第二章點、直線、平面之間的位置關系A組

1、第二章 點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1. 設 ，為兩個不同的平面，I, m為兩條不同的直線，且 I , m?，有如下的 兩個命題：若/ ，則I / m;若I丄m,貝U丄那么（）.A .是真命題，是假命題B .是假命題，是真命題C.都是真命題D .都是假命題（第2題）2. 如圖，ABCD AiBiCiDi為正方體，下面結論錯誤.的是（）.A. BD /平面 CBiDiB. ACi 丄BDC. ACi 丄平面 CBiDiD. 異面直線AD與CBi角為603 .關于直線m, n與平面 ，有下列四個命題 m /, n/且/，貝 U m / n;m, n丄且丄，貝U mn;ml , n/且/，

2、貝U m丄n;m /, n丄且丄，貝 U m / n.其中真命題的序-口.曰 號是().A .B .C.D .4. 給出下列四個命題： 垂直于同一直線的兩條直線互相平行 垂直于同一平面的兩個平面互相平行 若直線li, |2與同一平面所成的角相等，則li, 12互相平行 若直線li, |2是異面直線，則與li, |2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是（）.A. iB . 2C. 3D . 45. 下列命題中正確的個數(shù)是 （）. 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內，則I/ 若直線I與平面 平行，則I與平面 內的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與

3、這個平面平行 若直線I與平面 平行，則I與平面 內的任意一條直線都沒有公共點C. 2個D . 3個6. 兩直線li與I2異面，過li作平面與I2平行，這樣的平面（）.A .不存在B .有唯一的一個C.有無數(shù)個D .只有兩個7. 把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A, B, C, D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）.A. 90B . 60C. 45D . 30&下列說法中不正確的.是（A .空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B. 同一平面的兩條垂線一定共面C. 過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內D. 過

4、一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直9.給出以下四個命題： 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直其中真命題的個數(shù)是（）.10 .異面直線a, b所成的角60,直線a丄c,貝U直線b與c所成的角的范圍為（）.A. 30 90B . 60 90C. 30 60D . 30 120 二、填空題11. 已知三棱錐 P ABC的三條側棱FA, PB, PC兩兩相互

5、垂直，且三個側面的面積分別為 S1 , S2, S3,則這個三棱錐的體積為12. P是厶ABC所在平面外一點，過P作PO丄平面 ，垂足是 O,連PA, PB, PC.（1）若 PA = PB = PC,貝U O ABC 的心；（2）PA丄 PB, PA丄PC, PC丄 PB，貝U O 是厶 ABC 的心；（3）若點P到三邊AB, BC, CA的距離相等，則 O是厶ABC的心；(4) 若 PA = PB = PC,/ C= 90o,貝 U O 是 AB 邊的點；(5) 若PA = PB = PC, AB = AC,則點 O在厶ABC的線上.B(第13題)13. 如圖，在正三角形 ABC中，D,

6、E, F分別為各邊 的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點，將 ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后， GH與IJ所成角 的度數(shù)為.14. 直線I與平面 所成角為30 l n = A,直線m ，則m與I所成角的取值范圍 是.15. 棱長為1的正四面體內有一點 P,由點P向各面引垂線，垂線段長度分別為 di, d2, d3, d4,貝U d1+ d2+ d3+ d4 的值為.16. 直二面角 I- 的棱上有一點A，在平面 ，內各有一條射線 AB, AC與I成45 AB , AC ，則/ BAC =.三、解答題17. 在四面體 ABCD中， ABC與厶DBC都是邊長為4的正三角

7、形.(1) 求證：BC丄AD ;(2) 若點D到平面ABC的距離等于3,求二面角ABC D的正弦值；(3) 設二面角A BC D的大小為 ，猜想 為何值B時，四面體 A BCD的體積最大.(不要求證明)A18. 如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1中，AB2, BBi = BC= 1, E 為 DiCi 的中點，連結 ED , EC, EB 和 DB .(1) 求證：平面EDB丄平面EBC;(2) 求二面角E-DB C的正切值.(第18題)19* .如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S ABCD中，AD / BC ,Z ABC = 901SA丄面 ABCD , SA=AB = BC =1,

8、AD =2(1) 求四棱錐S- ABCD的體積；(2) 求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延長 BA, CD相交于點 E,則直線 SE是 所求二面角的棱.)(第19題)柱的體積.（提示：在 AAi上取一點P,過P作棱柱的截面，使 AAi垂直于這個截面.）（第20題）第二章 點、直線、平面之間的位置關系參考答案A組一、選擇題1. D解析：命題有反例，如圖中平面I? , m?,且I / n, ml n,貝U m I，顯然平面不垂直平面故是假命題；命題顯然也是假命題,解析：異面直線 AD與CBi角為45.2. D解析：在、的條件下，m, n的位置關系不確定.3. D4. D門平面=直

