必須掌握的7種構(gòu)造函數(shù)方法——合理構(gòu)造函數(shù),巧解導(dǎo)數(shù)難題

1、必須掌握的7種構(gòu)造函數(shù)方法一一合理構(gòu)造函數(shù)，巧解導(dǎo)數(shù)難題近幾年高考數(shù)學(xué)壓軸題，多以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的范圍，這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的最基 本方法，但在平時的教學(xué)和考試中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不會合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)果往往 求解非常復(fù)雜甚至是無果而終.因此筆者認為解決此類問題的關(guān)鍵就是怎樣合理 構(gòu)造函數(shù)，本文以近幾年的高考題和模考題為例，對在處理導(dǎo)數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù) 的方法進行歸類和總結(jié)，供大家參考.、作差構(gòu)造法作差構(gòu)造法，是處理導(dǎo)數(shù)問題的最基本、最常用的方法.此法一股構(gòu)造函數(shù)尸(x) =,進而轉(zhuǎn)化為 求函數(shù)廠(x)min之0 (或廠(X)mx &l

2、t;0 )即求函數(shù)的最值問題.1 .直接作差構(gòu)造例/ (2O1M耳龍涔全闔新錦柑：I熬理科第27我J已知函數(shù)/(x) = x2 +ax + b ,g(x) = e'(cx + d).若曲線 y = /(x)和曲線 y = g(x)都過點，(0,2),且在點。處有相同的切線y = 4x + 2 .(I )求 a,b,c,d 的值；(II )若x二2時,f (x) 但(x),求k的取值范圍.解；(I ) a = 4,8 = 2,c = 2, = 2(II )由(1 )矢口 ,/(x) = x24-4x4-2 ,g(x) = 2e'(x + l). 設(shè)函數(shù) F (x) = kg(x)

3、 / (x) = 2kex(x 4-1) x2 4x 2 , 貝！J F (x) = 2kex (x + 2) - 2x - 4 = 2(x 4- 2)(kex - 1), 有題設(shè)矢口#'(0)20 且 #'(2)20 , 從而得 w a v / .令/(x) = 0得$ =-In二一2.(i )若 1v/,則-2 Vxi VO.從而當 xg (-2,xJ 時，F(xiàn)'(x)<0 ； 當工 E(X,+8)日寸，F(xiàn) (x) > 0 , 即尸(x)在(-2,$)上單調(diào)遞減，在區(qū),+8)上單調(diào)遞故”(x)在-2,+8)上的最小值為尸(xj .rfn /* （陽）= 2

4、工+2 k一 4| 2 = A"|+ 2）2 0 *故當x > 一2時/(X)>。,即/(x)王欣(女)恒成立.(ii ) 若左=貝昨(x) = 2/(x + 2)(/e") .從而當x > -2時,/(>) >。和尸(克)在(-2,+8)上單調(diào)遞增，而F(-2)=0故當d時F(jc) > 0,即/(、)工加(x)恒成立綜上,左的取值范圍為1,/評注：本題采用直接作差法構(gòu)造函數(shù)，通過特殊值縮小參數(shù)范圍后，再對參數(shù)進 行分類討論來求解.2 .變形作差構(gòu)造的z f山巒堵eats屆龍三收或跣者理科第st設(shè)函數(shù)八二土二1 .證明：對任意正數(shù)1，存

5、在正 x數(shù)K，使不等式/- 1<1成立.證質(zhì): /(X)- 1 =,X不等式/(X)-1 <67可化為/一 (a + 1)為一 1 v 0 .令 G(x) = ev (a+l)x 1 , G (x) = e' (a+1),由 G (x) = 0 彳導(dǎo)：x = ln(a+ 1),當 Ovx vln(a+l)時，G (x) < 0 ,當 x>ln(a+l)時，G (x) > 0 , 所以 6(©.= G(ln(67 +1) = a (a + l)ln(tz + l).令 =,其中/ = +, 易證夕(7) = 7-71n7-1 <0(/>

