矩陣?yán)碚撟鳂I(yè)4-1：線性變換(圓-橢圓)

1、.單位圓在線性變換下得到的圖形及論證摘要在平面 R2 上線性變換yAx ，（ x, yR2 ， AR2 2 ）且 det(A)0 ，即 A 可逆。給定一個(gè)單位圓 x12x221，求其在此線性變換下的圖形并論證其結(jié)果，并用 matlab 編程實(shí)現(xiàn)其圖形的轉(zhuǎn)換。結(jié)果表明變換后的圖形為橢圓，且推出了變換后的橢圓長(zhǎng)半軸a 、短半軸 b 和長(zhǎng)軸與水平坐標(biāo)軸的夾角與矩陣 A 的關(guān)系。關(guān)鍵字： 單位圓線性變換橢圓引言矩陣的線性變換可以進(jìn)行圖形的改變， 那么不同的矩陣會(huì)造成什么樣改變， 變換后的圖形各參量與變換矩陣有怎樣的關(guān)系呢？本文結(jié)合線性代數(shù)中有關(guān)矩陣的運(yùn)算等知識(shí) 2 ，在推導(dǎo)和論證13結(jié)果的基礎(chǔ)上，應(yīng)用

2、matlab工具進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)3 ，并給出幾個(gè)具體的算例驗(yàn)證結(jié)論，做出變換前后的圖形并求出相關(guān)參數(shù)值。問(wèn)題概述在平面 R2 上線性變換 y Ax ， x, yR2 ，A R22 ， det(A) 0 （即 A 可逆）。給定一個(gè)單位圓x12x221，求其在線性變換 yAx 下的圖形，并論證其結(jié)果， 以及用 matlab 編程實(shí)現(xiàn)其圖形的轉(zhuǎn)換。如下圖 1，是在 matlab 中編寫將單位圓線性變換的程序， 再給出一個(gè)二階隨機(jī)矩陣A 得到的圖 1顯而易見，變換后的圖形是一個(gè)橢圓，而且橢圓中心與單位圓的圓心重合。那么變換后的橢圓長(zhǎng)半軸 a 、短半軸 b 和長(zhǎng)軸與水平坐標(biāo)軸的夾角與矩陣 A 的關(guān)系是什么呢

3、， 下面將進(jìn)行論證。變換結(jié)果的論證單位圓為 x12x221，即變換前的坐標(biāo)為xx1Aa11a12，線性變換矩陣a21，則x2a22線性變換結(jié)果。.yAxa11a12x1a21a22x2a12 x2 =(1)=a11x1y1a21x1a22 x2y2即變換后的坐標(biāo)為y1a11 x1a12 x2 ，y2a21x1a22 x2 。聯(lián)立方程組， 將 x1 和 x2 用 y1和 y2 表示出來(lái)，得a12 y2a22 y1x1a11a22a12a21a21 y1(2)a11 y2x2a11a22a12a21然后將以上表達(dá)式帶入單位圓的方程，得a12 y2a22 y12a21 y1a11y22+=1 (3)

4、a12 a21a11a22a12a21a11a22關(guān)于 y1, y2 展開整理，得(a212 + a222 ) y122( a21a11a12 a22 ) y1 y2(a122 + a112 ) y22a11a22 )2(4)( a12 a210由此可以看出，y1, y2 滿足橢圓的一般方程Ax2BxyCy2DxEy10(5)其中 x 相當(dāng)于 y1 ， y 相當(dāng)于 y2 ，系數(shù)A,B,C,D, E 分別為A(a212 +a222 ),(a12a21a11a22 ) 2B2( a21a11a12a22 ),(a12 a21a11a22 )2(6)C(a122 +a112 ),(a12 a21a1

5、1a22 )2DE 0所以，經(jīng)過(guò)以上推導(dǎo)可以證明單位圓在線性變換作用下得到的圖形為橢圓。.下面來(lái)求變換后得到橢圓的長(zhǎng)短半軸以及長(zhǎng)軸與水平軸夾角（圖2）。圖 2由斜橢圓的相關(guān)公式可知，橢圓幾何中心X cBE2CD/4ADB2(7)YcBD2 AE/ 4ADB2因?yàn)?DE 0，所以 X c0， Yc0 ，中心坐標(biāo)確實(shí)如圖所示在原點(diǎn)處。長(zhǎng)短半軸分別為a22 AX c2CYc2BX cYc12(8)ACACB2b22 AXc2CYc2BX cYc12(9)ACACB2長(zhǎng)軸與水平軸夾角21 arctanBC(10)2A分別將已知的值帶入公式（ 8）、（ 9）和（ 10），即可得到變換后的橢圓長(zhǎng)半軸a 、

