相對論系統(tǒng)中的BCS-BEC越渡相變熱力學(xué)

1、ID國科技疋乂任線http: /www paper edu cn相對論系統(tǒng)中的BCS-BEC越渡相變熱力學(xué)傅永平云南大學(xué)物理系，昆明(650091)E-mail： hiYongpin£44vahoo com cn摘 要：本文討論了在相對論Feinii-Bose系統(tǒng)中W BCS-BEC越渡相變條件及其熱力學(xué)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其相變并沒有嚴格的臨界點，這也就使得相對論系統(tǒng)中得以存在穩(wěn)定的相變狀態(tài)和 熱力學(xué)性質(zhì).利用Nambu-Goikov表象，我們還得到了臨界點附近費米子的激發(fā)能譜“同時, 也給出了臨界溫度附近和低于臨界溫度區(qū)域的能隙表達式.發(fā)現(xiàn)，在臨界溫度附近存在著農(nóng) 質(zhì)量粒子的凝聚.關(guān)鍵詞：

2、BCS-BEC越渡相變，相對論，熱力學(xué) 中圖分類號：0411引言L1前，在冷原子研究領(lǐng)域，借助Feshbach共振技術(shù)，通過磁控調(diào)卩費米子系統(tǒng)的散射 氏度，使彳幼 BCS (Bardecn-Cooper-Sliiiffer supeiiluiditv) -BEC (Bose-Enistem condensation) 越(crossover)相變現(xiàn)象得以實現(xiàn)，其所JI仃的特殊性質(zhì)也成為了相關(guān)硏究熱點。早在1969 年，Eagles等人就已發(fā)現(xiàn)，超導(dǎo)超流體和玻色愛因斯坦凝聚體的甚態(tài)波函數(shù)可以平滑連接， BCS與EECZ間冇著深刻的聯(lián)系叭通過調(diào)控外界磁場，使Cooper 費米子之間的相互 作用力増

3、強，在宏觀看來Cooper束縛對的尺寸縮小，便成為了一個準玻色子，此時費米子 系統(tǒng)和準玻色子系統(tǒng)的散射長度都趨/無窮人，系統(tǒng)達到了 Feshbach共振狀態(tài)，系統(tǒng)既可 以作為費米子體系進行處理，也可以用玻色子體系處理，超流態(tài)和凝聚態(tài)出現(xiàn)了交義現(xiàn)彖， 也即系統(tǒng)進入了 BCS-BEC越渡相變區(qū)域。在這種新的相屮，人們對其熱力學(xué)性質(zhì)、超流體 渦旋態(tài)等方面都進行了細致的研究。值得提出的是由在相變區(qū)域內(nèi)，費米子和玻色子的 散射長度都趨J無窮人，這農(nóng)明BCS-BEC越渡體系屬強關(guān)聯(lián)體系，傳統(tǒng)的微擾論方法在 此兒乎失效了。我們認為，新的理論方法應(yīng)該1科繞在系統(tǒng)哈密頓駁上，從費米子或者玻色子 哈密頓試出發(fā)尢法

4、逼近BCS-BEC交義區(qū)域，應(yīng)該酉先恰當定義處J交義狀態(tài)的糸統(tǒng)嗆密頓 甌 或者直接比較BCS利BEC的冇效勢，最后再利用微擾論逼近越渡區(qū)域。最近，關(guān)J' BCS-BEC越渡相變的研究被推廣到了相対論費米子系統(tǒng)中叫考慮到相 變溫度高絕對零度，粒子存在熱力學(xué)分布，所以我們利用溫度場論方法，從包含費米子和 玻色子自由度的湯川模熨出發(fā)，得到了相對論費米子系統(tǒng)的配分兩數(shù)和熱力學(xué)勢，由此討論 和對論Fernu-Bose系統(tǒng)中BCS-BEC越渡區(qū)域的熱力學(xué)性質(zhì)。在Nambu-Gorkov H象中，我 們紂到了系統(tǒng)的費米傳播子，在具孤&奇點匕得到了 BCS-BEC越渡區(qū)域費米子的激發(fā)能譜, 發(fā)