6、 I),即 GOO疝n =4-(a + l)ln(a+l)<0.故存在正數(shù)x = ln(6/+1)，使不等式/(x)-1 < a成立.評核：本題首先對/5)-Iva進行等價變形轉(zhuǎn)化， 構(gòu)造函數(shù)G(x) = ex-(a+)x-求其最小值，從而轉(zhuǎn)化為僅僅關(guān)于字母的函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)=( t = a+ )r把一個復(fù)雜的函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為求兩個簡單函數(shù)的最值問題.二、分離參數(shù)構(gòu)造法分離參數(shù)是指對已知恒成立的不等式在能夠判斷出參數(shù)系數(shù)正負的情況下，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量的不等式， 只要研究變量不等式的最值就可以解決問題.州5 f山島堵太原市2615考方三

7、蟆極理科）已知函數(shù)/（幻=（2 （7）（x-l）-2/7X,= xe x（awR,e為自然對數(shù)的底數(shù)），若不等式/（燈>0 對于一切xe（O,；）恒成立，求實數(shù)。的最小值.解有題意得（2 - a）（x - l） 2/nx>0在（0,；）上恒成立,2/zzr1即a>2在（01一）上恒成立.x-25C 2 怙X, c I、段力（耳）=2X£（O,一），x-122lnx + 2貝！UOO'i一3一.(1).21設(shè)夕(x) = 2/r + 2 , xg(0,), x2t 2 2貝!)9(x) =r0 /x 廠所以血x)在(0,g)上是減函數(shù)，從而0()>0(1

8、) = 2-2/2>0 ,所以萬(x)>0 ,則力(x)在(0,；)上為增函數(shù)，所以 6(x)<d)=2-4/2 , 2即 a 2 2 41n2 .件懣.在用此法求解問題的關(guān)健是過好雙關(guān)：第一關(guān)是轉(zhuǎn)化關(guān)，即通過分離參數(shù)，先轉(zhuǎn)化為f(x)> g(a)(或 f(x) < g(a)對 Vx e。恒成立，再轉(zhuǎn)化為> g(a)(或 AZ < g(a)對Vxe。恒成立；第二關(guān)是求最值關(guān)，即求函數(shù)人口在區(qū)間。上的最 小值(或最大值).三、局部構(gòu)造法若函數(shù)/(%)比較復(fù)雜,直接求導(dǎo)會更復(fù)雜,使解題 無法進行下去，這時可將函數(shù)/")化成F(x)= f(x)g(

9、x)(或f(x) + g(x),其中 f(x)或 g(x) 有一個可明顯判斷出是否大于零，而另一個函數(shù)式 又遠比/(%)簡單，這樣就可以做局部處理，對這個 函數(shù)進行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，使問題迎刃而解.1 .化和局部構(gòu)造例4 （2014耳方考全國新錦標n氯女科第21期） 已知函數(shù)/（不）=工3-3十+以+ 2 ,曲線y = /（工） 在點（0,2）處的切線與工軸交點的橫坐標為-2 .（工）求。（口）證明：當A < 1時，曲線y = /（均與直線 曠=在一2只有一個交點.UF/壽/由曲線y = /（x）與直線,二6一2只有一個 交點可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x） = /（x）-Ax+2 = /一3工

10、2+Q一人）工 + 4有且 只有一個零點.一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間和極值點，從而判斷函數(shù)大致圖像，再說明 與不軸只有一個交點即可.本題中由“<1易得g'(x)>0且g(l) =左一 1<0 , g(0) = 4>0 ,所以g(x) =。在(-8,0上有唯一實根.則接下來只需說明當x > 0時g(x) = 0無實根記 g(x =x3 3x2 + (1-)x + 4 = /1(x) + j(x),而而上)=(1 - k)x > 0 ,因此只需證明h(x) = / 3/ + 40(x0)即可.2 .化積局部構(gòu)造利5 (20X2耳普考山京泉地科

