ，即：，即：第四章第四章 向量組的線性

9、相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性若若C=AB，則矩陣，則矩陣C的列向量組能由矩陣的列向量組能由矩陣A的列向量線的列向量線性表示，性表示，B為這一表示的系數(shù)矩陣。即為這一表示的系數(shù)矩陣。即 1112121222121212(,)(,)nnnllll nbbbbbbc cca aabbb ,注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1c2cnc1a2ala第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性若若C=AB，則矩陣，則矩陣C的行向量組能由矩陣的行向量組能由矩陣B的

10、行向量線的行向量線性表示，性表示，A為這一表示的系數(shù)矩陣。即為這一表示的系數(shù)矩陣。即 注注 111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmm nmmm llll ncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb,1112121222112122TTTmlllmmm lTTTaaaaaaaaa,1T2TTm1T2TTl第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-24-2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-3

11、4-3向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示，則線性表示，則R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性四、向量組的等價(jià)四、向量組的等價(jià) 定義定義 若向量組若向量組A與與B能相互線性表示能相互線性表示 則稱這則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)兩個(gè)向量組等價(jià)。 若矩陣若矩陣A A與與B B 行行等價(jià)等價(jià) 則這兩個(gè)矩陣的則這兩個(gè)矩陣的行向量組等價(jià)行向量組等價(jià) 矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系若矩陣若矩陣A A與與B B 列列等價(jià)等價(jià) 則這兩個(gè)矩陣的則這兩個(gè)矩陣的列向量組等價(jià)列向量組等價(jià) 向量組等價(jià)的判據(jù)向量組等價(jià)的判

12、據(jù)12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推論：推論：向量組向量組 與向量組與向量組 等價(jià)的充要條件是等價(jià)的充要條件是R(A) R(B)=R(A B) 。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-24-2 設(shè)設(shè) 證明向量組證明向量組 與向量組與向量組 等價(jià)等價(jià)。121231321311011,1110213120aabbb 12,a a 解解 r123,b b b 設(shè)設(shè) ，并對(duì)（，并對(duì)（B, ,A）實(shí)施行）實(shí)施行初等變換化為最簡(jiǎn)形：初等變換化為最簡(jiǎn)形：12(,),Aa a 123( ,)Bb b b 2131301111( ,)1021112013B

13、A10211011110000000000( )( ,)2R BR B A( )2R A 易易知知: :( )( )( ,)2R AR BR B A所以兩向量組所以兩向量組等價(jià)等價(jià)。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充要條件線性表示的充要條件 是矩陣是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa aa 12( , )mBa aab 定理定理3-53-5 線性方程組線性方程組 有解有解的充要條件是的充要條件是 Axb()(, )R AR A b 定理定理4-24-

14、2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-63-6 矩陣方程矩陣方程AX=B有解有解的充要條件是的充要條件是 ()(,)R AR A B第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-34-3向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示，則線性表示，則R(B)R(A) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理3-73-7 設(shè)設(shè)B=AK ，則，則()min(),()R BR AR K第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-34-3

15、證明證明 n維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組E e1 e2 en能由能由n維向量維向量組組A a1 a2 am線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是R(A) n 而而 R(A E) R(E) n 證證 根據(jù)根據(jù)定理定理4-24-2 向量組向量組e1 e2 en能由向量組能由向量組A線性表示的線性表示的充分必要條件是充分必要條件是R(A) R(A E) 。 又矩陣又矩陣(A E)含含n行行 知知R(A E) nR(A E) nR(A)=(A E) n第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4-2 4-2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、向量組線性相關(guān)性的概念一、向量組

16、線性相關(guān)性的概念 定義定義 給定向量組給定向量組 如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù) k1 k2 km 使使12:,mA a aa 1212mmaaaOkkk注意：注意：（1 1）若向量組若向量組A是是線性無關(guān)線性無關(guān) 只有只有 k1= k2= = km=0=0時(shí)才有時(shí)才有1212mmaaaOkkk（2 2）對(duì)于任意向量組不對(duì)于任意向量組不是是線性相關(guān)線性相關(guān) 就是純線性無關(guān)。就是純線性無關(guān)。則稱向量組則稱向量組A是是線性相關(guān)線性相關(guān)的的 否則稱它否則稱它線性無關(guān)線性無關(guān)。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性（4 4）含零向量的向量組必線性相關(guān)含零向量的向量組必線性相關(guān)。（

