2020屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義【13】-指數(shù)與對數(shù)方程

1、2020屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義【13】-指數(shù)與對數(shù)方程一、知識梳理：1、指數(shù)方程和對數(shù)方程定義：在指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程。2、指數(shù)方程的主要類型：(1) af(x) b f (x) 10gbi(a 0, a 1,b 0);(2)af(x)ag(x)(a 0,a 1) f (x) g(x)；(3) af(x)bg(x) fx 1g a g(x) 1g b(a0,a 1,b0,b 1)；(4) Aa2xBax C0(a 0,a 1),令 tax轉(zhuǎn)化為At2 Bt C0后再求解;(5) A a2xB ax bxC b2x 0(a 0,a1,b 0

2、,b1)可轉(zhuǎn)化為：2xxA aBaC 0,再用換元法求解；bb3、對數(shù)方程的主要類型：(1) log aa x b f (x) ab(a 0,a 1)；f(x) g(x)(2) log (x) 1ogg(x)(a 0,a 1) f(x) 0 ;g(x) 02(3) A 1oga(x) B 1oga(x) C 0(a 0,a 1),令 t 1oga(x),轉(zhuǎn)化為：At2 Bt C 0,再求解。4、值得注意的幾個問題：(4) 注意解指數(shù)方程和對數(shù)方程過程中換元法和等價轉(zhuǎn)化思想的運用；(5) 在解方程的過程中變形的每一步都要是同解變形，否則會失根或產(chǎn)生增根，要注意檢驗；(6) 要能利用計算器、函數(shù)的

3、圖像和二分法來探索、求解一些指、對方程的近似解。二、基礎(chǔ)檢測：1 .方程22x 2x2 3的解為.2 .方程 logz(2x) 1og2(x2 3)的解為.3 .方程42x1 (1)、的解是2一，2 一一，一4 .函數(shù)f(x) 10g2 x 3的零點是.5 .方程 log4(3 x) log0.25(3 x) 10g4(1 x) log0.25(2x 1)的解集是.6 .若函數(shù)f(x) x2 2x m在區(qū)間(0,2)上有唯一的零點，則實數(shù)m的取值范圍是 3三、例題精講：【例1】解下列方程:(1) 92x 13 x1(4)log(16 3x)(x 2)2解：(1) 92x 13 x34x 2 *

4、(2)兩邊取對數(shù)得x 1-X 153(5) xlgx 210003 x 4x 2 x x(3) log5(x 1) 10g0.2(x 3) 1x 1 1g5x2 11g3 ,即 x 1251g5 x 1 1g30,解得x 1或1og 315,所以原方程的解為x1 或 x 1og315 .(3)由原方程得:1og5(x 1)1og5(x3)1 1og5(x1)(x 3) 12x 2x8 0x14,x22(4)(5)經(jīng)檢驗，只有x1原方程可轉(zhuǎn)化為經(jīng)檢驗，只有兩邊取對數(shù),解方程得1g x4符合,所以原方程的解為16 3x (x2)2163xx14, x23x21g3符合,1g x x1,1g x所以

5、原方程的解為1g1000,(1g x)221g3,x 10或3.0,x ,1000經(jīng)檢驗都是方程的根.例2解下列方程:(1) 3 16x 36x2 81x,21g x10g1g x x202.2.(3) 1ogx 9x 1og3 x 4(4)1og2(9x5)1og2(3x 2)22x解：(1)原方程可化為3 42x4x9x92x,可化為30,x4所以491(舍)，即x -,所以原方程的解為2(2)因為101g2x(1dgx)1gxx1gx,故原方程可化為x1gx10,兩邊取常用對數(shù)，得1gx 1(即1gx一一1于是有x1 10, x2一，經(jīng)檢驗，二者都是原方程的根.10所以，x(4)原方程化

6、為1-C，一或x 3,經(jīng)檢驗，x99x 5 4(3x 2), 3x 2 0,解得x9x 5 0.1 -一或x 3都是原方程的解.91【例3】解下列方程:5(1) a2 4x (2a 1) 2x 1 0(2)2-一 一1g(x2 ax) 1g(6a 3) 0(3) 21gx lg x解：(1)當a0時,2x 1,x 0;0時,_22(2a 1) 4a1 4a1-右 0則 a ( a 0).4且關(guān)于t的22_二次方程a t (2 a1)t 10至少有一個正根,而兩根之積為1八、一，一 r 0 ,故兩根之和為正數(shù)，即 a0)時,2x(1 2a)1 4a2 a2故a 1(40)時，x1og212a14

