2018屆清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試11月數(shù)學(xué)理試卷及答案

1、小學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2017席a1慚局測試數(shù)學(xué)理科試卷第I卷(選擇題)一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.1 .已知集合M =x| y =ln (3+2xx2 9,集合N=y|y=4xN,則圖中陰影部分表示的集合為在x軸上的A. -1,0 U3,二 B.10,31 . 0,3D.-1,0 1 3,二22. 一x y2 .已知命題 p：若k<8,則萬程 +=1表本焦點(diǎn)35 -k k -8雙曲線；命題q ：在&ABC中，若sin A < sin B,則A < B ,則下列命題為真命題的是A.

2、-qB. 一p)i： q C. p q D. p -q3 .魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在九章算術(shù)方田章圓填術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割， 12以至于不能割，則與圓周合體而無所失矣?！边@是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)一-一中的1121代表無限次重復(fù)，設(shè)x =12，則可利用方程x =衛(wèi) 求得x ,類似的可得正數(shù)d5而聲 =1 .衛(wèi)1 x1 .A. 3 B. 5 C. 7 D. 94.如圖，在矩形 OABC中的曲線分別是y =sin x, y =cosx, A 1 ,0 IC (0,1 ),在矩形 OABC 內(nèi)隨機(jī) 2一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為4、3 -14 .2-1

3、A.B.C. 4、3-1 二互冗D. 4 .2 -1 二5.下面的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”。若輸入a, b的分別為98和63,執(zhí)行該程序框圖后，輸出a的值A(chǔ).C.D. 116.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的最長棱為A. ,19B.五 C.5 D. 2.7正視圖側(cè)視圖7.數(shù)列QJ中,ain _1=1且anan=2 (n>2),則數(shù)列2nI2的前n項(xiàng)和為A. 1 一人俯視同J anan 1 I11c. - 1 -22n2x8.已知雙曲線 a2=1 (a >0 )的左、右頂點(diǎn)分別為 A,A2 ,虛軸的兩個端點(diǎn)分別為 BB2,若四邊形 5

4、4AB1A2B2的內(nèi)切圓的面積為18n，則雙曲線的離心率為A. .2B. 3C.2 D. , 59.已知函數(shù)1 一 一，+ 11-2的展開式中|x|.1 3 If (x ) = 3sin x +-x在x=0處的切線與直線 nx y6 = 0平行，則 x 6I的常數(shù)項(xiàng)為A. -20B. 20C. -15D. 1510.將函數(shù)my*sin2x+J3cos2x+1的圖象向左平移7T個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y = g(x)的圖象，則下面關(guān)于函數(shù) y = g(x )的敘述不正確的是A.函數(shù)g (x)的周期為一S 人，、" f 式 c B.函數(shù)g(x)的一個

5、對稱中心為.一£0 |C.函數(shù)g(x/區(qū)間1i-,- 內(nèi)單調(diào)遞增一4 21 2 1x +-x和g(x) = 2x6圖象上的點(diǎn),Xi之1, x2之1,若直線MN x軸，則M ,N兩點(diǎn)間距離的最小值為A. 5b.944C. 5D.922, 二 k 二. .一一 .一.，D.當(dāng)x =1 + -(k w z )時，函數(shù)g(x取小值-111 .已知定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x) = 4 f (x + 2 ), g(x) = sin(nx)+2 ,若函數(shù)f(x)的圖象與n函數(shù)g(x )圖象的交點(diǎn)為 以， Mx2, y2 );，(*卜則£B+yi )=i 1A. n B. 2n

6、 C. 3n D. 4n12 .設(shè)點(diǎn) M (x1, f (x1 ),N (x2,g (x2 )戶別是函數(shù) f (x)=ln二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.13 .已知a,b的夾角為三，且b = J5a ,則2ba與a的夾角的正切值為 4X y 三 422i.x 5xy y ,14 .已知變量x, y滿足x + y23 ，則匕上 的取值范圍為 xyx -1, y - 115 .已知正四面體 ABCD的棱長為，四個頂點(diǎn)都在球心。的球面上，點(diǎn) P為棱BC的中點(diǎn)，過P作球。的截面，則截面面積的最小值為 .216 .過拋物線X =4y的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線交于 A,B兩點(diǎn)，記拋物線

7、在 A,B兩點(diǎn)處的切線l1,l2的交點(diǎn)為P,則AABP面積的最小值為 /.J三、解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗(yàn)算過程.朝中明汕自期.麗物甲明芯L1明泊支Ml g £17 .（本題滿分12分）已知MBC的面積為S,其外接圓半徑為R,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2 R(sin2 A -sin2 C ) = (V3a -b )sin B.,(1)求角C;22(2)若= sin A (sin B -sin C ) ,a = 4 ,求 c及 AABC 的面積18 .（本題滿分12分）如圖，多面體 A PCBE中，四邊形PCBE是直角梯形，