17、6）向量組向量組 (m 2)線性相關(guān)線性相關(guān) 即在向量組即在向量組A中中 至少有一個(gè)向量能由其余至少有一個(gè)向量能由其余m 1個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示。12:,mA a aa （5 5）兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量 線性相關(guān)線性相關(guān) ( (即對(duì)應(yīng)分量成比例即對(duì)應(yīng)分量成比例) )。12,a a 21aka（3 3）向量組只有一個(gè)向量向量組只有一個(gè)向量 時(shí)，線性相關(guān)時(shí)，線性相關(guān) 。a0a 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性二、向量組線性相關(guān)性的判定二、向量組線性相關(guān)性的判定 定理定理4-44-4向量組向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是線性相關(guān)的充分必要條件是 它所構(gòu)成的矩陣它所構(gòu)成的矩

18、陣 的秩小于向量個(gè)數(shù)的秩小于向量個(gè)數(shù)m 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A) m。 12:,mA a aa12,mAa aa 向量組向量組 (m 2)線性相關(guān)的充要條件是向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組A中中至少至少有一個(gè)向量能由其余有一個(gè)向量能由其余m 1個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示。12:,mA a aa 向量組向量組線性相關(guān)的線性相關(guān)的判據(jù)：判據(jù)： 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?向量組向量組A a1 a2 am線性相關(guān)線性相關(guān) R(A) m x1a1 x2a2 xmam 0即即Ax 0有非零解。有非零解。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n維單位坐標(biāo)向

19、量組構(gòu)成的矩陣為維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為 例例4-44-4試討論試討論n維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性 解解 是是n階階單位矩陣單位矩陣。12( ,)nEe ee 易知易知R(E) n 即即R(E)= = n（向量組中向量個(gè)數(shù)向量組中向量個(gè)數(shù)）。所以此向量組是線性無關(guān)的所以此向量組是線性無關(guān)的。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-54-5已知已知1231021 ,2 ,4157aaa 試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性 123,a a a 12,a a 解解 123102(,)124137a a a r10

20、2011000123(,)2R a a a 123,a a a 線性相關(guān)線性相關(guān) 12(,)2R a a 12,a a 線性無關(guān)線性無關(guān) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-64-6已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且 試證明向量組試證明向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 123,a a a 112223331,baa baa baa123,b b b 證法一證法一 顯然顯然123123101( ,)(,) 110011b b ba a a 記作記作B AK( )( )R AR B( )( )3R BR A因?yàn)橐驗(yàn)镵可逆，由矩陣秩的性質(zhì)知可逆，由矩陣秩的性質(zhì)知又因?yàn)?/p>

21、又因?yàn)锳的列向量組線性無關(guān)，故的列向量組線性無關(guān)，故( )3R A 由由定理定理4-44-4知，知，B的的3 3個(gè)列向量組個(gè)列向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。123,b b b 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 證法二證法二 設(shè)有設(shè)有x1 x2 x3使使000322131xxxxxx 由于此方程組的系數(shù)行列式由于此方程組的系數(shù)行列式02110011101 故方程組只有零解故方程組只有零解 x1 x2 x3 01 1223 30 x bx bx b 即即112223331()()()0 x aax aax aa131122233()()()0 xx axx axx a因?yàn)橐驗(yàn)?線性

22、無關(guān)線性無關(guān) 故有故有123,a a a 所以向量組所以向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) 123,b b b 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-54-5 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量組則向量組B： 也線性相關(guān)也線性相關(guān)。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關(guān)關(guān) 則向量組則向量組A也線性無關(guān)也線性無關(guān)。12:,mA aaa211,mmaa aa 這個(gè)結(jié)論可一般地?cái)⑹鰹檫@個(gè)結(jié)論可一般地?cái)⑹鰹?一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組部分組 則該向量組線性相關(guān)則該向量組線性相關(guān)( (小相則大相小相則大相) ) 一個(gè)向量組若一個(gè)向量組若