11、第22卻In r *4* 4”已知函數(shù)上) = 一(人為常數(shù)"=2.71828 e是自然對數(shù)的底數(shù)虐曲線”/(用在點(1J)處 的切線與工軸平行.(I )求人的值；(11 )求/5)的單調(diào)區(qū)間；(川)設(shè) g(x) = (x2 + x)fx)，其中 fx)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明：對任意工>0,月(x) <+e群(i)k = .( n)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+00).(ni)g(x) = (x2+x)/U)/ 2 x 1-x-xlnx x+1/,、/ 八、=(X + X)；=-7-(1-x-xlnx)(x> 0)xe eY 4- 1h

12、(x) = 1-x-xlnx , k(x) - (x> 0),從而 g(x)=力(x)左(x).易求得力(x)在(0,e 2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(e 2,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，所以力(%)皿=。(/2)1 +-2 ；r 4.1易證爐 >x+l(x>0) , gpo<-<1,ex故對任意x + )x > 0, g(x) = (1-x-xln x)ex=h(xk(x) < h(x) <l + e2釬謹;本題第（m）問的常規(guī)思路是對函數(shù)幻用求 導(dǎo)進而求其最大值，但求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)gW表達 式非常復(fù)雜，很難找出零點，進而無法確定單調(diào)區(qū) 間，于是構(gòu)造函數(shù)二人（）

13、次。），即將雙幻轉(zhuǎn)化 為兩個函數(shù)的乘積，分別求出。（X）和儀X）的上限, 這樣大大降低了問題的求解難度，使問題迎刃而解.這樣大大降低了問題的求解難度,使問即迎刃而解. 化積局部構(gòu)造法在處理較復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問題時應(yīng)用較 多，平時應(yīng)注意總結(jié).四、換元構(gòu)造法換元構(gòu)造法在處理多變元函數(shù)問題中應(yīng)用較多，就是用新元去代替該函數(shù)中的部 分（或全部）變元.通過換元可以使變量化多元為少元，即達到減元的目的.換 元構(gòu)造法是求解多變元導(dǎo)數(shù)壓軸題的常用方法.網(wǎng)6 （2013耳龍考陜才想理科第21越（OI）已知函數(shù)/（刈=e'xcK ,設(shè)。以比較W2與文的大小并說明理由.斛祓1/m)+/s) /一/或+a i -

14、2b a 2 b cibe + be" ae" uea 2eh + 2eu2s a)2(6 - a)(b - a)ej +b a 2eb-a + 2設(shè)函數(shù)g（x） =xex + x 2ex 4- 2(x > 0)則/（幻=叱+ 1_，.令 Mx）=g«）,貝（J/f（x） = x/+e，/=x/ N0 （當且僅當x = 0時等號成立），所以g'（x）單調(diào)遞增，所以當工0時,g以）g'（o）= o，所以黑1）單調(diào)遞增當 x>0時，g(x)>g(O) = 0 .令 x = 6-a ,則得(力-.)?-。+6_夕-2/” + 2>

15、0 ,F 二 、j+ c" eb ea所以>0 ,2 b a所以/十/二/一/2b a解注2/可以證明/+/）方）一/ 2b a/3 + /(方)f(b)-/(a)A Ah cie +/e -eh-ae -eh-ae -1 z,>o>r o> -(h >2b-a 2eeb 2eb'a +1px - I x令 x = 6-q(x>0) , 設(shè)函數(shù)以制=匚,e +1 2由于中'（%） =2ex(，+lf9。所以e3在（o,+8）上遞減.z>A _ 1 y因此，當q。時“3<雙。）=。，即77T.亦即/ “I b-a-7<

16、;產(chǎn)“ +12所以告'即:f0 + f(b),Jb)-f(a)b-a將二元字母變出統(tǒng)評注：本題的兩種解法通過將待解決的式子進行恰當?shù)淖冃?一的一種結(jié)構(gòu)，然后用輔助元將其代替，從而將兩個變元問題轉(zhuǎn)化一個變元問題， 再以輔助元為自變量構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來來求解。其中解法1、解法2還分別體現(xiàn)了化積局部構(gòu)造法和變形作差構(gòu)造法.五、主元構(gòu)造法主元構(gòu)造法，就是將多變元函數(shù)中的某一個變元看作主元 (即自變量)，將其它變元看作常數(shù)，來構(gòu)造函數(shù)，然后用函數(shù)、方程、不等式的相關(guān) 知識來解決問題的方法.例7 12004耳方考全遢黑理科第22班(II)已知函數(shù)/(x) = ln(x + l)-x , g(x)