6、短半軸 b 和長(zhǎng)軸與水平軸夾角（弧度值）。算例分析在 matlab 里給出幾組轉(zhuǎn)換矩陣 A ，畫出轉(zhuǎn)換后的橢圓并求出長(zhǎng)半軸 a 、短半軸 b 和長(zhǎng)軸與.將矩陣元素改成小于1 的數(shù)，次對(duì)角線變成水平軸夾角。210.70.83 所示的綠色負(fù)數(shù)，如 A，得到如圖 5 所示例如 A4，得到如圖0.90.41橢圓。計(jì)算其相關(guān)參數(shù)為橢圓。計(jì)算其相關(guān)參數(shù)為a 4.4142，b1.5858，1.1781a 1.4154， b0.3109，0.8274由弧度變?yōu)榻嵌葹?67.5000o 。由弧度變?yōu)榻嵌葹?7.4068o ，說(shuō)明此時(shí)長(zhǎng)軸是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的。圖 3將對(duì)角線改為負(fù)數(shù)，如=-2 2;1 -322A，得到如

7、圖4 所示橢圓。計(jì)算其13相關(guān)參數(shù)為a4.1306，b0.9684，2.2940由弧度變?yōu)榻嵌葹?31.4375o 。圖 4圖 5結(jié)論綜合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出如下結(jié)論：在線性變換下（變換矩陣可逆），二維空間上的圓經(jīng)過(guò)拉伸、剪切變換會(huì)變形為橢圓。但圖形的中心沒有移動(dòng)， 也就是說(shuō)線性變換保留中心位置，而其它的幾何性質(zhì)如長(zhǎng)度、角度和面積等可能會(huì)被改變。橢圓的各個(gè)參數(shù)都可以由矩陣的元素表示出來(lái)。長(zhǎng)短軸與矩陣元素的數(shù)值大小有關(guān)，夾角與矩陣元素的符號(hào)有關(guān)。推廣到更一般的結(jié)論， 橢圓在線性變換下也會(huì)變?yōu)闄E圓， 只是原橢圓的參數(shù)方程系數(shù)有所改變，原理完全一樣，所以也適用以上公式。.B=2*(A(2,1)*A(1

8、,1)+A(1,2)*A(2,2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;參考文獻(xiàn)C=-(A(1,2)2+A(1,1)2)/(A(1,2)*A(2,1)-A(1,1)*A(2,2)2;1 常法智 , 阮明焱 . 橢圓面積公式的線性變換證法J.D=0;E=0;高等函授學(xué)報(bào) : 自然科學(xué)版 , 2006, 19(6): 37-38.Xc=(B*E-2*C*D)/(4*AA*D-B2);2 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 線性代數(shù)第四版M. 北京 : 高等Yc=(B*D-2*AA*E)/(4*AA*D-B2);教育出版社， 2003.7.a=sqrt(2*(AA*Xc2+C*Yc2+B*

9、Xc*Yc-1)/3 百度文庫(kù) W.(AA+C+sqrt(AA-C)2+B2);附錄b=sqrt(2*(AA*Xc2+C*Yc2+B*Xc*Yc-1)/(AA+C-sqrt(AA-C)2+B2);給出一個(gè)二階的隨機(jī)矩陣theta=pi/2+0.5*atan(B/(AA-C);A=rand(2)A =0.81470.12700.90580.9134調(diào)用單位圓的線性變換函數(shù)程序：functiony=geomtrans(A)ifdet(A)=0disp(' 輸入的矩陣奇異， 請(qǐng)重新輸入一個(gè)非奇異矩陣 ' );elset=0:0.01:2*pi;x1=cos(t);x2=sin(t);plot(x1,x2,'r-', 'linewidth',2)axisequalholdonx=x1;x2;y=A*x;plot(y(1,:),y(2,:),'g-', 'linewidth' ,2)title('平面線性變換的幾何圖形轉(zhuǎn)換 ' )legend(' 紅色圖形為原始圖形, 綠色圖形為變換后的圖形