2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布11分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理

1、【2019最新】精選高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布11-1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理考綱展示？ 1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn) 題.考點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方 案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=種不同的方法.答案：n分類加法計(jì)數(shù)原理：每一種方法都能完成這件事情；類與類之間是獨(dú)立的.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友， 每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有

2、 種.答案：10解析：贈(zèng)送1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)，需從4人中選取1人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余贈(zèng)送集 郵冊(cè)，有C種方法；贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，需從4人中選出2人送畫冊(cè)，其余 2人送集郵冊(cè)，有C種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的贈(zèng)送方法有 C+ C= 10（種）. 典題1 （1）2017 重慶銅梁第一中學(xué)月考如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰好有3個(gè) 數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有（）A 9個(gè)B.3個(gè)C.12個(gè)D.6個(gè)答案C解析當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時(shí)，有CC種；當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時(shí)，有C種.由分 類加法計(jì)數(shù)原理得滿足條件的“好數(shù)”有 C- C+ C= 12

3、（個(gè)）.2017 河南鄭州質(zhì)檢滿足a, b6 1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+ b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)（a, b）的個(gè)數(shù)為（）A. 14 B . 13 C . 12 D . 10答案B解析 當(dāng)a = 0,有乂= 一, b=-1,0,1,2，有4種可能； 當(dāng) a?0 時(shí)，則= 4-4ab>0, ab<1.（i ）當(dāng) a=-1 時(shí)，b=-1,0,1,2 ,有 4 種可能；（ii）當(dāng) a=1 時(shí)，b=1,0,1 ,有 3 種可能；（iii）當(dāng)a=2時(shí),b=1,0,有2種可能.所以有序數(shù)對(duì)（a, b）共有4+4+3+ 2= 13（個(gè)）.點(diǎn)石成金利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的注意

4、事項(xiàng)（1）根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；（2）分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).考點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的 方法，那么完成這件事共有 N=種不同的方法.答案：mxn分步乘法計(jì)數(shù)原理：所有步驟完成才算完成；步與步之間是相關(guān)聯(lián)的.將甲、乙、丙等6人分配到高中三個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)2人，要求甲必須在高一年 級(jí)，乙和丙均不能在高三年級(jí)，則不同的安排種數(shù)為 .答案：9分步計(jì)數(shù)原理：步驟互相獨(dú)立，互不干擾；步與步確保連續(xù)，逐步完成.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)

5、定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母 B, C, D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從09這十個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），某車主第一 個(gè)號(hào)碼（從左到右）只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇,則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有種.答案：960解析：按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有 5X3X4X4X4= 960(種).典題2 (1)2017 廣東佛山二模教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由 一層到五層的走法有()A. 10 種 B . 25 種 C . 52 種 D . 24 種答

6、案D解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.(2)已知集合 昨3, 2, 1,0,1,2 , P(a, b)(a , b6M法示平面上的點(diǎn)，則P可表示平面上 個(gè)不同的點(diǎn)；P可表示平面上個(gè)第二象限的點(diǎn).答案366解析確定平面上的點(diǎn)P(a, b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種方法；第2步，確定b的值，也有6種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6X6=36.確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第1步，確定a,由于a<0,所以有3種方法；第2步，確定b,由于b>0,所以有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)

7、數(shù)是3X2= 6.點(diǎn)石成金1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.201 7 河北石家莊模擬將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個(gè)不同的班， 每個(gè)班 至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）答案：8解析：第1步，把甲、乙分到不同班級(jí)有A= 2（種）分法；第2步，分丙、丁：丙、丁分到同一班級(jí)有2種方法；丙、丁分到兩個(gè)不同班級(jí)有 A= 2（種）分

8、法.由分 步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的分法為 2X（2+ 2） =8（種）.考點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用考情聚焦兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題.主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一涂色問(wèn)題典題3 2017 四川成都二診如圖所示，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色， 則不同的涂色種數(shù)為.答案96解析（1）按區(qū)域1與3是否同色分類：區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3,有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5（還有3種顏色），有A種方法.區(qū)域1與3同色，共有4A= 24（種）方法.區(qū)域

9、1與3不同色：先涂區(qū)域1與3有A種方法，第二步涂區(qū)域2有2種涂色 方法，第三步涂區(qū)域4只有一種方法，第四步涂區(qū)域 5有3種方法.共有 AX 2X1X3= 72（種）方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法為24+ 72=96（種）.角度二選派或分配問(wèn)題典題4某班一天上午有4節(jié)課，每節(jié)都需要安排1名教師去上課，現(xiàn)從A,B, C, D, E, F 6名教師中安排4人分別上一節(jié)課，第一節(jié)課只能從 A, B兩人中安排 一人，第四節(jié)課只能從A, C兩人中安排一人，則不同的安排方案共有多少種？解（1）第一節(jié)課若安排A,則第四節(jié)課只能安排C,第二節(jié)課從剩余4人中任 選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有

10、4X3= 12（種）排法.（2）第一節(jié)課若安排B,則第四節(jié)課可由A或C上，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有2X4X3= 24（種）排法.因此不同的安排方案共有12+24= 36（種）.角度三幾何問(wèn)題典題5已知兩條異面直線a, b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為（）A. 40 B . 16 C . 13 D . 10答案C解析分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面.根 據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定 8+ 5= 13（個(gè)）不同的平面.角度四

