2015年高考數(shù)學真題分類匯編：專題(04)三角函數(shù)與解三角形(文科)及答案

1、2015年高考數(shù)學真題分類匯編 專題04 三角函數(shù)與解三角形 文1.【2015高考福建，文6】若，且為第四象限角，則的值等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】由，且為第四象限角，則，則 ，故選D【考點定位】同角三角函數(shù)基本關系式【名師點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關系式，在、三個值之間，知其中的一個可以求剩余兩個，但是要注意判斷角的象限，從而決定正負符號的取舍，屬于基礎題2.【2015高考重慶，文6】若,則（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】，故選A.【考點定位】正切差角公式及角的變換.【名師點睛】本題考查角的變換及正切的差角公式，采用先將未知角用已知角和表示出來，再

2、用正切的差角公式求解.本題屬于基礎題，注意運算的準確性.3.【2015高考山東，文4】要得到函數(shù) 的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（ ）（A）向左平移個單位  （B）向右平移個單位（C）向左平移個單位   （D）向右平移個單位 【答案】【解析】因為，所以，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位，故選.【考點定位】三角函數(shù)圖象的變換.【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的變換，解答本題的關鍵，是明確平移的方向和單位數(shù)，這取決于加或減的數(shù)據(jù).本題屬于基礎題，是教科書例題的簡單改造，易錯點在于平移的方向記混.4.【2015高考陜西，文6】“”是“”的（ ）A充分不必

3、要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要【答案】【解析】，所以或，故答案選.【考點定位】1.恒等變換；2.命題的充分必要性.【名師點睛】1.本題考查三角恒等變換和命題的充分必要性，采用二倍角公式展開，求出或.2.本題屬于基礎題，高考?？碱}型.【2015高考上海，文17】已知點 的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】設直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，因為，所以，即，因為，所以，所以或（舍去），所以點的縱坐標為.【考點定位】三角函數(shù)的定義，和角的正切公式，兩點間距離公式.【名師點睛】設直線的傾斜角為，則，再利用三角

4、函數(shù)定義、兩點間的距離公式找關于、的等式求解結論.數(shù)學解題離不開計算，應仔細，保證不出錯.5.【2015高考廣東，文5】設的內角，的對邊分別為，若，且，則（ ）A B C D【答案】B【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因為，所以，故選B【考點定位】余弦定理【名師點晴】本題主要考查的是余弦定理，屬于容易題解題時要抓住關鍵條件“”， 否則很容易出現(xiàn)錯誤本題也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角時要注意檢驗有兩角的情況，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是余弦定理，即6.【2015高考浙江，文11】函數(shù)的最小正周期是 ，最小值是 【答案】【解析】，所以；.【考點定位】1.三角函數(shù)的圖象

5、與性質；2.三角恒等變換.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質以及三角恒等變換.主要考查學生利用恒等變換化簡三角函數(shù)，利用整體代換判斷周期與最值的能力.本題屬于容易題，主要考查學生的基本運算能力以及整體代換的運用.7.【2015高考福建，文14】若中，則_【答案】【解析】由題意得由正弦定理得，則，所以【考點定位】正弦定理【名師點睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下兩類問題：（1）已知三角形的兩角和任意一邊，求三角形其他兩邊與角；（2）已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求三角形其他邊與角關鍵是計算準確細心，屬于基礎題8.【2015高考重慶，文13】設的內角A，B，C的對邊分別為

6、,且,則c=_.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因為,所以，由余弦定理得：，所以;故填：4.【考點定位】正弦定理與余弦定理.【名師點睛】本題考查正弦定理與余弦定理的應用，先由正弦定理將轉化為3a=2b結合已知即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.本題屬于基礎題，注意運算的準確性及最后結果還需開方.9.【2015高考陜西，文14】如圖，某港口一天6時到18時的誰深變化曲線近似滿足函數(shù)y3sin(x)k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為_.【答案】8【解析】由圖像得，當時，求得，當時，故答案為8.【考點定位】三角函數(shù)的圖像和性質.【名師點睛】1.本題考查三角函數(shù)的圖像和性質，