23、線性無關(guān)線性無關(guān) 則它的任何部分組都線性無關(guān)則它的任何部分組都線性無關(guān)( (大無則小無大無則小無) ) 特別地特別地 含零向量的向量組必線性相關(guān)含零向量的向量組必線性相關(guān) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個(gè)個(gè)n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān)。特別地特別地 n 1個(gè)個(gè)n維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性相關(guān)。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量組則向量組B： 也線性相關(guān)也線性相關(guān)。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關(guān)關(guān) 則向量組則向量組A也線

24、性無關(guān)也線性無關(guān)。12:,mA aaa211,mmaa aa 若若n m 則則R(A) m 故故m個(gè)向量個(gè)向量a1 a2 am線性相關(guān)線性相關(guān) 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?m個(gè)個(gè)n維向量維向量 構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣12,ma aa有有R(A) n 12(,)n mmAa aa第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個(gè)個(gè)n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān)。特別地特別地 n 1個(gè)個(gè)n維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性相關(guān)。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量組則向量組B：

25、也線性相關(guān)也線性相關(guān)。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關(guān)關(guān) 則向量組則向量組A也線性無關(guān)也線性無關(guān)。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) 而向量組而向量組B： 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量則向量 必能由向量組必能由向量組A線性表線性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?若記若記即向量即向量b能由向量組能由向量組A線性表示線性表示 且表示式唯一且表示式唯一 有唯一解有唯一解。因此方程組因此方程組 R(B) R(A) m m R

26、(A) R(B) m 1 則有則有12(,)mAa aa12(, )mBa aab12(,)ma aaxb第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-74-7 設(shè)向量組設(shè)向量組a1 a2 a3線性相關(guān)線性相關(guān) 向量組向量組a2 a3 a4線性無線性無關(guān)關(guān) 證明證明 (1)(1) a1能由能由a2 a3線性表示線性表示 (2)(2) a4不能由不能由a1 a2 a3線性表示線性表示 證明證明 (1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍2 a3 a4線性無關(guān)線性無關(guān) 所以所以a2 a3也線性無關(guān)也線性無關(guān) 又又a1 a2 a3線性相關(guān)線性相關(guān) 所以所以a1能由能由a2 a3線性表示線性表示 第四章第四

27、章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 (2)(2)用反證法：用反證法：假設(shè)假設(shè) 能由能由 線性表示線性表示123,a aa4a而由而由(1)(1)知知 能由能由 線性表示線性表示23,aa1a因此因此 能由能由 線性表示線性表示 這與這與 線性無關(guān)矛盾線性無關(guān)矛盾 23,aa4a234,aa a第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組A a1 a2 am線性表示的充要條件線性表示的充要條件 是矩陣是矩陣 與矩陣與矩陣 的秩相等的秩相等 即即R(A) R(B) 12(,)mAa

28、aa 12( , )mBa aab 定理定理4-24-2向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示的充要條件是線性表示的充要條件是R(A) R(A B) 。12,nAa aa 12:,mB b bb 12,nAa aa 12:,mB b bb 定理定理4-24-2推論：推論：向量組向量組 與向量組與向量組 等價(jià)的充要條件是等價(jià)的充要條件是R(A) R(B)=R(A B) 。 定理定理4-44-4向量組向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是線性相關(guān)的充分必要條件是 它所構(gòu)成的矩陣它所構(gòu)成的矩陣 的秩小于向量個(gè)數(shù)的秩小于向量個(gè)數(shù)m 向量組線性無關(guān)的充分必要條件是向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)

29、m。 12:,mA a aa12,mAa aa 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 定理定理4-54-5 (2)(2)m個(gè)個(gè)n維向量組成的向量組維向量組成的向量組 當(dāng)維數(shù)當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān)。特別地特別地 n 1個(gè)個(gè)n維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性相關(guān)。 (1)(1)若向量組若向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量組則向量組B： 也線性相關(guān)也線性相關(guān)。反之反之 若向量組若向量組B線性無線性無關(guān)關(guān) 則向量組則向量組A也線性無關(guān)也線性無關(guān)。12:,mA aaa211,mmaa aa (3)(3)設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) 而向量組而向量

