【教師必備】小學(xué)奧數(shù)7-8-2幾何計(jì)數(shù)(二).專項(xiàng)檢測(cè)及答案解析

1、7-8-2.幾何計(jì)數(shù)（二）7-8-2.幾何計(jì)數(shù)（二）.題庫(kù)教師版page 10 0f 11W1歸 教學(xué)目標(biāo)1 .掌握計(jì)數(shù)常用方法；2 .熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3 .根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù).本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲 透分類計(jì)數(shù)和用容斥原理的計(jì)數(shù)思想."j哪4知識(shí)要點(diǎn)一、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問(wèn)題， 如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的 個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問(wèn)題看起來(lái)似乎沒(méi)有什么規(guī)律可循，但是通過(guò)認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法

2、1 C以及遞推法等.n條直線取多將平面分成2+2+3+ +n=（n2+n+2）個(gè)部分；n個(gè)圓2最多分平面的部分?jǐn)?shù)為 n（n-1）+2 ； n個(gè)三角形將平面最多分成 3n（n-1）+2部分；n個(gè)四邊形 將平面最多分成 4n（n-1）+2部分在其它計(jì)數(shù)問(wèn)題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時(shí)需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解.排列問(wèn)題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問(wèn)題與各事物所在的先后順序無(wú)關(guān)，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān).二、幾何計(jì)數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有 n+1個(gè)點(diǎn)（包括兩個(gè)端點(diǎn)）（或含有n個(gè)“基本線段”），那么 這n+1個(gè)點(diǎn)把這

3、條線段一共分成的線段總數(shù)為n+（n-1）+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法），因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn) A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有 15個(gè)三角形，同樣一邊在 BC 上的三角形也有15個(gè)，所以圖中共有 30個(gè)三角形.數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形：一般的，對(duì)于任意長(zhǎng)方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有 m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè).例題精講模塊二、復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【例1】如下圖在釘子板上有16個(gè)點(diǎn)，每相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可

4、以得到.個(gè)正方形. * * *【題型】填空【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2年級(jí)，第4題先看橫著的正方形如下圖，可以得到9+4+1=14個(gè)正方形，再看斜著的正方形這樣一共可以得到如下圖可以得到 4個(gè)正方形，如下圖可以得到 2個(gè)正方形.14+4+2 =20個(gè)正方形.考點(diǎn)【答案】圖形計(jì)數(shù)20個(gè)如圖，4M4的方格紙上放了 16枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形有個(gè).（如右圖）.根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形.共能組成五種大小不同的正方形1父1的正方形：9個(gè)；2M2的正方形：4個(gè)；3M3的正方形：1個(gè)；以1父1正方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：4個(gè)；以1M2長(zhǎng)方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：2個(gè).

5、故可以組成9+4+1+4+2 =20（個(gè)）正方形.【鞏固】 下圖是3X3點(diǎn)陣，同一行（歹U）相鄰兩個(gè)點(diǎn)的距離均為 1。以點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，其中面積為1的形狀不同的三角形有種?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第【解析】在本題中，三角形的面積是 情況：4星【題型】填空11題1,底和高只能一個(gè)是 1, 一個(gè)是2,可以有以下三種【例2】一塊木板上有13枚釘子（如左下圖）。用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成等等（如右下圖）。請(qǐng)回答:可以構(gòu)成多少個(gè)正方形?【難度】4星【題型】填空【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 2題【解析】【難度】10題,3星1

6、0分【題型】填空3種，如下圖A有3個(gè)陰影方格.所以，僅有一個(gè)方格，它所在的行和列均有3個(gè)陰影方格，有這種性質(zhì)的方格稱為“特征陰影方格”.“特征陰影方格”在3X3正方格紙中的位置，就唯一地決【例4在下面的圖中，包含蘋果的正方形一共有個(gè).【例3】在3X3的方格紙上（如圖1）,用鉛筆涂其中的5個(gè)方格，要求每橫行和每豎行列 被涂方格的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后相同，則認(rèn)為它們是相同類2和圖3是相同類型的涂法?；卮鹱睢究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第【解析】不同類型的涂法有定了 3X3的方格紙的涂法.“特征陰影方格”在方格紙的角上（圖A左邊）、外邊中間的方格（圖A中間）和中心的方