7、在三角函數(shù)的求最值中，我們經常使用的是整理法，從圖像中知此題時，取得最小值，繼而求得的值，當時，取得最大值.2.本題屬于中檔題，注意運算的準確性.【2015高考上海，文1】函數(shù)的最小正周期為 .【答案】【解析】因為，所以，所以函數(shù)的最小正周期為.【考點定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.【名師點睛】本題先用二倍角的余弦公式把函數(shù)轉化為，再根據(jù)求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及變形運用. 10.【2015高考湖南，文15】已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則 =_.【答案】 【解析】由題根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質可得交點坐標為

8、, 距離最短的兩個交點一定在同一個周期內， .【考點定位】三角函數(shù)圖像與性質【名師點睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形. 應把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結合，體會二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個交點” 一定在同一個周期內，本題也可從五點作圖法上理解.11.【2015高考天津，文14】已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增,且函數(shù)的圖像關于直線對稱,則的值為 【答案】 【解析】由在區(qū)間內單調遞增,且的圖像關于直線對稱,可得 ,且,所以【考點定位】本題主要考查三角函數(shù)的性質.【名師點睛】本題將三角函數(shù)單調性與對稱性結合在一起進行考查,敘述方式新穎,是一道考查能力的好題.注意

9、本題解法中用到的兩個結論:的單調區(qū)間長度是半個周期;若的圖像關于直線 對稱,則 或.12.【2015高考四川，文13】已知sin2cos0，則2sincoscos2的值是_.【答案】1【解析】由已知可得，sin2cos，即tan22sincoscos2【考點定位】本意考查同角三角函數(shù)關系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎知識，考查綜合處理問題的能力.【名師點睛】同角三角函數(shù)(特別是正余弦函數(shù))求值問題的通常解法是：結合sin2cos21，解出sin與cos的值，然后代入計算，但這種方法往往比較麻煩，而且涉及符號的討論.利用整體代換思想，先求出tan的值，對所求式除以sin2cos2(1)是此類題的常見

10、變換技巧，通常稱為“齊次式方法”，轉化為tan的一元表達式，可以避免諸多繁瑣的運算.屬于中檔題.13.【2015高考安徽，文12】在中，則 .【答案】2【解析】由正弦定理可知：【考點定位】本題主要考查正弦定理的應用.【名師點睛】熟練掌握正弦定理的適用條件是解決本題的關鍵，本題考查了考生的運算能力.14.【2015高考湖北，文15】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度_m. 【答案】.【解析】在中，根據(jù)正弦定理知，即，所以，故應填.【考點定位】本題考查解三角形的實際應用舉例，

11、屬中檔題.【名師點睛】以實際問題為背景，將抽象的數(shù)學知識回歸生活實際，凸顯了數(shù)學的實用性和重要性，體現(xiàn)了“數(shù)學源自生活，生活中處處有數(shù)學”的數(shù)學學科特點，能較好的考查學生識記和理解數(shù)學基本概念的能力和基礎知識在實際問題中的運用能力.【2015高考上海，文14】已知函數(shù).若存在，滿足，且，則的最小值為 .【答案】8【解析】因為函數(shù)對任意，欲使取得最小值，盡可能多的讓取得最高點，考慮，按下圖取值滿足條件，所以的最小值為8.【考點定位】正弦函數(shù)的性質，最值.【名師點睛】本題重點考查分析能力，轉化能力，理解函數(shù)對任意，是關鍵.15.【2015高考北京，文11】在中，則 【答案】【解析】由正弦定理，得，

12、即，所以，所以.【考點定位】正弦定理.【名師點晴】本題主要考查的是正弦定理，屬于容易題解題時一定要注意檢驗有兩解的情況，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是正弦定理，即16.【2015高考北京，文15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)（I）求的最小正周期；（II）求在區(qū)間上的最小值【答案】（I）；（II）.（），.當，即時，取得最小值.在區(qū)間上的最小值為.考點：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.【名師點晴】本題主要考查的是降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的最值，屬于中檔題解題時要注意重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是降冪公式

13、、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的圖象，即，函數(shù)（，）的最小正周期是17.【2015高考安徽，文16】已知函數(shù)（）求最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（） ；（）最大值為，最小值為0【解析】（）因為所以函數(shù)的最小正周期為.（）由（）得計算結果，當 時，由正弦函數(shù)在上的圖象知，當，即時，取最大值；當，即時，取最小值.綜上，在上的最大值為，最小值為.【考點定位】本題主要考查同角的基本關系、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質，以及正弦函數(shù)的性質.【名師點睛】熟練掌握三角函數(shù)的同角的基本關系和恒等變換公式以及三角函數(shù)的性質是解決本題的關鍵，考查了考生的基本運算能力.18.【20