30、組B： 線性相關(guān)線性相關(guān) 則向量則向量 必能由向量組必能由向量組A線性表線性表示示 且表示式是唯一的且表示式是唯一的。 12:,mA aaa12,mabaab第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4-3 4-3 向量組的秩向量組的秩 上兩節(jié)在討論向量組的線性組合和線性相關(guān)性時(shí)上兩節(jié)在討論向量組的線性組合和線性相關(guān)性時(shí) 矩矩陣的秩陣的秩起了十分重要的作用起了十分重要的作用。為使討論進(jìn)一步深入為使討論進(jìn)一步深入 下面下面把秩的概念引進(jìn)向量組把秩的概念引進(jìn)向量組。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、最大無關(guān)組和向量組的秩一、最大無關(guān)組和向量組的秩 定義定義 設(shè)有向量組設(shè)

31、有向量組A 如果在如果在A中能選出中能選出r個(gè)向量個(gè)向量 ,滿足滿足12,ra aa (2)(2)向量組向量組A中任意中任意r 1個(gè)向量都線性相關(guān)個(gè)向量都線性相關(guān) (1)(1)向量組向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) 102:,ra aAa 則向量組則向量組A0稱為向量組稱為向量組A的一個(gè)的一個(gè)最大無關(guān)組最大無關(guān)組 最大無關(guān)組最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)所含向量的個(gè)數(shù)r稱為稱為向量組向量組A的秩的秩 記作記作RA 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組 規(guī)定它的秩為規(guī)定它的秩為0 0 向量組的最大無關(guān)組一般向量組的最大無關(guān)組一般不是唯一不是唯一的的. .第四章第四章 向量組的線性相

32、關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1231021 ,2 ,4157aaa 如如 例例4-54-5 123102(,)124137a a a r102011000 線性相關(guān)線性相關(guān) 而而 、 和和 都是線性無關(guān)組。都是線性無關(guān)組。13,a a 23,a a123,a a a 12,a a 所以所以 、 和和 都是向量組都是向量組 的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組。123,a a a 13,a a 23,a a12,a a 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性二、矩陣的秩與向量組的秩關(guān)系二、矩陣的秩與向量組的秩關(guān)系 定理定理4-64-6 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩 也等于它

33、的行也等于它的行向量組的秩向量組的秩。證明：證明： 則由則由r階子式階子式Dr 0知知Dr所在的所在的r列線性無關(guān)列線性無關(guān) 又由又由A中所有中所有r 1階子式均為零階子式均為零 知知A中任意中任意r 1 1個(gè)列向量個(gè)列向量都線性相關(guān)都線性相關(guān)。 因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組 所以所以A的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于r。 類似可證矩陣類似可證矩陣A的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于R(A)。 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 R(A) r 12(,)mAa aa第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性結(jié)論結(jié)論 若若Dr是矩陣是矩陣A

34、的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式 則則Dr所在的所在的r列即列即是是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組 Dr所在的所在的r行即是行即是A的行向的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換化為行階梯形。行初等行變換化為行階梯形。求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法向量組與其最大無關(guān)組向量組與其最大無關(guān)組等價(jià)等價(jià)。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-84-8 設(shè)設(shè) 求向量組求向量組 的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無

35、關(guān)組 解解 123452111211214,4622436979aaaaa 21112112144622436979Ar10104011030001300000 設(shè)設(shè)12345,a a a a a 對(duì)對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣：施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣：12345(,)Aa aa aa 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 三個(gè)非零行的首個(gè)非零元所對(duì)三個(gè)非零行的首個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的列向量應(yīng)的列向量a1 a2 a4為列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。為列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。即即A向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為：向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為：124211111,462367aaa 第四

36、章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 我們知道我們知道n維維單位坐標(biāo)向量單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的向量組構(gòu)成的向量組 例例4-94-9 全體全體n維向量構(gòu)成的向量組記作維向量構(gòu)成的向量組記作Rn 求求Rn的一個(gè)的一個(gè)最大無關(guān)組及最大無關(guān)組及Rn的秩的秩 因此因此 向量組向量組E是是Rn的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組 且且Rn的秩等于的秩等于n。 顯然顯然 Rn的最大無關(guān)組很多的最大無關(guān)組很多 任何任何n個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的n維向維向量都是量都是Rn的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組。 解解 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的 12:,nE e ee 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性三、最