5、現(xiàn)在費米海附近存在著反粒子激發(fā)，止反費米子的心在使得熱力學(xué)勢包含兩者的對稱貢 獻而1,在臨界溫度附近還將出現(xiàn)零質(zhì)量費米子和準玻色子的激發(fā),這是相對論BCS-BEC 越渡系統(tǒng)所具有的獨待相對論效應(yīng)。利用熱力學(xué)條件,我們對臨界溫度附近和低F臨界溫度 區(qū)域的能隙進行了分析，并從Nambu-Goikov方程得到了能隙衷達式。我們利用平均場近似, 對玻色子門由度進行了近似，宙此引入序參吊。在文章中對能譜的分析可以發(fā)現(xiàn)，序參駁實 際上就等效r費米子系統(tǒng)的能隙。2.理論2.1相對論Fermi-Bose系統(tǒng)理論模型我們將對包含費米子、玻色了門山度的湯川模型中的玻色了場賦了，新的物理意義，其 不再是傳遞Coop

6、er對里費米子之間吸引力的中間媒介子，而是由束縛Cooper對形成的平均 近似玻色場。耦介因子代表費米子與玻色子之間的弱相互作用耦介因子，在之前的乞種討論 中很少冇人注意到BCS-BEC越渡系統(tǒng)中的費米子與準玻色子之間存在弱的相互作用“】。由 J'- BCS-BEC越渡系統(tǒng)是一個強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，從電磁相互作用費米子模熨出發(fā)，再利用微擾論 進行處理的話很難逼近真實的物理結(jié)果°所以，我們肖接從處j- BCS-BEC越渡狀態(tài)的拉氏 最出發(fā)，由此得到的熱力學(xué)性質(zhì)才更白說服力，我們認為理論的最佳候選者就是湯川模熨。 我們寫出系統(tǒng)拉氏駅如卜(文章中采用自然單位制C =力=人=1 ,度規(guī)采用g

7、00 = = 1, g0J*iJ = l,2,3),L =-加 + 齊“)W + g(丙(.憶屮 +(piyc)(1)其屮®c =，電荷共牠變換算子C = z/7° o 0為贋標屆場，它Si Feslibach共振條件F Cooper束縛對所形成的準玻色子。在BCS-BEC交義狀態(tài)卜，費米子間的耦合因子人J 1. 微擾技術(shù)無法利用，但新的湯川模型所描述的體系U經(jīng)處在交義狀態(tài)了，對玻色場的'卜均場 近似已經(jīng)足夠描述交叉態(tài)的物理性質(zhì)。在平均場近似卜，我們引入序參屜 = g(iy尹、=g(p °為了滿足理論的完備性，我們發(fā)現(xiàn)當滿足變換條件 P“P7 = “,C“

8、CT = -叮曠=“和 Pa = -A,CAC_1 = A*,TAT-1 = -A 時，系統(tǒng) 拉氏量分別滿足P,C,T守恒。2.2 Nambu-Gorkov表象及系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)為得到費米子系統(tǒng)的配分函數(shù)，引入費米場的Nambu-Goikov表述，(11/ _W=弘)(2)V c)_fi將其代入 式，利用Z = Jd屮d<Pexp(JdkJdM)我們得到系統(tǒng)的配分函數(shù)和熱力 0學(xué)勢分別為，Z = xp( Jr j dxTr lii Gl)(3)和。=-耳器(/(£)+/(&)苴中0 = 1/7, T為系統(tǒng)溫度：r = it是溫度場中的虛時變杲，它與能杲的關(guān)系為 E = &

9、#169;=6 = iq,通過對復(fù)空間Jd(iq)的環(huán)路枳分發(fā)現(xiàn)，全費米子存在兩種能譜 icon = 從+ -“；士m，其屮icon = /；+|甘_“； + 7項刈應(yīng)的是正能標準費米子的 3ID國科技疋乂任線http: "www paper edu cn能/ty = A/F+|A|<-A?-/n項對應(yīng)的是費米海激發(fā)出的反費米子，與此対稱的世界也 存在著反玻色子，據(jù)此分析可知（4）式所表達的熱力學(xué)勢包含了費米子和反費米子的貢獻: 在無特別說明時k代表費米子的三維動彊，反粒子的激發(fā)區(qū)域就像對趙流起作用的費米子一 樣，僅僅只在費米面匕附近（以德拜頻率為寬度的殼層內(nèi)）,這也就免去了對