11、集合問(wèn)題典題6 已知集合 昨1,2,3,4，集合A, B為集合M的非空子集，若對(duì)？ x6A, y6B, x<y恒成立，則稱（A, B）為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合 M的“子集對(duì)” 共有個(gè).2019 年 答案17解析當(dāng)人=1時(shí),B有231=7（種）情況;當(dāng)人=2時(shí),B有221=3（種）情況;當(dāng)人=3時(shí)，B有1種情況；當(dāng)人=1,2時(shí)，B有221=3（種）情況;當(dāng)人=1,3 , 2,3 , 1,2,3時(shí)，B均有1種情況;所以滿足題意的“子集對(duì)”共有 7+3+ 1 + 3 + 3= 17（個(gè)）.角度五與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題典題7如果一個(gè)三位正整數(shù)如“ a1a2a3”滿足a1<a2,且a2&g

12、t;a3,則稱這樣的 三位數(shù)為凸數(shù)（如120,343,275等），那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. 240 B . 204 C . 729 D . 920答案A解析若a2 = 2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0, “凸數(shù)”為120與121,共2個(gè)，若a2=3,滿足條件的“凸數(shù)”有2X3= 6（個(gè)），若a2 = 4,滿足條件的“凸數(shù)”有3X4= 12（個(gè)），若a2 = 9,滿足條件的“凸數(shù)”有8X9= 72（個(gè)）.所以所有凸數(shù)有 2 + 6+12+20+ 30 + 42+56+72= 240（個(gè)）.點(diǎn)石成金1.注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題時(shí)，一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加

13、法計(jì)數(shù)原理.2 .注意對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.3 .解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.方法技巧1.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步.在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚“分類”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是 什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.2. （1）分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類 加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).（2）分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之 間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法

14、計(jì)數(shù)原理，把完成 每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).3.混合問(wèn)題一般是先分類再分步.4.要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.易錯(cuò)防范1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分 步進(jìn)行.2.分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計(jì)分步的程序， 即合理分類，準(zhǔn)確分步.3.確定題目中是否有特殊條件限制.一真題演練集訓(xùn).1. 2016 新課標(biāo)全國(guó)卷H 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最 短路徑條數(shù)為（）A 24 B . 18 C . 12 D . 9答案：B解析：

15、由題意可知ECF共有6種走法，F(xiàn)-G共有3種走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原 理知，共有6X3= 18（種）走法，故選B.2. 2016 新課標(biāo)全國(guó)卷田定義“規(guī)范01數(shù)列” an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0, m項(xiàng)為1,且對(duì)任意kw2m a1, a2,，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè) 數(shù).若m= 4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A. 18 個(gè) B . 16 個(gè)C. 14 個(gè) D . 12 個(gè)答案：C解析：由題意可得，a1 = 0, a8=1, a2, a3,，a7中有3個(gè)0、3個(gè)1,且滿足對(duì)任意k<8,都有a1, a2,，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不 同 的 “規(guī) 范 01

16、 數(shù) 列 ” 有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011, 00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101 ,共 14 個(gè).3. 2016 四川卷用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的 個(gè)數(shù)為（）A 24 B . 48C. 60 D . 72答案：D解析：由題意可知，個(gè)位可以從1,3,5中任選一個(gè)，有A種方法，其他數(shù)位上的數(shù)可以從剩下的4個(gè)數(shù)字中任選，進(jìn)行全排列，有A種方法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為AAf= 3X4X3X

17、2X1= 72,故選 D.4. 2015 四川卷用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）B. 120 個(gè)A. 144 個(gè)D. 72 個(gè)C. 96 個(gè)答案：B解析：當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有2A個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有CA個(gè)偶數(shù).故符合條件的偶數(shù) 共有 2A+ CA= 120（個(gè)）. - -一課外拓展閱讀應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解涂色問(wèn)題典例如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為 .審題視角染色問(wèn)題是常見(jiàn)的計(jì)數(shù)應(yīng)

18、用問(wèn)題，可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類、 分步，從不同角度解決問(wèn)題.解析解法一：可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分 類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè)，四棱錐 S ABCD勺頂點(diǎn)S, A, B所染的顏色互不相同，它們共有 5X4X3=60（種）染色方法.當(dāng)S, A, B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3.若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法；若C染4,則D可染3或5,有2種染法；若C染5,則D可染3或4,有2種染法.可見(jiàn)，當(dāng)S, A, B已染好時(shí)，C, D還有7種染法，故不同的染色方法有60X 7=420（種）.解法二：以S, A, B, C, D順序分步染色.第一步，點(diǎn)S染色，有5種方法；第二步，點(diǎn)A染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，點(diǎn)B染色，與S, A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，點(diǎn)C染色，也有3種方法，但考慮到點(diǎn)D與S, A, C相鄰，需要針對(duì)A 與C是否同色進(jìn)行分類：當(dāng)A與C同色時(shí)，點(diǎn)D有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S, B也不同色，所以點(diǎn)C有2種染色方法，點(diǎn)D也有2種染色方法.所以不同的染色方法共有5X4X3X（1 X3+2X2）= 420（種）.解法三：按所用顏色種數(shù)分類.第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色（A與C,或B與D