7、格（圖 A右邊）三個(gè)位置確定了只有 3種類型的涂法.【答案】3種【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，1年級(jí)，第4題【解析】 包含1個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有1個(gè)，包含4個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有4個(gè)，包含9個(gè)基本正方形的帶蘋果正方形有 6個(gè)，包含16個(gè)基本正方形的帶 蘋果正方形有2個(gè)，所以共有1+4+6+2=13（個(gè)）.<考點(diǎn) > 圖形的計(jì)數(shù)方法之一一分類計(jì)數(shù)【答案】13個(gè)個(gè)。3星【題型】填空4的有7個(gè)，面積為3的有2個(gè)，共24個(gè).【鞏固】 圖中，不含“ A”的正方形有【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 面積為1的

8、有15個(gè)，面積為【答案】24【鞏固】 圖中，不含“ A”的正方形有個(gè)。3星【題型】填空10題A的有20【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第【解析】 面積為1的有15個(gè)，面積為4的有5個(gè)，面積為9的沒(méi)有，所以不含 個(gè).【答案】20個(gè)【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第4題【解析】根據(jù)乘法原理，所有長(zhǎng)方形總數(shù)為（1+2+3+4+5+6） X （1+2+3+4+5+6）=441（個(gè)），包含的長(zhǎng)方形有 3X3X4X 4=144（個(gè)），所以不包含的長(zhǎng)方形有 C2 -9 父16 =21 父21 -9父16 =441 144=297 （個(gè)）,【答案】297個(gè)例6如圖，其中同時(shí)包括兩個(gè)的

9、長(zhǎng)方形有個(gè).【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【解析】 先找出同時(shí)包括兩個(gè)的最小長(zhǎng)方形, 包括該最小長(zhǎng)方形.根據(jù)乘法原理【答案】24個(gè)【例7】圖中含有“”的長(zhǎng)方形總共有【題型】解答然后其余所有滿足題目要求的長(zhǎng)方形都必須 2X2X2X3=24 （種）不同的長(zhǎng)方形.個(gè).【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星 【題型】解答【解析】根據(jù)本題特點(diǎn)，可采用分類的方法計(jì)數(shù). 按長(zhǎng)方形的寬分類，數(shù)出含號(hào)的長(zhǎng)方形 的個(gè)數(shù).含有左上號(hào)的長(zhǎng)方形有：6 +6 +6 =18個(gè)，其中，寬為1（即高度為一層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6個(gè)；寬為2（即高度為兩層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6個(gè)；寬為3（即高度為三層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6個(gè)；含有

10、右上號(hào)的長(zhǎng)方形有：6+6x2+6 =24個(gè)，其中，寬為1（即高度為一層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6個(gè)；寬為2（即高度為兩層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6父2個(gè)；寬為3（即高度為三層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：6個(gè)；同時(shí)含有兩個(gè)號(hào)的重復(fù)計(jì)算了，應(yīng)減去，同時(shí)含有兩個(gè)號(hào)的長(zhǎng)方形有：4+4 = 8個(gè)，其中，寬為2（即高度為兩層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：4個(gè)；寬為3（即高度為三層）的含號(hào)的長(zhǎng)方形為：4個(gè)；所以，含有號(hào)的長(zhǎng)方形總共有：18 + 24-8 = 34個(gè).【答案】34個(gè)【例8】在圖中，包含 A的三角形一共有個(gè)?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯， 2年級(jí)，第5題【解析】 包含五角星的三角形中含

11、一個(gè)基本三角形的有1個(gè)；含四個(gè)基本三角形的有 4個(gè);含9個(gè)基本三角形的有 3個(gè)；含16個(gè)基本三角形的有1個(gè)。這樣包含五角星的三角 形一共有 1 +4 +3 +1 =9 （個(gè)）?！敬鸢浮?【例9】右圖中有 個(gè)正方形， 個(gè)三角形，包含的三角形有 個(gè).【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2年級(jí)，第7題【解析】 正方形：正著的方塊有 4個(gè)小的，1個(gè)大的，斜的方塊有 4個(gè)小的，1個(gè)大的；以 正方形共有10個(gè)。三角形：小號(hào)的三角形有16個(gè)，其中有1個(gè)包含中號(hào)的三角形有16個(gè)，其中有2個(gè)包含大號(hào)的三角形有8個(gè)，其中有3個(gè)包含特大號(hào)的三角形有 4個(gè)，其中有2個(gè)包含所以三角形有44

12、個(gè)，包含的有 8個(gè)【答案】正方形10個(gè)，三角形44個(gè)，包含的有8個(gè)【例10 下圖是5X 5的方格紙，小方格為邊長(zhǎng)1厘米的正方形，圖中共有 個(gè)正方形，所有這些正方形的面積之和為【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級(jí)，初賽，第 14題【解析】圖中面積為1、4、9、16、25平方厘米的正方形分別有25、16、9、4、1個(gè)，共有55個(gè)小正方形，所有小正方形的面積和為259.【答案】55個(gè)，面積和為259【例11】 由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè) 4x5長(zhǎng)方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長(zhǎng)方形（含正方形）共有 個(gè)，它們的面積總和是*【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3