10、三維空間 積分所作的人動磺截斷處理；函數(shù)/（兀）=1/（/° +1）的物理意義實際上就是費米子的粒子數(shù)分布函數(shù)：彳=JF+iaJ/土7,它實際上就是全費米子的能磺，序參彊此時代表 的物理意義很明顯，就是處J- BCS-BEC越渡區(qū)域的費米面與第一激發(fā)譜Z間的能隙；G是 Nambu-Gorkov傳播子，如卜形式，廠=仔-7 +齊“沐（5）；済一加一齊"丿在衍到（3）式的過程屮，我們忽略了玻色場門山度，因為我們 開始就利用了玻色場的平 均場近似4 = &曾泮=牌,所以積分只對費米子場變最進行。利用熱力學(xué)關(guān)系 / = -cQ/a/,可以得到BCS-BEC越渡系統(tǒng)的費米子粒

11、子數(shù)密度為“嚴廠（牢） “嚴廠（石）+1-111 + 111(6)從表達式可以看出反粒子對粒子數(shù)的貢獻舁=廠（忑）/（石+加）（2龍）,它與正 費米子的粒子數(shù)貝仃対稱的地位。我們知道了 ECS-BEC越渡區(qū)域的熱力學(xué)勢，由英木的熱 力學(xué)關(guān)系就能得到相應(yīng)的物理最。2.3 BCS-BEC越渡區(qū)域的激發(fā)能譜在2.2節(jié)得到的Nambu-Gorkov傳播子滿足以下恒等式，K恥了幾切1 0kJ® s22） （o i丿K 中 K =, K = J-ni = Y（icon -m ；R = i/5: ,Sy,斥2,&分別為與Nambu-Goikov波函數(shù)（2）式對應(yīng)的費米子傳播了，S、亠是標準

12、的費米子傳播子，其中任何一個傳播子的激發(fā)能譜都完備地包含著正反粒子 的貢獻，所以以卜我們只考世標準費米子傳播子S"：怙.分別是正費米子和反費米了的 凝聚傳播子，它們表征山費米子結(jié)介的正反準玻色子在費米面上的凝聚，同時它們也是能隙 函數(shù)，在平均場近似下它們與序參量等價。解方程（7）可得，Rn5. = （8）kk + 2/°/?/- /?r -|A|'對其孤立奇點的分析可以得到BCS-BEC越渡區(qū)域的費米子激發(fā)能i普為,其屮包含能隙的動能項 WT + Qf。從激發(fā)能譜可知，處J： BCS-BEC越渡區(qū)域的系統(tǒng)，町以激發(fā)出反費米子。在費米面附近，這些反費米子形成的 Coo

13、per X-f將凝聚成相対論的BEC （RBEC）,只是不同J 文獻叫 在臨界溫度以卜'，這里的 反玻色子具冇級米子的兩倍質(zhì)量，只有當化學(xué)勢“ =±加時，才會出現(xiàn)冬質(zhì)試粒了的激發(fā)和 凝聚，在臨界溫度附近關(guān)系式/ = ±m 口動得到滿足，此時將出現(xiàn)冬質(zhì)最的相對論BCS-BEC 激發(fā)尤，這是獨特的相對論BCS-BEC越渡效丿、其激發(fā)能譜為E = ±g°在絕對零度條件 2化學(xué)勢可以忽略，激發(fā)能譜便冋到了標準的包含能隙的相對論能譜形式。2.4能隙與轉(zhuǎn)變溫度的關(guān)系當轉(zhuǎn)變溫度遠小J：臨界溫度時（丁7；.）,注盤到T=0時化學(xué)勢“ =0,從（7）式屮的關(guān)系K