17、 = xlnx .設(shè)0 v a< ,證明 0< g(a)+ g(A)-<(6-a)ln2.多析:所證不等式中有兩個變量。力,從中選一個 為自變量，另一個看成常數(shù),構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，通過 求解函數(shù)最值證明原不等式.證&月/又寸g(x) = xlnx求導(dǎo)，則 g(x) = lnx+ 1.在g(a) + gS)-2g(9L”)中以b為主元構(gòu)造國數(shù)，設(shè) F(x) = g(。) + g(x) - 2g(),則 F x) = g Q) 2g(*9' = In x In 審.當Ovxva時,尸(x)vO,因此b(x)在(Om)內(nèi)為減函數(shù)，當>。時,產(chǎn)口)>(),因此

18、產(chǎn)(工)在(。,+00)上為增函數(shù)，從而當x = a時,F(x)有極小值尸(a).因為尸(。)= ()/>,所以尸(6)>(),即 g(a) + gS) 2g()>0.G(x) = F(x) - (x - a) In 2 ,貝IG*(x) = lnx-lnIn 2 = Inx- ln(x + a),當>0時,6&)<0.因此G(x)在(0,+oo)上為減函數(shù).因為 G(a) = 0,6>a ,所以 G(b)vO,即 g(«) + g(b) - 2g(q?)(8a) In 2.俳痙/本題以方為主元構(gòu)造函數(shù)，當然也可以以。為 主元構(gòu)造函數(shù)，方法

19、類似，讀者不妨一試.對于例6 我們也可以用主元策略進行求解，解法如下：例6另解:/(a) + /S) /(田一/(。) L+e" e-a2b-a 2 b-a_ b+ be。- 2/ + 2e- 2s - a)(p(a) = beh + bea - ae - aeu - 2eh + 2ecl t (a < b),(pa) = bea - e' -(o + l)e" + 2ec, = (b - a + l)e" - e 又。”(4)= S )一 ,由 ，有 0”(幻>0 ,從而函數(shù)O'S）在（-8*）上為增函數(shù)，所以O(shè),s） 。'（

20、力）二產(chǎn)一/二。,故函數(shù)。（。）在（一肛6）上為減函數(shù).因此。（。）例8）二0 ,即 /（a）；/%/（2-/（嘰2b-a六、特征構(gòu)造法1 .根據(jù)條件特征構(gòu)造例8 （2014耳密考曉曲黑文科第21敦（皿川m設(shè)函數(shù) f(x) = lnx +,m w R .若對任意b>a>oJ（H）v 1恒成立,求加的 b-a機對任意的八”。，筌詈<1恒成立, 等價于/（力）-力恒成立.（* ）設(shè) h(x) - / (x)-x = lnx +xx > 0),x所以（）等價于（外在（0,+8）上單調(diào)遞減.I m由（）=：7-140在（）,+00）上恒成立, X JC. 1 . 1 _得掰N-

21、x +x = -(x)+(x>0)恒成立, 24所以吐（對萬二,，"（x） = 0僅在x='時成立）, 442所以加的取值范圍是I；,+00）.序痙.本題通過對/(2一進行等價變形為 b-af(b) -b< f(a) - a ,該不等式兩邊有相似的結(jié)構(gòu)特 征，于是構(gòu)造函數(shù)為a)=x)-x，從而轉(zhuǎn)化為我們 熟悉的已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題，使問題 輕松得以解決.2 .根據(jù)結(jié)論特征構(gòu)造例9 （河南，,聯(lián)2015屆方三一聯(lián)理科第21敦）己知函數(shù)/（x） = （a + l）lnx + 6Lr? + 1 .（I ）討論函數(shù)/（1）的單調(diào)性；（D ）設(shè)14一2 ,證明：對