13、星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽,10題【解析】 根據(jù)鼠標(biāo)法，左上角共有6個(gè)點(diǎn)，右下角有8個(gè)點(diǎn)，所以共有長(zhǎng)方形有6M 8 = 48（個(gè)）面積總和為：（1 +2 +2 +3 +3+4+4 +5）x（1+2 +2 +3+3 + 4） =360 .【答案】長(zhǎng)方形48個(gè)，面積和為360【例12】圖中內(nèi)部有陰影的正方形共有 個(gè)。【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 10題【解析】 面積為1的正方形有8個(gè)，面積為4的正方形有8個(gè)，面積為9的正方形有8個(gè), 面積為16的正方形有2個(gè)，共計(jì)26個(gè).【答案】26個(gè)【例13在圖中（單位：厘米）：一共有幾個(gè)長(zhǎng)

14、方形 ？所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【解析】 一共有（4+3+2+1/（4+3+2+1） =100（個(gè)）長(zhǎng)方形;所求的和是5 12 8 1 (5 12) (12 8) (8 1) (5 12 8) (12 8 1) (5 12 8 1)2 4 7 3 (2 4) (4 7) (7 3) (2 4 7) (4 7 3) (2 4 7 3)二144x86 =12384(平方厘米).【答案】(1) 100, (2) 12384【鞏固】如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長(zhǎng)度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求圖中長(zhǎng)方形的

15、個(gè)數(shù)，以及所有長(zhǎng)方形面積的和.5792【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有 m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形(平行四邊形) nm個(gè)，所以有(4+3+2+1)x(4+3+2+1)=100 (個(gè))， 這些 長(zhǎng)方形 的面積 和為：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23 ) 乂(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16) =124X 86=10664 (平方厘米).【答案】長(zhǎng)方形共有：100,面積和為10664【例14如圖是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形.其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形若干個(gè)

16、.那么，圖中包含“ A”號(hào)的大、小正三角 形一共有 個(gè).【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】2星【題型】解答7-8-2.幾何計(jì)數(shù)(二).題庫(kù)教師版page 13 0f 11【解析】 分三類進(jìn)行計(jì)數(shù)(設(shè)小正三角形邊長(zhǎng)為 1)包含*的三角形中，邊長(zhǎng)為1的正三角形有1個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正三角形有4個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正三角形有1個(gè)；因此，圖中包含“ * ”的所有大、小正三角形一共有1+4+1=6(個(gè)).【答案】6個(gè)【例15】圖中共有多少個(gè)三角形?【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等.尖向上的三角形又可分為6類(1)最大的三角形1個(gè)(即AB

17、C,(2)第二大的三角形有 3個(gè)(3)第三大的三角形有 6個(gè)(4)第四大的三角形有 10個(gè)(5)第五大的三角形有 15個(gè)(6)最小的三角形有 24個(gè)所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59 (個(gè))圖中共有三角形 2X 59=118 (個(gè)).【答案】118個(gè)【例16】圖3,由邊長(zhǎng)為1的小三角形拼成，其中邊長(zhǎng)為 4的三角形有個(gè)。16題，5分)【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【關(guān)鍵詞】希望杯五年級(jí)一試第【解析】1+2+3=6【答案】6個(gè)【例17】右圖是半個(gè)正方形，它被分成一個(gè)一個(gè)小的等腰直角三角形，圖中，正方形有 個(gè)，三角形有 個(gè)?！娟P(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第 7題【解析】 正方形10

18、個(gè)，角形18+15+4+4+1=42【答案】正方形10個(gè)，三角形42個(gè)【例18 如圖，連接一個(gè)正六邊形的各頂點(diǎn).問(wèn)圖中共有多少個(gè)等腰三角形(包括等邊三角形)？ 【考點(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】本題需要分類進(jìn)行討論.先考慮其中的等邊三角形.圖中，六邊形的每1個(gè)頂點(diǎn)是某個(gè)小號(hào)等邊三角形的頂點(diǎn)，而且，每個(gè)小號(hào)等邊三角形，有且僅有一個(gè)頂點(diǎn)是六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，既然六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，所以圖中有6個(gè)小號(hào)三角形;圖中，六邊形的每一條邊是某個(gè)中號(hào)等邊三角形的一條邊，而且，每個(gè)中號(hào)等邊三角形有且僅有一條邊是六邊形的一條邊，既然六邊形有6條邊，所以圖中有6個(gè)中號(hào)等邊三角形；圖中

