GM11模型的應(yīng)用

1、GM(1,1)預(yù)測模型的應(yīng)用灰色預(yù)測是基于GM(1,1)預(yù)測模型的預(yù)測，按其應(yīng)用的對(duì)象可有四種類型：(1)數(shù)列預(yù)測。這類預(yù)測是針對(duì)系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化所進(jìn)行的預(yù)測。災(zāi)變預(yù)測。這類預(yù)測是針對(duì)系統(tǒng)行為的特征值超過某個(gè)闕值的異常值將在何 時(shí)出現(xiàn)的預(yù)測。季節(jié)災(zāi)變預(yù)測。若系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年 中的某個(gè)特定的時(shí)區(qū)，則該預(yù)測為季節(jié)性災(zāi)變預(yù)測。 拓?fù)漕A(yù)測。這類預(yù)測是對(duì)一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測。例1 (數(shù)列預(yù)測)：設(shè)原始序列X (0) (x(1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5) (2.874,3,278,3,337,3

2、,390,3.679)試用GM(1,1)模型對(duì)X(0)進(jìn)行模擬和預(yù)測，并計(jì)算模擬精度 解：第一步：對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加，得X (1) (2.874,6,152,9,489,12,897,16,558)第二步：對(duì)X(0)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。由(k)x(0)(k)x(k 1)得(3) 0,54, (4) 0,36 0,5, (5) 0,29 0,5。當(dāng)k>3時(shí)準(zhǔn)光滑條件滿足。第三步：檢驗(yàn)X(1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。由(k)x(k)1x(1) (k1)(k)得 (1)(3) 1,54,(4) 1,36, (1) (5) 1,29當(dāng)k>3時(shí)，(1) (k)1,1,5,0.5,準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，

3、故可對(duì)X建立GM(1,1)模型。第四步：對(duì)X作緊鄰均值生成，得Z(4.513,7,820,11,184,14,718)于是第五步:第六步:z()(2) z(3) z(4) z(1)(5)對(duì)參數(shù)列？T 1 T(BtB) 1BTY確定模型4.5131x(0)(2)3.2787.8201x(0) (3)3.33711.1841，x(0)(4)3.39014.7181x(0) (5)3.679a, bT進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得0.03723.0653dx(1)3.0653dx 0.0372x(1) dt及時(shí)間響應(yīng)序列?(1)(k1) (x(0)-)e ak b 85.276151 e00372k 82.4

4、02151 a a第七步：求X(1)的模擬值火 便(1), ?(2),。(3),，)(4),. (5)(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第八步：還原求出X(0)的模擬值。由?(k 1) a？(k 1) - 1)，)(k)得*(0)(娉(1), ?(0) (2),欠(0) (3), ?(4),婷(5)(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)第九步：檢驗(yàn)誤差。由下表可算出殘差平方和： 誤差檢驗(yàn)表廳p實(shí)際數(shù)據(jù)(0)/1 x (k)模擬數(shù)據(jù)x(0)(k)殘差(k)x(0)(k)-姆(k)相對(duì)誤差| (k)|k(0)/1 x (k

5、)23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相對(duì)誤差1.6025%第十步：預(yù)測00)(k 1)?(1) (6) 85.276151e0.0372 5 82.402151 20.3063?(0)(6) 3.7505?(1) (7) 85.276151e0.03726 82.402151 24.1991?(0)(7) 3.8928例2 (災(zāi)變預(yù)測)：某企業(yè)生產(chǎn)用原料屬受自然災(zāi)害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品。一般來 說，自然災(zāi)害的發(fā)生有其偶然性，但對(duì)歷史數(shù)據(jù)的整理

6、，仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性。為 盡量減少生產(chǎn)不受自然災(zāi)害的影響，該企業(yè)希望了解影響原料供應(yīng)的規(guī)律性并提前做 好原料儲(chǔ)備，所收集數(shù)據(jù)見下表，并規(guī)定每畝平均收獲量小于32仃克時(shí)為欠收年份, 將影響原料的正常供應(yīng)，現(xiàn)應(yīng)用灰色災(zāi)變預(yù)測來預(yù)測下次發(fā)生欠收的年份。原料收獲統(tǒng)計(jì)表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號(hào)替換，并找出收獲量小于32仃克