37、大無關(guān)組的等價(jià)定義三、最大無關(guān)組的等價(jià)定義 (1)(1)向量組向量組A0線性無關(guān)線性無關(guān) (2)(2)向量組向量組A的任一向量都能由向量組的任一向量都能由向量組A0線性表示線性表示 那么向量組那么向量組A0便是向量組便是向量組A的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組 推論推論 設(shè)向量組設(shè)向量組 是向量組是向量組A的一個(gè)部分組的一個(gè)部分組 且滿足且滿足 012:,rAaaa 只要證向量組只要證向量組A中任意中任意r 1 1個(gè)向量線性相關(guān)個(gè)向量線性相關(guān) 證證 設(shè)設(shè) 是是A中任意中任意r 1個(gè)個(gè)向量向量 由條件由條件(2)(2)知這知這r 1 1個(gè)向量能由向量組個(gè)向量能由向量組A0線性表示線性表示 由由定

38、理定理4-34-3知，有知，有121,rb bb 12112( ,)( ,)rrR b bbR a aa 1rr第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性因此向量組因此向量組A0是向量組是向量組A A的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組。從而從而r 1個(gè)向量個(gè)向量 線性相關(guān)。線性相關(guān)。121,rb bb 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-104-10 設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組0750 3202243214214321xxxxxxxxxxx的全體解向量構(gòu)成的向量組為的全體解向量構(gòu)成的向量組為S 求求S的秩的秩 解解 先求線性方程組的通解先求線性方程組的通解

39、得得121223011157Ar1034012300001342343423xxxxxx 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性線性方程組的通解為線性方程組的通解為 4321xxxx1034012321cc 把上式記作把上式記作 則則1 122xcc1 12212,Sx xccc cR 因?yàn)橐驗(yàn)?的四個(gè)分量顯然不成比例的四個(gè)分量顯然不成比例 故故 線性無關(guān)線性無關(guān) 21, 21, 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镾能由向量組能由向量組 線性表示線性表示。21, 所以所以 是是S的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組 從而從而RS 2。21, 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性四、四、用向量組的秩陳述

40、的幾個(gè)定理用向量組的秩陳述的幾個(gè)定理 定理定理4-14-1 向量向量b能由向量組能由向量組 線性表示的充分線性表示的充分必要條件是：必要條件是：12,ma aa 定理定理4-24-2 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示的充分必要條件是的充分必要條件是12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-34-3 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性線性表示則：表示則：12,ma aa 12,lb bb 定理定理4-44-4 向量組向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是線性相關(guān)的充分必要條件是12,ma aa 1212(,)(, )mmR a aaR a aab 121212(,)(,

41、)mmlR a aaR a aab bb 1212( ,)( ,)lmR b bbR a aa 12(,)mR a aam 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-114-11 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求矩陣求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組 并把不屬于最大無并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示 解解 21112112144622436979A21112112144622436979Ar10104011030001300000 對(duì)對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣 AF 三個(gè)非零行的首非

42、零元所對(duì)三個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的列向量應(yīng)的列向量a1 a2 a4為列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。為列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。即即FA第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性A列向量的一個(gè)最大無關(guān)組為：列向量的一個(gè)最大無關(guān)組為：124211111,462367aaa 因此因此不妨設(shè)不妨設(shè)A的最簡(jiǎn)形矩陣的最簡(jiǎn)形矩陣12345(,)FAb b b b b 則向量則向量 之間與向量之間與向量 之間之間有相同的線性關(guān)系有相同的線性關(guān)系。 而而12345,a a a a a 12345,b bbbb312,bbb 5124433bbbb312,aaa 5124433aaaa第四章第四章 向量組的

43、線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4-4 4-4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu) (1)(1)n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組 有非零解的有非零解的 充要條件是系數(shù)矩陣的秩充要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A) n 0Ax (2)(2)n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組 有解的有解的 充要條件是充要條件是 且且Axb( )( , )R AR A b 當(dāng)當(dāng) n時(shí)方程組有唯一解時(shí)方程組有唯一解；( )( , )R AR A b( )( , )R AR A b當(dāng)當(dāng) n時(shí)方程組有無限多解時(shí)方程組有無限多解。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性、解向量的概念、