14、15高考福建，文21】已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2（）求函數(shù)的解析式；（）證明：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得【答案】（）；（）（）；（）詳見解析【解析】（I）因為所以函數(shù)的最小正周期（II）（i）將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再向下平移（）個單位長度后得到的圖象又已知函數(shù)的最大值為，所以，解得所以（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即由知，存在，使得由正弦函數(shù)的性質可知，當時，均有因為的周期為，所以當（）時，均有因為對任

15、意的整數(shù)，所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得亦即存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得【考點定位】1、三角函數(shù)的圖像與性質；2、三角不等式【名師點睛】三角函數(shù)的定義域、值域、單調性、周期、奇偶性、對稱性都是通過將解析式變形為進行；若三角函數(shù)圖象變換是縱向伸縮和縱向平移，都是相對于而言，即和，若三角函數(shù)圖象變換是橫向伸縮和橫向平移，都是相對于自變量而言，即和；本題第（）問是解三角不等式問題，由函數(shù)周期性的性質，先在一個周期內求解，然后再加周期，將存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，轉化為解集長度大于1，是本題的核心19.【2015高考廣東，文16】（本小題滿分12分）已知（1）求的值；（2）求的

16、值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由兩角和的正切公式展開，代入數(shù)值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入數(shù)值，即可得的值試題解析：（1）（2） 考點：1、兩角和的正切公式；2、特殊角的三角函數(shù)值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函數(shù)的基本關系.【名師點晴】本題主要考查的是兩角和的正切公式、特殊角的三角函數(shù)值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關系，屬于中檔題解本題需要掌握的知識點是兩角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關系，即，20.【2015高考湖北，文18】某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內的圖象時

17、，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：0050 （）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數(shù)的解 析式； （）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到圖象，求 的圖象離原點最近的對稱中心.【答案】（）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.數(shù)據(jù)補全如下表：且函數(shù)表達式為；（）離原點最近的對稱中心為.【解析】（）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：，解得. 數(shù)據(jù)補全如下表：且函數(shù)表達式為. （）由（）知，因此 .因為的對稱中心為，. 令，解得，.即圖象的對稱中心為，其中離原點最近的對稱中心為. 【考點定位】本題考查五點作圖法和三角函數(shù)圖像的平移與三角函數(shù)的圖像及其性質，屬基礎題.【名師點睛】將五點作圖法、三角

18、函數(shù)圖像的平移與三角函數(shù)的圖像及其性質聯(lián)系在一起，正確運用方程組的思想，合理的解三角函數(shù)值，準確使用三角函數(shù)圖像的平移和三角函數(shù)的圖像及其性質是解題的關鍵，能較好的考查學生基礎知識的實際應用能力、準確計算能力和規(guī)范解答能力.21.【2015高考湖南，文17】（本小題滿分12分）設的內角的對邊分別為.（I）證明：；(II) 若，且為鈍角，求.【答案】（I）略；(II) 【解析】試題分析：（I）由題根據(jù)正弦定理結合所給已知條件可得，所以 ；(II)根據(jù)兩角和公式化簡所給條件可得，可得，結合所給角B的范圍可得角B,進而可得角A,由三角形內角和可得角C.【考點定位】正弦定理及其運用【名師點睛】解三角形

19、時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到22.【2015高考山東，文17】 中，角所對的邊分別為.已知 求 和 的值.【答案】【解析】在中，由，得.因為，所以，因為，所以，為銳角，因此.由可得，又，所以.【考點定位】1.兩角和差的三角函數(shù)；2.正弦定理.【名師點睛】本題考查了兩角和差的三角函數(shù)、正弦定理及函數(shù)方程思想，在正確理解題意的情況下，準確計算是關鍵.解答本題的一個易錯點是忽視對角的范圍的討論，