7、的年份序號(hào)形成初始序列(0)。本例初始序列：(0)(3,8,10,14,17)一次累加生成序列：(1) (3,11,21,35,52)(1)的緊鄰均值生成序列：Z(7,16,28,43.5)第二步：按Z建GM(1,1)模型。71(0)(2)8161(0)(3)10281 ,Y(0) (4)1443.51(0)(5)170.253616.25834z (2)Bz(3)z (4) z(5)1111a (BTB) 1BTY(t 1) (0)(t) beat b 27.67702e0.25361t 24.67702a a第三步：預(yù)測當(dāng) t=6 時(shí)，？(1)(6) 73.684?(0)(6) 21.68

8、48因此，下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后 將出現(xiàn)欠收年份。其他預(yù)測類型見參考書 五、殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型精度不符合要求時(shí)，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對(duì)原來模 型進(jìn)行修正，以提高精度。定義4設(shè)(0)( (0)(1)，(2)，(n)其中，(k) x(0)(k)-?(k)為X的殘差序列。若存在ko,滿足1. k ko, (0)(k)的符號(hào)一致；2. n k。 4 ,則稱(I (k0)|,| (0)(k0 1)|,.,| (0)(n)|)為可建模殘差尾段，仍記為(0)( (0)(k0), (0)(k01),., (0)(n)

9、命題1設(shè)(0)( (0)(k0), (0)(k01),.,(n)為可建模殘差尾段，其一次累加序列(1)(k0),(k0 1),.,(n)的GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為o(1)(0)b a (k k0)b? (k 1) ( (k0) 一)e, kk0aa則殘差尾段的模擬序列為?(0)(?(0)(k0), ?(0)(k01),., ?(0)(n)其中?(0) (k 1) ( a )( (0) (k0) )e a (k k0) , k k0a定義5若用？修正父則稱修正后的時(shí)間響應(yīng)式(x(0)與eak -, kk0?(1) (k 1). a a .(x(0)(1) 當(dāng)e"9 a( (0)

10、(k0)、ea ，k k0a aa為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)0其中殘差修正值?(0)(k 1) ( a )(k。)-)e a (k ko) a的符號(hào)應(yīng)與殘差尾段(0)的符號(hào)保持一致。定義 6 若必0)(k) X(1)(k) ?(1) (k 1) (1 ea)(x(0)(1) B)e a(k "則相應(yīng)的殘差修 a正時(shí)間響應(yīng)式(1 ea)(x(0)(1) -)e ak, k k0父(k 1)ba b(1 ea)(x(0) b)eak a ( (0)(k0) .)e a ，k k0aa稱為累減還原式的殘差修正模型。例題湖北省云夢(mèng)縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為X (0)(x(0

11、)(1),x(0)(2), x(0)(3),x(0)(4), x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7), x(0) (8),.,x(0) (13)(6,20,40,25,40,45, 35,21,14,18,15.5,17,15)建立GM(1,1)模型，得時(shí)間響應(yīng)式為?(1) (k 1)567.999e 0.06486k 573.999作累減還原，得)?(0)婢(k)23(35.6704,33.430331.3308,29.3682,27.5192,25.7900,24.1719) ,22.6534,21.2307,19.8974,18.647817.4768)檢驗(yàn)其精度：列出

12、誤差檢驗(yàn)表誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對(duì)誤差x(0)(k)x(0)(k)(k)x(0)(k)-婢(k)I (k)|kx(0)(k)212035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.

13、519.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相對(duì)誤差30.11%由此可見，相對(duì)精度不到70%需采用殘差模型進(jìn)行修正。取ko=9,得殘差尾段(0) ( (0)(9), (0) (10), (0)(11), (0)(12), (0)(13)(8.6534, 3.2307, 4.3974, 1.6478, 2.4768)此為可建模殘差尾段，去絕對(duì)值，得(0)(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型，得(0)的一次累加序列 的時(shí)間響應(yīng)式:?(

14、1)(k 1)24e °.16855(k 9)32.7其導(dǎo)數(shù)還原值為。(0)0.16855( k 9)0.16855(k 9)? (k 1) ( 0.16855)( 24)e4.0452e由父(0)(k1)0(1)(k1)及(k) (1ea)(x(0)(1)b ak0.06486 k -)e 38.0614e 可得累 a38.0614e 0.06486k, k娉(k 1)減還原式殘差修正模型為38.0614e 006486k4.0452e 0.16855(k 9) , k 9其中，?(0)(k 1)的符號(hào)與原始?xì)埐钚蛄械姆?hào)一致按此模型，可對(duì)k=10,11,12,13四個(gè)模擬值進(jìn)行休