9、線n,（第1題）解析：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)均不正確，故選擇答案D.5. B解析：學會用長方體模型分析問題，AiA有無數(shù)點在平面ABCD夕卜，但AAi與平面ABCD相交，不正確；AiBi / 平面ABCD ,顯然AiBi不平行于BD,不正確；AiBi / AB, AiBi /平面 ABCD，但AB?平面ABCD內，不正確；I與 平面a平行，則I與 無公共點，I與平面 內的所有直線（第5題）都沒有公共點，正確，應選B .6. B解析：設平面過li,且I2 / ，則Ii上一定點P與I2確定一平面，與 的交線I3 / 12,且13過點P.又過點P與I2平行的直線只有一條，即 13有唯一性，所

10、以經過Ii和I3的平面是唯一的，即過Ii且平行于I2的平面是唯一的7. C解析：當三棱錐 D ABC體積最大時，平面 DAC丄ABC,取AC的中點0,則厶DBO是等腰直角三角形，即/DBO = 45 & D解析：A 一組對邊平行就決定了共面；B 同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；C 這些直線都在同一個平面內即直線的垂面；D 把書本的書脊垂直放在桌上就明確了.9. B解析：因為正確，故選B .10. A解析：異面直線a , b所成的角為60直線c丄a，過空間任一點 P,作直線a a, b/ b, c c若a b c共面則b與c成30。角，否則 b 與c 所成的角的范圍 為(30 90，所以直

11、線b與c所成角的范圍為30 90 .二、填空題1 .11. - J2SS2S3 .3解析：設三條側棱長為a, b, c.111貝 V ab = S1,bc= S2,ca= S3 三式相乘：2 2 2二-a2 b2 c2= S1S2S3,8 abc= 2 2 S,SS3 .T三側棱兩兩垂直，111 - V= abc yZSSSs .3 2312. 外，垂，內，中， BC邊的垂直平分.解析：(1)由三角形全等可證得O ABC的外心；(2) 由直線和平面垂直的判定定理可證得，OABC的垂心；(3) 由直線和平面垂直的判定定理可證得，OABC的內心；(4) 由三角形全等可證得，O為AB邊的中點；(5)

12、 由(1)知，O在BC邊的垂直平分線上，或說O在/ BAC的平分線上.13. 60解析：將厶ABC沿DE , EF, DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為6014. 30 90 .解析：直線l與平面 所成的30的角為m與I所成角的最小值，當m在 內適當旋轉解析：作等積變換:手 X (d1+ d2+ d3+ d4)16. 60或 120解析：不妨固定AB,則AC有兩種可能.三、解答題17. 證明：（1）取BC中點0,連結AO , D0. ABC , BCD都是邊長為4的正三角形， A0丄BC , DO 丄 BC,且 AOA DO = O, BC丄平面 AOD .又 AD 平面AOD ,

13、BC 丄 AD .解：（2）由（1）知/ AOD為二面角A BC D的平面角，設/AOD =，則過點D作DE丄AD，垂足為E ./ BC丄平面 ADO，且BC 平面 ABC,平面 ADO丄平面 ABC .又平面 ADO門平面ABC= AO, DE丄平面ABC .線段DE的長為點D到平面ABC的距離，即DE = 3.又DO =在 Rt DEO 中，sinDE =邑DO 2 BC 丄 DE . 又 ECBCC , DE丄平面EBC .平面DEB過DE，平面DEB丄故二面角A BC D的正弦值為 -.2（3）當 =90寸，四面體ABCD的體積最大.18. 證明：(1)在長方體 ABCD A1B1C1

14、D1 中，AB = 2,BB1 = BC = 1 ,E 為 D1C1 的中點. DD1E 為等腰直角三角形，/ D1ED = 45。.同理/ C1EC = 45 DEC 90，即 DE丄 EC.平面 D1DCC1 ,在長方體ABCD- AB1GD1中，BC丄平面D1DCC1，又DE平面EBC.（2）解：如圖，過 E在平面D1DCC1中作EO丄DC于0在長方體 ABCD ABiCiDi中，面ABCD丄面DQCCi ,二E0丄面ABCD .過O在平面DBC中作OF丄DB于F，連結EF, / EF丄BD ./EFO為二面角E DB- C的平面角.利 用平面幾何知識可得 OF = 1 ,(第18題)V

15、5又 0E= 1，所以，tan EFO =、5 .19* .解:(1)直角梯形ABCD的面積是M 底面=1( BC+ AD) AB =1+122113 1四棱錐 SABCD的體積是 V=丄 SA M底面=丄X 1X =丄.334 4(2)如圖，延長BA , CD相交于點E,連結SE,則SE是所求二面角的棱./ AD / BC , BC= 2AD ,EA = AB = SA,. SEX SB/ SA丄面 ABCD，得面SEB丄面EBC, EB是交線.上的射影, CS丄SE,/ BSC是所求二面角的平面角.v li(第19題)又BC丄EB , BC丄面SEB, 故 SB是SC在面SEB/ SB= . SA2 + AB2 = .2 , BC = 1, BC