7、a2a2為原方程之根.(2)化原方程為:x2 2ax6a 3 02x 2axa2 6a 3Ja2 6a 3 即(3)先求使方程有意義的未知數(shù)在此條件下，原方程化為4a6a1 a2(x a)26a 3得x14a4ax2 1x1x2x1 1x2 1x1x2x1故原方程有兩個實數(shù)根x13 0 ,故由(xa2 6a 3 ( ax和參數(shù)a的取值范圍，由a)212)6a3得:4時，方程無實根，則原方程無實根;4時，方程有兩個相等的實數(shù)根4時，方程有兩個不等的實數(shù)根2 a 2 0,x21 a a 12是原方程的實數(shù)根;x1 , x2 ,由韋達定理,a2 4a-2，x2aa2 4a ,(a 4) .2【例4】

8、已知關(guān)于x的方程32x1 (m l)(3x1 1) (m 3)3x 0(m R).(1)當m=4時，解此方程;(2)若方程在區(qū)間(1,log34)上有唯一的實數(shù)解，求 m的取值范圍.0 即 3 (3x)2 8 3x 3 0解：(1)m=4 ,則原方程為 32x 1 3(3x 1 1) 3x令 t3x0 ,則有 3t2 8t 3 0人，、1解得t 3 (舍)或t31則3x-,解得x3(2) m28(7,二)5【例5】當k為何值時，方程|3x 1| k無解？有一解？有兩解？解：當k 0時，直線y=k與函數(shù)y |3x 1|無交點，所以方程無解；當k 0或k 1時，直線y k與函數(shù)y |3x 1|有一

9、個交點，所以方程有一解;當0 k 1時，直線y k與函數(shù)y |3x 1|有兩個交點，所以方程有兩解；【例6】若關(guān)于x的方程9x (a 4) 3x 4 0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍i9x 4 v 4斛：a 4 (3 一)4, a 8.3x3x【例7】用二分法求方程10g2(x 4) 3x在(0,1)上的近似解(精確到0.1).解：設(shè) f(x) log2(x 4) 3x,f(0) 0, f (1) 0, f(0.5) 0,所以 f(x) 0 在(0.5,1)上必有一解，根據(jù)二分法，進行方t算,可得f (x) 0在(0.71875,0.7421875)上必有一解，區(qū)間(0.71875,0.7421

10、875)上任意數(shù)取四舍五入至0.1后均為0.7,因此取0.7為近似解.【例8】若關(guān)于x的方程lg(x 1) lg(3 x) lg(1 ax)有兩解，則實數(shù)a的取值范圍是 解：即考慮(x 1)(3 x) 1 ax在(1,3)上解的情況ax在(1,3)上的交個數(shù)點1如圖所示，即考慮曲線y (x 1)(3 x)與直線y 111當直線的斜率 a ( 1, - a -,1)或者a 0時, 33兩者圖像有唯一交點，即方程有唯一解；1 1當直線的斜率 a (1,0) a (0,1)時，3 3兩者圖像有兩個交點，即方程有兩解；當 a (, 1 (0,) a (,0) 1,)時，兩者圖像無交點，即方程無解；綜上

11、所述，a (0,1).37【例9】已知關(guān)于x的方程k 9x k 3x1 6(k 5) 0在x 0,2上有解，求實數(shù)k的取值范圍。解：方法一：令3x(1)當k 0時，方程不成立;5o(2)當 k 0時，則 t2 3t 6(1 )0。令 f(t) t2 3tk2 c “5、八，一t2 3t 6(1 -) 0在 t 1,9上有解，則k6(1 -),此二次函數(shù)的對稱軸方程為 k0f(9) 059 24(1) 0k,解得15281 27 6(1 -) 0kk 8。方法二：令3x t ,由x 0, 2,則t2 一 一一.一 , .1,9,則原方程化為kt 3kt 6(k 5) 0在t 1,9上有解。(1)

12、當k 0時，方程不成立;5(2)當 k 0時，則 t2 3t 6(1 -) 0在t_ 2 _ 30-即t3t 6 。在同一坐標系中作出f (t)k1,9上有解。2 一一t 3t6,t30,1,9與y 的圖像，可知方程解的個數(shù)等價于兩 k1,9,則原方程化為kt2 3kt 6(k 5) 0在t 1,9上有解。9函數(shù)圖像交點個數(shù)。3、3015301 c所以 f (一) f (9),即60，所以一k 8 2k4k21說明：萬法二比萬法一更直觀，此萬法還可以得出k的取值與萬程解的個數(shù)的關(guān)系。當k 8或k -時，方程無21 1515斛；當k 8或k 時，方程有一解；當 k 8時方程有兩解。2 22方法三

13、：原方程化為k(9x令 3x t,當 x 0, 2時 tx x 1x 2x36) 30 ,因為 936 (3 )3 36301,9。則 k -r-0,t 1,9。因 t 1,9時，t2 t2 3t 60恒成立，則k309x 3x 1 6八 c 151,八3t 6 一 ,60,所以k 8。42【例10】設(shè)a,x R,解關(guān)于x的方程lg(x 1) lg(3 x) lg(a x)。11解：原方程等價于x 1 03x0a x 0，因為1 x 3時，(x 1)(3 x) 0恒成立,(x 1)(3 x) a x所以a x0恒成立，即原方程等價于1 x 3ax2 5x 3作函數(shù)yx2 5x3在1 x 3上的

