三力平衡的四種解法

1、三力平衡的四種解法處理三個(gè)力的平衡時(shí)，有四種解法。（一）分解法：（二）合成法：（三）三角形法：（四）正交分解法：三個(gè)共點(diǎn)力作用于物體使之平衡時(shí)，這三個(gè)力首尾相連，圍成一個(gè)封閉的三角形.如有直角直接解直角三角形；如已知角用正余弦定理；如已知邊，用力組成的三角形與邊組成的三 角形進(jìn)行相似比。例 如圖所示，一粗細(xì)不均勻的棒長L=6m ,用輕繩懸掛于兩壁之間，保持水平，已知a =450, 3 =300求棒的重心位置。解：三力平衡必共點(diǎn)，受力分析如圖所示。由正弦定理得：由直角三角形得：（三）有的多個(gè)力的平衡轉(zhuǎn)化成三力的平衡求解：先把同一直線上的力先求和，后只剩下三個(gè)力的平衡，再求解。例一重量為G的小環(huán)套

2、在豎直放置的、半徑為R的光滑大圓環(huán)上，一個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為 k、 自然長度為L （L<2R）的輕彈簧，其一端與小環(huán)相連，另一端固定在大環(huán)的最高點(diǎn)。在不 計(jì)摩擦?xí)r，靜止的彈簧與豎直方向的夾角。是多大？解：由三角形相似有由正弦定理有小結(jié)：（1）由分析得出彈簧是伸長的。（2）同時(shí)用相似與正弦定理。如圖所示，一粗細(xì)不均勻的棒，棒長AB=6m用輕繩懸掛于兩壁之間，保持水平,已知a =45° , 0 =30° ,求棒的重心位2010-11-16 12:24提問者：、堀綃J 度|懸賞分：20 |瀏覽次數(shù)：441次繩與壁的夾角為a bU2010-11-16 17:07最佳答案設(shè)A、B端繩子

3、的拉力分別為F1、F2。重心距A為L,由水平方向受力平衡得:F1sin45 =F2sin30 °以A端為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件得：F2cos300 *AB=G*L再以B為支點(diǎn)，由杠桿平衡條件得：F1cos45° *AB=G* (AB-L)聯(lián)立可求出L=3(3-，3)=3.8米在很多教學(xué)參考書和學(xué)習(xí)指導(dǎo)書中都能看到這樣一個(gè)題目：一個(gè)質(zhì)量為m的小環(huán)套在位于豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑大圓環(huán)上. 有一個(gè)勁度系數(shù)為k、自然長度為 L (LV2R)的輕彈簧，其一端與小環(huán)相連，另一端固定在大環(huán)的最高點(diǎn)， 如圖1所示.當(dāng)小環(huán)靜止時(shí)，彈簧處于伸長還是壓縮狀態(tài)？彈簧與豎直方向的夾角。是多少？一般書

4、中都有答案：彈簧伸長.0=arccos (kL) /( 2(kR-mg).圖1圖2以上答案的求解過程如下：如圖2所示，用 窮舉法”可以證明，彈簧對(duì)小環(huán)的彈力只可能是向里的，即彈簧必定伸長.根據(jù)幾何知識(shí)，同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍”，即圖中彈簧拉力T在重力mg和大環(huán)彈力N所夾角的角平分線上.所以計(jì)算可得N=mg,T=2mgcos9 .另外，根據(jù)胡克定律有T=k (2Rcos0-L),根據(jù)以上各式可得cosO=(kL/2 (kR-mg).二、發(fā)現(xiàn)的問題到此似乎題目已經(jīng)解決了，但是再仔細(xì)一想?yún)s發(fā)現(xiàn)了新的問題.因?yàn)?cos。的取值范圍 是一IWcosOW而上面cos。的表達(dá)式中，由于各個(gè)參數(shù)k、L

5、、R、m等可以獨(dú)立變化取不同的值(只要滿足 LV2R),因此表達(dá)式右邊的值完全可能超出cos。的值域，例如當(dāng) m較大時(shí)(或L較大，或R、k較小，它們的效果是一樣的)，完全可能大于1,此時(shí)上式cos 0 無解.(當(dāng)m更大時(shí)甚至還可能是負(fù)的，。也許有解，但這意味著。是個(gè)鈍角，顯然也不符合實(shí)際.)但是，我們知道，無論m多大，小環(huán)必定會(huì)有一個(gè)平衡位置，。必定會(huì)有一個(gè)確定的解，因此上面的解答必定是一個(gè)不完整的解.那么完整的解是怎樣的呢？令cos 0 =1即0 =0導(dǎo) kL=2 (kRmg), 即 mg= (1/2) k (2R-L),這是一個(gè)重要的臨界值.由cos。的表達(dá)式可知，m越大，cos。也越大，

6、。角就越小.當(dāng)mgv (1/2) k (2R-L) 時(shí)，0>0,小環(huán)不在大環(huán)的最低點(diǎn)；隨著m的逐步變大，。逐步變小，當(dāng)mg= (1/2) k (2R-L)時(shí)，0 =0小環(huán)恰好降低到大環(huán)的最低點(diǎn)；以后隨著m的再進(jìn)一步變大，小環(huán)的位置不會(huì)再變化了(哪怕 m增大到使cos。的表達(dá)式變?yōu)樨?fù)的).由此可見，。(或者cos0的表達(dá)式應(yīng)該是 分段函數(shù)”，cos 壯 (kL) / ( 2 ( kR-mg ),mg< (1/2) k ( 2R-L)1,mg> (1/2) k (2R-L)T= k (2Rcos-L), k (2R-L), N= mg , k (2R-L) -mg,這個(gè)問題還可以