14、F：l-R、Sh町以得到新泄義的包含靜能和化學(xué)勢的相対論能隙 = & 一（2 刃 & f2 尹°" （1-厶）<9）其中'= + （“±7），A0 = r + |A0|： , 。是零溫時的能隙，正如以卜將要討論 到的，其性質(zhì)與罪相對論情形-致，A0 = rc/,其屮歐拉常數(shù)仃In / = 0.577。在T7； 情況中（9）式中的第二項僅是一個修正項，但是隨著溫度的升高，它對零溫能隙 的貢獻也越來越大。為系統(tǒng)處J：臨界溫度時，能隙 =（）, '也應(yīng)滿足此關(guān)系，這就意味著 費米子化學(xué)勢“ =士加，這導(dǎo)致激發(fā)能譜的質(zhì)駅項消丸 此時出

15、現(xiàn)的相對論BCS-BEC交叉 激發(fā)粒子都是零質(zhì)屆粒子，這純粹是相對論效應(yīng)。與（9）式類似，通過對費米子凝聚傳播 子尸"的分析，可得轉(zhuǎn)變溫度在臨界溫度附近的能隙為,? jr. r = F（）（北 恥）工0 + 1）刃+ 丁丁<10）其中A* = （“± m） o當系統(tǒng)溫度處J：臨界溫度7；.時，能隙 = 0,此時' = & = “±加=0 , 據(jù)此，再利用方E/rX1=-/?ASI1我們最終得到零質(zhì)磺激發(fā)尤的能隙與臨界溫度的關(guān)系為 A = frTc/,這與卄相對論超流休的能隙性質(zhì)一致，但是相對論BCS-BEC越渡系統(tǒng)的能隙 卻包侖著更多的信息，

16、它不僅表達了質(zhì)定粒子的相對論BCS-BEC越渡條件和性質(zhì)，而FL還 預(yù)肓了在相對論系統(tǒng)中將存在激發(fā)零質(zhì)彊粒子的BCS-BEC越渡現(xiàn)象，這種獨特的相對論效 應(yīng)是不可能在類似的非相對論凝聚態(tài)物理中發(fā)生的。3結(jié)論我們從相對論Fernii-Bose模熨出發(fā)，得到了相対論費米子系統(tǒng)的配分換數(shù)和熱力學(xué)勢, 由此討論相對論BCS-BEC越渡區(qū)域的熱力學(xué)性質(zhì)。在Nambu-Gorkov表象中，我們得到了 BCS-BEC越渡區(qū)域費米子的激發(fā)能譜，發(fā)現(xiàn)在費米海附近存在著正反粒子激發(fā)。而H.,在 臨界溫度附近還將出現(xiàn)冬質(zhì)彊費米子和準玻色子的激發(fā)，這是相対論BCS-BEC越渡系統(tǒng)所 的獨特效應(yīng)。利用熱力學(xué)條件，我們對

17、臨界沿度附近和低臨界溫度區(qū)域的能隙進行了 分析，并從Nainbu-Gorkov方程得到了能隙表達式參考文獻1 D M Eagles. Possible pairing without superconductivity at low coiner concenuations in bulk and thm-filni superconducting semiconductors. Phy. Rev. 186,456. 19692 J.Cheng, et al. Quantum learrangement and self-consistent BCS-BEC crossover theimod

18、ynamics. cond-mat/07025693 J. Cheng D-diniensions Dirac fermions BCS-BEC crossover thermodynamics, nucl-th 06080634 L He et al Relativistic BCS-BEC crossover at zero temperature hep-ph. 07030425 I Deng et al. Relativistic BCS-BEC crossover in a boson-fennion model, nuci-tb 06110976 Y Nisluda and H A

19、buki BCS-BEC crossover in a relativisuc supeifluid and its significance to quaik matter PhysKev. D72. 096004(2005)7 H Abuki. BCS BEC crossover in Quark Matter and Evolution of its Static and Dynamic properties hep-ph 06050818 J.Deng. et al Relativistic BCS-BEC crossover in a boson-fermion model nucl-tb 06110979 M G Alfoid. et al Single color and single flavor color superconductivity Phys Rev D67. 054018(2003)10 A Barducci. Calculation of the QCD phase diagram at fiiute temperatuie. and baryon and isospm chemical potenuals. Phys.Rev D69. 096004(2004)11 L.He et al. Pion superfl