44、解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa或?qū)懗苫驅(qū)懗桑?）一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)0.Ax （2）第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1112211,nnxxx若若為方程為方程 的解，則的解，則0Ax 112111nx稱為方程組稱為方程組(1) (1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)(2)的解的解第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性、齊次線性方程組解的性質(zhì)、齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若若 為為 的解，

45、則的解，則12,xx0Ax 12x也是也是 的解的解. .0Ax （2 2）若若 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，則kx0Ax xk也是也是 的解的解. .0Ax 由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組稱此向量空間為齊次線性方程組 的的解空間解空間0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性（1 1）方程方程 的任一解都可由的任一解都可由S0線性表示線性表示 0Ax 1 122ttx

46、kkk 設(shè)設(shè)S是方程是方程 的解的集合的解的集合 是是S的的一個(gè)最大無關(guān)組一個(gè)最大無關(guān)組 則有則有: : 0Ax 012:,tS （2 2）S0的任何線性組合的任何線性組合因此因此 是方程是方程 的的通解通解。 1 122ttxkkk0Ax 都是方程都是方程 的解的解。0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性二、基礎(chǔ)解系及其求法二、基礎(chǔ)解系及其求法、基礎(chǔ)解系的定義、基礎(chǔ)解系的定義 齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系。12,t （1 1） 是是 一組一組線性表無關(guān)解線性表無關(guān)解 0Ax （

47、2 2） 的的任一解都可用任一解都可用 線性表示。線性表示。0Ax 12,t 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系，則0Ax 12,t 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性、線性方程組基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組基礎(chǔ)解系的求法111,1,10010000n rrr n rbbbbB 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，并不妨設(shè)，并不妨設(shè)A的的前前r個(gè)列向量線性無關(guān)。個(gè)列向量線性無關(guān)。于是于是 A可化為行最簡(jiǎn)形：可化為行最簡(jiǎn)形：第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1111,21,100100000n rrr n rnxbbx

48、bbx 11111,11,rn rnrrrr n rnxb xbxxb xbx 0Ax （3）第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì) 取下列取下列n-r組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 , 001 nrrxxx21., 100, 010代入（代入（3 3）式，依次可得）式，依次可得 rxx1.bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性,1111100rbb,1222010rbb,.1001n rr n rn rbb合起來便得到基礎(chǔ)解系合起來便得到基礎(chǔ)解系 ：,1 122n rn rxccc從而得到方程組從而得到方程組（

49、1 1）的通解的通解 ：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不是唯一的。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不是唯一的。第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性說明說明 （2 2） R(A) RS n。 定理定理4-74-7設(shè)設(shè)m n矩陣矩陣A的秩的秩R(A) r 則則n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 的解集的解集S的秩的秩RS n r。0Ax （1 1）當(dāng)當(dāng)R(A) r n時(shí)時(shí) 方程組方程組 的任何的任何n r個(gè)線性無個(gè)線性無關(guān)的解都可構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系關(guān)的解都可構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系。0Ax 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-124-12 求齊次線性方程組求齊次線性方程組037702

50、3520432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解 解解 對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形：作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形： r111125327731A231077540177000013423423775477xxxxxx第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性令令3410,01xx 122377,5477xx 1275,7102374701基礎(chǔ)解系為：基礎(chǔ)解系為： 方程組的通解為：方程組的通解為： 12112234xxccxx12237754771001cc第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-134-13

51、 設(shè)設(shè)Am nBn l 0， 證明證明R(A) R(B) n 。所以所以 R(A) R(B) n。又因?yàn)橛忠驗(yàn)镽S n R(A) 證證 即即表明矩陣表明矩陣B的的l個(gè)列向量都是齊次方程個(gè)列向量都是齊次方程 的解的解。0Ax 記記 則則 12( ,)lBb bb 12( ,)lA b bbO (1,2, )iAbOil 設(shè)方程設(shè)方程 的解集為的解集為S 由由bi S 知有知有 即即R(B) RS。 0Ax 12( ,)lSR b bbR 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性三、非齊次線性方程組的解三、非齊次線性方程組的解1212,30 xxAxbxAx設(shè)設(shè)及及都都是是的的解解 則則