7、進(jìn)一步研究下去.當(dāng) mg> (1/2) k (2R-L)以后，隨著 m的繼續(xù)增 大，。三嗯不會(huì)再有變化了，但并不意味著就什么都不變.其實(shí)，當(dāng) mgv (1/2) k (2R L)時(shí)，隨著m的增大，彈簧拉力 T和大環(huán)彈力N的大小始終滿足 T=2mgcos9和N=mg , 而且方向也相應(yīng)改變.但一旦當(dāng) mg> (1/2) k (2RL)后，m再增大時(shí)，T和N兩個(gè)力 的方向就都保持在豎直方向(與mg在同一直線)而不再改變，改變的僅僅是力的大小了. 也 就是說，T和N也是 分段函數(shù)m處(1/2) k (2R-L)m心(1/2) k (2R-L)巾空(1/2) k (2R-L)n儂(1/2)

8、 k (2R-L)我們看其中N的第二段表達(dá)式 “N=k(2R-L) -mg , N>0,表示N的方向向下，此時(shí) (1/2) k (2R-L) wmg k (2RL);當(dāng) Nv0,表示 N 的方向向上，此時(shí) mg>k (2R L);而當(dāng)mg=k (2RL)時(shí)，N=0.也就是說，當(dāng) m逐漸增大到 mg= (1/2) k (2R-L) 時(shí)，小環(huán)恰好降到最低點(diǎn)(。=0,此時(shí)大環(huán)對(duì)小環(huán)的彈力N方向仍然是向下，大小仍等于mg (跟9W時(shí)的情況相同).不過隨著m的進(jìn)一步增大，N先是大小漸漸減小到 0,然后再 方向改變?yōu)橄蛏喜⒅饾u增大(彈簧彈力在這期間內(nèi)則始終等于k (2R-L).并不是小環(huán)一落到

9、最低點(diǎn)大環(huán)對(duì)它的支持力馬上變?yōu)橄蛏系?有興趣的讀者可以自己畫出T、N (的大小)還有 。隨m的變化圖線，都是一些 分段函數(shù)曲線”，其中都有一段水平段.生提問：一個(gè)重為G的小環(huán)套在豎直放置的半徑為 R的光滑大圓環(huán)上，一個(gè)勁 度系數(shù)為此，原長為L (L<2R)的輕彈簧，一端固定在大圓頂點(diǎn) A,另一端與小 環(huán)相連，小環(huán)在大圓環(huán)上可無摩擦滑動(dòng)，小環(huán)靜止于 B點(diǎn)時(shí)，如圖16所示，求 彈簧與豎直方向的夾角9老師思路分析：該題屬于一個(gè)物體平衡問題，注意看清各力之間的關(guān)系G _ f答:在上圖中，由三角形相似得：五一荻彘，解得：日。，根據(jù)胡克定律有f 二 kQRm電L)cos e = e 二 arccos

10、 聯(lián)立求解得：2期-。得：2(kR-G)顯然，當(dāng)小環(huán)處于大圓環(huán)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的時(shí)候， 彈簧的對(duì)小環(huán)的力，大圓環(huán)對(duì)小圓環(huán)的彈力，和小環(huán)的重力都在豎直方向，故三立平衡，可以靜止，于是彈簧與豎直方向的夾角為0的時(shí)候，小環(huán)可以靜止在夾角非0的情況我稍后補(bǔ)上回答人的補(bǔ)充2009-10-14 08:17加圖所亍,隹臾將非。的情況分析如瑁假設(shè)小環(huán)在月處靜止.此時(shí)彈簧與豎直方向的夾布設(shè)為）小環(huán)受到自身的重力8彈簧拉力浦口大底誣對(duì)其的痹力M 三力平的（圖中，GA為半徑，4E為在/I點(diǎn)處的切線）將三個(gè)力投影到西方向上，有Gcos（900-cgs（900- a）即C? sm 2a =產(chǎn)&in 口 =產(chǎn)=

11、2C?cas a此時(shí),彈簧的拉力嚴(yán)耳2尺C05S-A）即上（2K cos a - L）= 2G cos a => cos a = 一i'2kR-2G所以,此時(shí)彈簧與豎直方向上的夾角為就soj3 2kR- 2G）繩OCf豎直方向30°角,C為一定滑輪,物體A與B用跨過定滑輪的細(xì)繩相連且均保持靜止，2011-1-26 19:15提問者：mylove翰爽囹|瀏覽次數(shù)：575次純OC與豎直方向30°角,C為一定滑輪，物體A與B用跨過定滑輪的細(xì)繩相連且 均保持靜止，如圖所示，已知B的重力為100N ,地面對(duì)B的支持力為80N ,純 的質(zhì)量、滑輪質(zhì)量、滑輪摩擦均不計(jì)，試求：（1）物體A的重力（2）物體B 與地面間的摩擦力（3）純OC的拉力E12011-1-26 20:45最佳答案如圖一，根據(jù)力的合成，因?yàn)榱?CA=CB ,四邊形ACBD是菱形，/ DCA=30如圖二，拉力F的分解為F1、F2.,因?yàn)? ACB=60 ,所以F拉和F2的夾角為 300分析：GB=100N ,支持力 NB=80N , F