8、且 PC _L BC,PE/BC,平面PCBE _L平面ABC, AC _L BE,M是AE的中點(diǎn)，N是PA上的點(diǎn).（1）若MN 平面ABC ,求證：N是PA中點(diǎn)；4 1 _（2）若 PE = BC ,且 AC =BC =PC ,求二面角 E-AB-C 的 3余弦值.19 .（本題滿分12分）某電視廠家準(zhǔn)備在元旦期間舉辦促銷活動，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出。廣告費(fèi)支出Xi和銷售量yi （萬臺）的數(shù)據(jù)如下：年份2011201220132014201520162017廣告費(fèi)支出1246111319精售量1.93.24.04-45.25.35, 4的麓1(1)若用線性回歸模

9、型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；依(2)若用y = c + dJX模型合y與x的關(guān)系可得回歸方程 ？ = 1.63+ 0.99僅，經(jīng)計(jì)算線性回歸模型22及該模型的R分別為0.75和0.88,請用R說明選擇哪個回歸模擬模型更好。(3)已知利潤z與x, y的關(guān)系為z = 200y-x,根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:廣告費(fèi)x=20時，銷售量及利潤的預(yù)報值是多少？廣告費(fèi)x為何值時，利潤的預(yù)報值最大？(精確到 0.01)禹之茗,力工-山r)參考公式：b=為某j-癡 Ml參考數(shù)據(jù)；石= 2.2420 .(本題滿分12分)已知圓B:(x+J2： +y2 =16,定點(diǎn)A(J5,0 ), P是圓

10、周上任意一點(diǎn)，線段 AP的垂直平分線與 BP 交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)直線l過點(diǎn)A且與x軸不重合，直線l交曲線C于M,N兩點(diǎn)，過A且與l垂直的直線與圓 B交于 D,E兩點(diǎn)，求四邊形 MDNE面積的取值范圍.21 .(本題滿分12分)12已知函數(shù) f x =ln-ax x. x(1)討論f (x )的單調(diào)性;(2)若f(x而定義域內(nèi)有兩個極值點(diǎn)X,%,求證：f (x1 )+f (x2)A3 2ln 2.2B鉛請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果兩題都做，則按照所做的第一題給分；作答時，請用w-'.ru e 盛飛 in g. core冶即 m g. core筆將

11、答題卡上相應(yīng)的題號涂黑。22 .(本題滿分10分)選修4-4:參數(shù)方程與極坐標(biāo)系工x = 、3t在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，直線l的參數(shù)萬程為4(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，x軸的y =3 t正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C的極坐標(biāo)方程為 P2 co/e + 2P2sin2 8 =3.(1)求曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45二的直線，交l于點(diǎn)A,求PA的最大值與最小值23 .(本題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù) f (x )= 2x-1 一 x+2.(1)若存在x w R使得f (% )+2a2 £4a的解集為，求實(shí)數(shù)

12、 a的取值范圍；(2)在(1)的條件下，記a的最大值為a0,若口十3+2 = a0,則當(dāng)a,b,c取何值時，a2+4b2+9c2 a b c取得最小值，并求出該最小值 .中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性潸試?yán)砜茢?shù)學(xué)科目考答案三、解答題15、6/r：16、4：17、【解析】2/?卜»2彳一§力2。）=（島-6kh 4,兩邊同乘以27? m（2/?sin J）2 -（2/?sin C）2 =（V5a-/）2/?sin B+1 分則由正弦定理.得。2。2=（屈一人,即。？+力2-。2=怎+3分，由余弦定理.得 cosC =a2 +h2 -c2 _ Cab _ V5-lab -= 2ab

13、=E+5分V 0 < c < c =十分6倒AS = 4/?2sin2 A-（2Rsn 5-2/esin C）2*7分則由正弦定理及三角形面積公式，得（。加力三=/一伍一 j.9分V a = 4 :. /> = 16(/>c)2 由(1)知/-c2 =4石力一 16 h =聯(lián)立®解,得，15 + 8/-4-17+11分c 1 . . /r , 15+8 石八 S =-aAsn - =b = +12分26418、【解析】3: PE BC . PE（z 平面/8C, 8Cu 平面平面/8C*1分 力平面45C,4w平面工平面45。八平面尸"=/且力

14、63;/V PEu 平面 PEA：.PE/l+3 分 MV平面45C工同理.MN/1：.MN / PE）5 分 ； M是4E中點(diǎn)由平面幾何知識得,N是PA中煎地分平面PC8EJ_平面48C,平面PC5ED平面= PCLBC，尸Cl平面/3d 則;在梯形PCBE中,PE/ BC ：. PC與8七相交V AC工 BE；4CL平面 PCBEV 5C u平面 PCBE ：. ACL BC，C4C8.CP兩兩垂直+8分則以C為原點(diǎn),C4C8,。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系.設(shè)8C = %,則E（0M，3a） /1（3以0.0）, 5（0301 C（OAO）,P（0.03a）:.