19、，大號(hào)等邊三角形有 2個(gè)；再考慮其中非等邊的等腰三角形.圖中非等邊的等腰三角形，按照面積大小分類有3種類型，見圖.7-8-2.幾何計(jì)數(shù)（二）.題庫(kù)教師版page 15 0f 11 其中小號(hào)的等腰三角形有 6個(gè)，因?yàn)檫@類三角形均以六邊形的一條邊為其邊長(zhǎng)，并且，六邊形的每一條邊只唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)小號(hào)等腰三角形，而正六邊形有6條邊，所以有6個(gè)小號(hào)等腰三角形；中號(hào)的等腰三角形有12個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)中號(hào)等腰三角形的長(zhǎng)邊都是六邊形的一條非直徑的弦，并且，以非直徑的弦為長(zhǎng)邊的三角形有2個(gè)，如圖，這樣的弦共有 6條，所以有12個(gè)中號(hào)等腰三角形；大號(hào)的等腰三角形有6個(gè)，因?yàn)槊總€(gè)大號(hào)等腰三角形的長(zhǎng)邊都是六邊形的一條直徑，

20、每條直徑上都對(duì)應(yīng)有2個(gè)大號(hào)三角形，如圖，共有 3條直徑，所以有6個(gè)大號(hào)等腰三角形.那么圖中共有6626-12-6=38個(gè)等腰三角形.【答案】38個(gè)【例19】圖中有 個(gè)正方形，有 個(gè)三角形?！究键c(diǎn)】復(fù)雜的幾何計(jì)數(shù)【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 14題【解析】邊線是水平或垂直方向的正方形共有62 +52 +42 +32 +22 +12 =91 （個(gè)），形如的正方形有4個(gè)，所以共有正方形91+4 =95（個(gè)）.（如何保證沒(méi)有其它的斜正方 形了？如右圖，擦去橫線和豎線，只留下斜線，就一目了然了.）此題也可以計(jì)算不同面積的正方形各有多少個(gè)，以面積大小數(shù)正方形， 記最小的正方形面積為1

21、;則面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為 36;面積為2的正方形的個(gè)數(shù)為 4;面積為4的正方形的個(gè)數(shù)為25;面積為9的正方形的個(gè)數(shù)為 16;面積為16的正方形的個(gè)數(shù)為 9;面積為25 的正方形的個(gè)數(shù)為 4;面積為36的正方形的個(gè)數(shù)為1.所以，共有36 +4 +25 +16 +9 +4 +1 =95 （個(gè)）正方形.第2問(wèn)。方法1:以圖中的最小的直角三角形為計(jì)數(shù)基本單位數(shù)三角形:只有1個(gè)基本圖形單位的三角形共 72個(gè)；由2個(gè)基本圖形單位組成的三角形共37個(gè)；由4個(gè)基本圖形單位組成的三角形共30個(gè)；由8個(gè)基本圖形單位組成的三角形共4個(gè)；由9個(gè)基本圖形單位組成的三角形共10個(gè)；由16個(gè)基本圖形單位組成的三角形共2

22、個(gè)；所以圖中共有三角形 72+37+30+4+10+2=155 （個(gè)）。方法2:依三角形的斜邊的長(zhǎng)度數(shù)三角形。（1）斜邊和水平線成 45度角的三角形，記這類三角形最小的斜邊的長(zhǎng)度為 1 :長(zhǎng)度為3的斜邊共有：5條；長(zhǎng)度為4的斜邊共有：1條。因?yàn)閳D中這類斜邊每條帶有2個(gè)三角形，所以共有 2X （36+15+5+1） =114 （個(gè)）。（2）斜邊水平的三角形，從上向下：斜邊在第一條線有 2個(gè)；斜邊在第二條線有 4個(gè)；斜邊在第三條線有 4個(gè)；斜邊在第四條線 有5個(gè)；斜邊在第五條線有 2個(gè)；斜邊在第六條線有 2個(gè)；斜邊在第七條線有 2個(gè)； 所以這種類型的三角形共有21個(gè)。（3）斜邊為垂直線的三角形，從左向右：斜邊在第一條線有2個(gè)；斜邊在第二條線有 2個(gè);斜邊在第三條線有 5個(gè)；斜邊在第四條線有 3個(gè)；斜邊在第五條線有 3個(gè)；斜邊在第六條線 有4個(gè)；斜邊在第七條線有 1個(gè)，所以這種類型的三角形共有20個(gè)。共有114+21+20=155（個(gè)）三角形?！纠?0 將右圖中的2007（即陰影部分）分成若干個(gè)1X2的小長(zhǎng)方形，共有【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，