52、為為性性質(zhì)質(zhì)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解. .非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì),0,.4 xAxbxAxxAxb設(shè)設(shè)是是方方程程的的解解是是方方程程的的解解則則仍仍是是方方程程質(zhì)質(zhì)的的解解性性第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2 2、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 1 1n rn rxkk其中其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解. .11nrnrkk Axb非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的通通解解為為: :第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向

53、量組的線性相關(guān)性、與方程組、與方程組 有解等價(jià)的命題有解等價(jià)的命題Axb12,; nba aa向向量量 能能由由向向量量組組線線性性表表示示1212,;nna aaa aab 向向量量組組與與向向量量組組等等價(jià)價(jià)1212,.nnAa aaBa aab 矩矩陣陣與與矩矩陣陣的的秩秩相相等等線性方程組線性方程組 有解有解Axb第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性、線性方程組的解法、線性方程組的解法（1 1）應(yīng)用應(yīng)用克拉默法則克拉默法則（2 2）利用利用初等變換初等變換特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要

54、的理論價(jià)值，可用來證明很多命題容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可用來證明很多命題特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 例例4-164-16 求解方程組求解方程組 解解 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B作行初等變換作行初等變換 化為行最簡(jiǎn)形：化為行最簡(jiǎn)形：可見可見R（A）= =R（B）=2=2 方程組有解。并有方程組有解。并有1234

55、123412340311232xxxxxxxxxxxx1111011131111232Br111012100122000001243412122xxxxx第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性241310,2xxxx取取得得，則方程組的，則方程組的特解特解：*11, 0, 022T而對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的而對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系：124342xxxxx11,1, 0, 0T21, 0, 2,1T原方程組的通解為：原方程組的通解為：12123411121000212010 xxccxx第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4-5 4-5 向量空間向量空間一

56、、向量空間的概念一、向量空間的概念說明說明（2 2）n 維向量的集合是一個(gè)向量空間維向量的集合是一個(gè)向量空間, ,記作記作Rn。 定義定義 設(shè)設(shè)V為為n維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V非空非空，且集合，且集合V對(duì)對(duì)于于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合，那么就稱集合V為為向量空間向量空間. .（1 1）集合集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉封閉指指,;VVV若若 則則,;VRV若若 則則第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性v向量空間舉例向量空間舉例 例例 判別下列集合是否為向量空間：判別下列集合是否為向量空間：,( ),1

57、2201TnnVxxxxxR,( ),22212TnnVxxxxxR( (3) )齊次線性方程組的解集齊次線性方程組的解集0SxAx( (4) )非齊次線性方程組的解集非齊次線性方程組的解集SxAxb不是不是向量空間。向量空間。是是向量空間向量空間不是不是向量空間向量空間是是向量空間向量空間第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性,1 12 212m mmVxaaaR 一般地，由向量組一般地，由向量組 所生成的向量空間為所生成的向量空間為,12ma aa ,VxabR ( (5) )設(shè)設(shè) 為兩個(gè)已知的為兩個(gè)已知的n維向量，集合維向量，集合,a b是一個(gè)向量空間。是一個(gè)向量空間。第四章

58、第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性二、向量空間的基與維數(shù)二、向量空間的基與維數(shù) 定義定義 設(shè)設(shè)V是向量空間，如果是向量空間，如果r個(gè)向量個(gè)向量 ，且滿足且滿足,12ra aaV (1) (1) 線性無關(guān)線性無關(guān),12ra aa(2) (2) V中任一向量都可由中任一向量都可由 線性表示。線性表示。,12ra aa 則向量組則向量組 就稱為向量空間就稱為向量空間V的一個(gè)的一個(gè)基基，r稱為向量空間稱為向量空間V的的維數(shù)維數(shù)，并稱，并稱V為為r維向量空間維向量空間。,12ra aa第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性,1 12 21rrrVxaaaR （1 1）只含有零向量的向量空間稱為只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因維向量空間，因此它沒有基。此它沒有基。說明說明 （3 3）若向