22、任意不廣2£（°，+°0），|/（西）一/'區(qū)）|24忖一%|解析八I ）當410時,/（X）在（0,+0。）單調(diào)遞增,當。一時,“X）在（0,+00）單調(diào)遞減，當-1。0時，/"）在（o, J-亨單調(diào)遞增,I ' 2a ）f I、在J,+8單調(diào)遞減.V 2a（n）證明：不妨設(shè)玉w七 ,而4（一2 , 由3 ）知/（X）在（0,+8）單調(diào)遞減，從而對任意芭、X2 G （0, +00）,|/（占）-/（心曲-引。 /（占）一/（工2）24（工2占）= /（再）+ 4玉）/（）+ 4令 g(x) = /(x) + 4x ,( * )則 g&#

23、39;(x)二" + 2戈 + 4 xlax2 + 4x + 67 +1 -4x2 + 4x -1 -(2x-l)2 八<=-< 0 XXX故g(X)在(X+8)單調(diào)遞減，有(* )式成立，得證. 評覆;本題中觀察到待證不等式/(演)+ 4占/()+ 4兩邊有相似結(jié)構(gòu)，于是構(gòu)造函數(shù)g(x) = /(x) +4x然后利用此函數(shù)的單調(diào)性 /來尋求突破口.在根據(jù)特征構(gòu)造函數(shù)時，需要有較 強的觀察和聯(lián)想能力，靈活地針對不同的特征構(gòu)造 出相應(yīng)的函數(shù)，這也需要我們平時注意積累，掌握一些常見解題模式，再如2014年高考江蘇卷第19 題：比較e 與Q 的大小，只需比較與(e-l)ln。的

24、大小(根據(jù)特征同時取對數(shù))，然后構(gòu)造函數(shù)燈(%)=(?-1)1口工一工+ 1,研究其最值即可.七、放縮構(gòu)造法如若待求的函數(shù)式較復(fù)雜(或含有參數(shù)),可先將該 函數(shù)式的一部分，利用函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、 已證不等式等進行放縮(或消參)，使之簡化， 即要證 /(x) < g(x) o f (x) < h(x) < g(x)或 /(%) > gW o f(x) > h(x) > g(x)1.由基本不等式放縮構(gòu)造例10 （2012耳方考過寧條理科第21敦）/'（X）= ln（x + 1） + Jx + 1 +ax + b（a,b e R,a,b為常數(shù)） 3,

25、曲線y = /（x）與直線J二弓工在（），（）點相切.乙（.工）求的值；（口）證明：當0<x<2時，廨/(.I )a = 0)b 1.（II）由均值不等式，當x>0時, 2d(x +1)1 < x + 2 ,故 !x + 1 < F1.所以 /(x) = ln(x + 1) + yfx + i 1 < ln(x + 1) + -x 9xt己/(x) = ln(x+l) +2 x + 6則"（幻二一x + 1154H-2 (x + 6)-x(x2 + 15x-36)2(x + l)(x + 6)2當 0vxv2 時，hx)<0 , 所以力(x)

26、在(0,2)內(nèi)是減函數(shù).故又由(%)<人(0) = 0 ,x 9 v所以 ln(x + l) + ，2 x + 6即 ln(x +1) +1 -1 <x + 69x故當 0<x<2時，/(x)< x + 6許逢，本題第（口）間若直接構(gòu)造函數(shù)9 Yh（x） = f（x） -，對（x）進行求導(dǎo)，由于'（X）中 x + 6既有根式又有分式，因此'（）的零點及相應(yīng)區(qū)間上 的符號很難確定，而通過對VTR進行放縮處理， 使問題得到解決.上面的解法中，難點在用均值不等式證明而T< + 1 ,亦即是將拋物線弧y =X放大化簡為直線段y=;+l,而該線段正是拋物線弧y二而I在左端點（0,1）處的切線,這種化曲 為直的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用 方法，當然本題也可以先構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，再用基本 不等式放縮.2.由已證不等式放縮構(gòu)造例11 (2013耳方考追守黑理科第21賽J._工3已知函 /(x) = (1+x)e2x,g(x) - ax+1+2jccosx.當工三0時,(T )求證：-x< fx)<I + x(II )若恒成立，求參數(shù)。的取值范f (jc)-g(x