20、使解答陷入誤區(qū).本題是一道能力題，屬于中等題，重點考查兩角和差的三角函數(shù)、解三角形等基礎知識，同時考查考生的計算能力、思維的嚴密性、函數(shù)方程思想及應用數(shù)學知識解決問題的能力.23.【2015高考陜西，文17】的內角所對的邊分別為，向量與平行.(I)求；(II)若求的面積.【答案】(I) ；(II) .【解析】試題分析： (I)因為，所以，由正弦定理，得，又，從而，由于，所以；(II)解法一：由余弦定理，得，代入數(shù)值求得，由面積公式得面積為.解法二：由正弦定理，得，從而，又由知，所以，由，計算得，所以面積為.試題解析：(I)因為，所以由正弦定理，得，又，從而，由于所以(II)解法一：由余弦定理，

21、得，而，得，即因為，所以，故面積為.解法二：由正弦定理，得從而又由知，所以故 ，所以面積為.【考點定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面積.【名師點睛】1.本題考查解三角形和三角形的面積，利用正弦定理進行邊角互化，繼而求出的值；可利用余弦定理求出的值，代入到三角形面積公式求解計算.2.高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，其中關鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是 “變角”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據(jù)就是三角公式.24.【2015高考四川，文19】已知A、B、C為ABC的內角，tanA、tanB是關于方程x2pxp10

22、(pR)兩個實根.()求C的大小()若AB1，AC，求p的值【解析】()由已知，方程x2pxp10的判別式(p)24(p1)3p24p40所以p2或p由韋達定理，有tanAtanBp，tanAtanB1p于是1tanAtanB1(1p)p0從而tan(AB)所以tanCtan(AB)所以C60°()由正弦定理，得sinB解得B45°或B135°(舍去)于是A180°BC75°則tanAtan75°tan(45°30°)所以p(tanAtanB)(21)1【考點定位】本題主要考查和角公式、誘導公式、正弦定理、一元二次

23、方程根與系數(shù)關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想.【名師點睛】本題利用一元二次方程的韋達定理，給出三角形兩個內角正切值的關系式，求解過程中要注意對判別式的判定，表面上看，判別式對結論沒有什么影響，但這對考查學生思維習慣及其嚴謹性是很有必要的.第()問得到C60°后，第()問中要注意舍去B135°，否則造成失誤.屬于中檔題.25.【2015高考天津，文16】（本小題滿分13分）ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為, （I）求a和sinC的值;（II）求 的值.【答案】（I）a=8,;（II）.【解析】（I）由面

24、積公式可得結合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（II）直接展開求值.試題解析:（I）ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8.由 ,得.（II）,【考點定位】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎知識,考查基本運算求解能力.【名師點睛】解三角形問題實質是附加條件的三角變換,因此在解三角形問題的處理中,正弦定理、余弦定理就起到了適時、適度轉化邊角的作用,分析近幾年的高考試卷,有關的三角題,大部分以三角形為載體考查三角變換.26.【2015高考新課標1，文17】（本小題滿分12分）已知分別是內角的對邊，.（I）若，求 （II）若，且 求的面積.【答

25、案】（I）（II）1【解析】試題分析：（I）先由正弦定理將化為變得關系，結合條件，用其中一邊把另外兩邊表示出來，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（II）由（I）知，根據(jù)勾股定理和即可求出c，從而求出的面積.試題解析：（I）由題設及正弦定理可得.又，可得,由余弦定理可得.（II）由(1)知.因為90°，由勾股定理得.故，得.所以ABC的面積為1.考點：正弦定理；余弦定理；運算求解能力【名師點睛】解三角形問題的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解題過程中要注意邊角關系的轉化，根據(jù)題目需要合理選擇合理的變形復方向，本題考查利用正余弦定理解三角形和計算三角形面積，是基礎題.27.【2015

26、高考浙江，文16】（本題滿分14分）在中，內角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】(1)；(2)【解析】(1)利用兩角和與差的正切公式，得到，利用同角三角函數(shù)基本函數(shù)關系式得到結論；(2)利用正弦定理得到邊的值，根據(jù)三角形，兩邊一夾角的面積公式計算得到三角形的面積.試題解析：(1)由，得，所以.(2)由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.【考點定位】1.同角三角函數(shù)基本關系式；2.正弦定理；3.三角形面積公式.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的基本計算以及解三角形應用.根據(jù)兩角和的正切公式，計算角的正切值，利用同角三角函數(shù)基本關系式計算得到第一題的結論；根據(jù)角的正切值計算得到其正弦值，利用正弦定理計算得到邊的值，根據(jù)三角形內角和為及兩角和的正弦公式計算得到角的正弦值，有兩邊一夾角的面積公式計算得