14、圖像,由圖像可以看出:(1)當1 a 3時，方程有一解，且此解13綜上知：1 a 3或a 時4方程解為5 .13 4a , -13 ,、；當3 a 一時，方程解為x24513-4 a2 工 55.13 4a小于一，所以x ；2213(gn(x),函數(shù) F (x) Hi(x) g1(x) (0 a)當3 a 時，方程有兩解4513-4ax ;13(3)當a 時，方程有一解4四、難題突破：f(x)的圖像上運動時，點N(x 2,ny)在函數(shù)y gn(x)的圖像例 1:已知 f (x) log 1 x ,當點 M (x, y)在 y2上運動(n N * ).(1)求y gn(x)的表達式;若方程g1(

15、x) g2(x 2a)有實根，求實數(shù) a的取值范圍;(3)設(shè) Hn(x),f5 24 2+x b )的值域為log 2,log 2，求b 2 a 2實數(shù)a , b的值.五、課堂練習(xí)：1 .方程9x 4 3x 3 0的解集是2 .解方程：9x 4x 5 6x.23 .解方程：9x 9 x 4(3x 3 x) 50 .,一、 x a 3 ,4 .關(guān)于x的方程5 x 的根為正數(shù)，則a取值范圍是 .5 a5 .關(guān)于x的方程2a2x 2 7ax 1 3 0有一個根為2,求實數(shù)a的取值及方程的其余的根.6,關(guān)于x的方程k 9x k 3x 1 6(k 5) 0在區(qū)間0,2上有解，求實數(shù)k的取值范圍；若方程在

16、區(qū)間0,2上只有一個解呢？7.方程logx i(3x2 7x 2) 2的解集是.1 x8 .方程logL(x 4) I,)實數(shù)解的個數(shù)是 .29 .若 a,b是萬程 lg x 2lg x 3 0 的兩根，則 loga b log ba .2210 .解方程：10g3 x log1 x 3 0311 .作為對數(shù)運算法則：lg(a b) lg a lg b( a 0,b 0)是不正確的.但對一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2 lg 2 .那么，對于所有使lg(a b) lg a lgb(a0,b0 )成立的a , b應(yīng)滿足函數(shù)a f(b)表達式為.12 .關(guān)于x的方程x 2x 2,x

17、log2 x 2的解分別為 ，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，13 .當實數(shù)a取何值時，方程lg(x 1) lg(3 x) lg(1 ax)有一個實數(shù)解，兩個實數(shù)解或沒有實數(shù)解?14 .已知關(guān)于x的方程lg(ax) 2lg( x 1)(1)當a 2時，解該方程；(2)討論a取何值時該方程有解，并求出它的解？14六、回顧總結(jié)：(1)指、對數(shù)方程的基本要求：逼近法，或使用計算器等。1 .理解指數(shù)方程和對數(shù)方程的概念，會求指數(shù)方程和對數(shù)方程近似解的常用方法，如圖像法、2.會解簡單的指數(shù)方程和對數(shù)方程。在利用函數(shù)的性質(zhì)求解指數(shù)方程、對數(shù)方程以及求方程近似解的過程中，體會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。(2)對

18、數(shù)方程的常見類型與解法:同底法:lOga f(X)log af(x) g(x)(a 0, a 1) f (x) g(x)g(x)0 ;換元法:f (lOg a X)0(a0,a D，設(shè) t lOga x ,轉(zhuǎn)化為解 f(t) 0；互化法:lOga f(X)f(x) ab。注：對數(shù)方程須檢驗，含字母的對數(shù)方程化為與之等價的混合組。七、課后練習(xí)：2 .方程lg(x21) lg5的解集用列舉法可表示為 .3 .函數(shù)f(x) 4x 2x 1的零點為 .4 .方程 lg(x 1) lg(x 2) lg(x 2)的解為.25 .若萬程 lg x (lg5 lg7)lg x lg5 lg7 0 的兩個解為，貝U .6 .關(guān)于x的方程4x k 2xk 3 0有實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是 .loga x x 0c7 .已知函數(shù)f(x) 1,其中a為常數(shù)且a 1,若關(guān)于x的方程f(x)2 b f (x) 0恰有三個不同的實數(shù)ax 1x 0解，則實數(shù)b的取值范圍是 .7.方程x 11gxi 2的實數(shù)解的個數(shù)是答A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個318.解方程：1 3x1. 3 1 39.解方程:log2(9x15) log2(3x 1 2) 2.10.利用二分法,求方程lnx 2x 6 0的近似解(精確到0.1)11.過圓C:(x 1)2 (y 1)2 1的圓心，作直線