15、EA =（3a,-q-3aEB =（02。,一%）由上知,C/ =（0,03。）是平面的法向量設(shè)1 = （x/.z）是平面£48的法向量不妨取設(shè)；=（x,y,zj是平面E46的法向量 由彳口=°.得卜“一虬=°u=（33,2）ho 分由圖知，二面角上一48一。為銳二面角uEB = 02av-3az = 0二面角E-48-C的余弦值為普+12分19、【解析】G = 8j = 4.2，Zxa=279.4，Zxj=708 ZM2794-7x8x42 =0J7 = "- = 4e2-0.17x8 = 2.84 708-7x82y關(guān)于x的線性回歸方程;= 0.17

16、x + 2.84+4分（2）V 0.75<0.88且A?越大反映殘差平方和越小，擬合效果越好選用非線性回歸模型;= 1.63+0.994更好死分由知.當(dāng)x = 20時，銷停樂的預(yù)報值;=1.63 + 0.99場=6.07萬臺+8分利潤的預(yù)報值1 = 200(1.63 + 0.99癡)-20 = 1193.04萬元拘分 200(1.63 + 099G )- x = r +198 A +326 .? = -x+198>/I + 326 = -(«1 +198a/J+326 = -(-99)：+10127+10 分 當(dāng)4 = 99,即x = 9801時，利潤的預(yù)報值最大+11分

17、答：廣告費(fèi)為9801萬元時,利潤的預(yù)報值最大。+12分20、【解析】依題意，P是圜從一五,0)|/科二4 線段力尸的垂直平分線與6尸交于點(diǎn)Q|0尸| = |04|則 |0臼+|。<|=?| + |用=|研=4>2五=陽4|二點(diǎn)。的軌跡是以8、/為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圈+3分V « = 2,c = V2 A h2 = a2 -c2 = 222，點(diǎn)0的軌跡C的方程為：y + y = l+4分設(shè)直線/的方程為：x = mv+V2 ,即x/np= 0£陀_1/且0七過點(diǎn)力則點(diǎn)8到直線。2的距離4=|- Cm -6H _ 2yf2mV/n2 +1= 2,16-孕=4&am

18、p;Im2+2V nr + 14分工 OE 的方程為：y = -/n(x應(yīng))即"ix+yJ5/n = 0(x-my-y/2 =0工2+2_消x 得,(m2 + 2)r + 2y/2my-2 = 0T+T=. = VTSE1)= 4nr+ 2m2 + m2+28分直線/曲線。有兩個不同的交點(diǎn)A =(2、歷J -4(m2 + 2)(-2)= 16(,+1 )>0 : th* 20 ： nr +2 2 2 W；<0 W 1 v 1 則8 W S<822 nr +22 nr +2”0分綜上，四邊形面積S的取值范圍8,1歷). +12分21、【解析】顯然/(x)的定義域?yàn)?0

19、, + 8) 匹)=2"7+1 工當(dāng)"=0時，/，(x)= XX時/'(x)>0： Ovxvl時/'(x)vo則/(x)在(0,1)上為M函數(shù)：在(1,+8)上為增函數(shù)+2分當(dāng)。>0時，若A = l&/W0 =。2！，則20一x+12 0恒成立 8 對Vx> 0都有f(x)< 0:. /(x)在(0, + 8)上為減函數(shù)+3分 。C 1 h1 J1 蹌1 + J1 -網(wǎng)若 = l-8a>0nav-,設(shè)=， x> =84a4a則令(x)=2or2-x + l,對稱軸x =->2,又“(0)=1 >0且拋物

20、線開口向上 4a，由(x)>0,得0<X<X或工>刀2，此時/'(工)<0：由 M(x)< 0,得 Xj < 工 < X?,此時 fx)> 0 /(X)在(,與)上為增函數(shù)：在(O,xJ、(七，+ 8)上為減函數(shù)+5分1一，1一 8a當(dāng)。<0時.A = l-8a>0,不妨取出 二 4«由(x)>0,得 0<x<x,此時/''(x)<0： rtiu(x)<0,得工>.，此時/'(戈)>0 /(x)在(0,與)上為減函數(shù)：在(巧，+ 8)上為增函數(shù)+

21、6分綜上，當(dāng)=0時/(x)在(0,1)上為減函數(shù)：在(1,+8)上為增函數(shù)：當(dāng)°時./(x)在(0,+8)上為減函數(shù)： 8當(dāng)0<av1時,/(x)在人,)上為增函數(shù)：在(O，M).(8,+ 8)上為減函數(shù): 8+7分當(dāng)a<0時，/(x)在(O,xJ上為減函數(shù)：在(巧,+ 8)上為增函數(shù). (2)V /(x)在定義域上有兩個極值點(diǎn)內(nèi),與則X +七=5，8必=8分二由知且玉.上是方程2aW-x+l=O的兩個不等實(shí)根 8/(x,)+/(x2) = In - - ar, + xf + In： =ln a(x| +X2)2 -2天與+(玉 +2)中2=卜(2標(biāo)(白一2丹？= in(2t/)+ + 14a設(shè) v(a)=ln(2a)+1+l，則 y'(a)=4a4a2V 0<a<-84a-l&