15、整，修正后的精度如下表: 誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對(duì)誤差x(0)(k)X(k)(k)x(k)-婢(k)| (k)|kx(0)(k)101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相對(duì)誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時(shí)殘差序列已不滿足建 模要求，若對(duì)殘差精度仍不滿意，就只有考慮采用其它模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適 當(dāng)取舍。六、GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。 我們?cè)谠?/p>

16、數(shù)據(jù)序列 中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個(gè)模型。一般來說，去不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也 不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)a,b的值也不一樣。 這種變化，正是不同情況、不同條件對(duì)系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國的糧食產(chǎn)量，若采用建國以來的數(shù)據(jù)建立 GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)-a偏??；而舍去1978年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)-a明顯增大定義 1 設(shè)序列 X(0)(x(o)(1),x(o)(2),.,x(o)(n)將x(0)(n)取為時(shí)間軸的原點(diǎn)，則稱t<n為過去，t=n為現(xiàn)在，t>n為未來。定義2 設(shè)序列 X(0)(x(0)(1),x

17、(0)(2),.,x(0)(n),婢(k 1) (1 ea)(x(0)(1) -)e ak ,a為其GM(1,1)時(shí)間相應(yīng)式的累減還原值，則：1 .當(dāng)t n時(shí)，稱？(0)(t)為模型模擬值；2 .當(dāng)t n時(shí)，稱?(t)為模型預(yù)測值。建模的主要目的是預(yù)測，為提高預(yù)測精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤 其是t=n時(shí)的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括x(0)(n)在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列。定義3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X(0) (x(0)(1),x(0)(2),.,x(0)(n)1 .用 X (0)(x(0) (1), x(0)(2),., x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù) GM(1

18、,1);2 . k0 1,用 X(0) (x(0)(k0),x(0)(k0 1),x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù) GM(1,1);3 .設(shè)x(0)(n 1)為最新信息，將x(0)(n 1)置入X(0),稱用X(0) (x(0)(1),x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(n 1)建立的模型為新信息 GM(1,1);4 .置入新信息x(0)(n 1),去掉最老信息x(0) (1),稱用X(0) (x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(n 1)建立的模型為新陳代謝 GM(1,1)。很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測效果會(huì)更好。任何一個(gè)系統(tǒng)隨著時(shí)間的 推移，將

19、會(huì)不斷地有一些隨機(jī)擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素進(jìn)入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展受到影響。因 此，在實(shí)際預(yù)測中，必須不斷地將每一個(gè)新數(shù)據(jù)置入，已考慮到這些隨機(jī)或驅(qū)動(dòng)因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意義 將逐步降低，在不斷補(bǔ)充新信息的同時(shí)，及時(shí)地去掉老數(shù)據(jù)，建模序列更能反映系統(tǒng) 在目前的特征。七、GM(1,1)模型的適用范圍可以證明，當(dāng) GM(1,1)的發(fā)展系數(shù)|a| 2時(shí)，GM(1,1)模型無意義。因此，(,2 2,)是6乂(1,1)發(fā)展系數(shù)a的禁區(qū)。在此區(qū)間，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當(dāng)|a| 2時(shí)，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預(yù)測效果也不同。通過數(shù)值分析，有如下結(jié)論：(1)當(dāng)a 0.3時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測精度在98%Z上，2步和5步預(yù)測精度都在 97%；上，可用于中長期預(yù)測；(2)當(dāng)0.3 a 0.5時(shí)，GM(1,1)的1步和2步預(yù)測精度都在90蛆上，10步預(yù)測 精度也高于80%可用于短期預(yù)測，中長期預(yù)測慎用；(3)當(dāng)0.5 a 0.8時(shí)，GM(1,1)用作短期預(yù)測應(yīng)十分慎重；(4)當(dāng)0.8 a 1時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測精度已低于70%應(yīng)采用殘差修正模型；(5)當(dāng)a 1時(shí)，不宜采用GM(1,1)模型。八、GM(1,N)、GM(0,N)、GM(