第六章 模糊設計

1、第6章 模糊設計6.1 模糊集合與隸屬函數(shù)1965年，Zadeh教授發(fā)表了模糊集合論論文，提出用“隸屬函數(shù)”這個概念來描述現(xiàn)象差異的中間過渡，扎德創(chuàng)立的模糊集合是模糊數(shù)學的基礎，它是以邏輯真值O，1的模糊邏輯為基礎的，它是對經(jīng)典集合的開拓。模糊數(shù)學又稱Fuzzy數(shù)學，“模糊”二字譯自英文“Fuzzy”一詞。 需要指出的是，隨機性和模糊性盡管都是對事物不確定性的描述，但二者是有區(qū)別的。概率論研究和處理隨機現(xiàn)象，所研究的事件本身有著明確的含意，只是由于條件不充分，使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)決定性的因果關(guān)系，這種在事件出現(xiàn)與否上表現(xiàn)出的不確定性稱為隨機性。在0，1上取值的概率分布函數(shù)就描述了這種隨

2、機性。模糊數(shù)學是研究和處理模糊現(xiàn)象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，這種由于概念外延的模糊而造成的不確定性稱為模糊性(fuzziness)。在0，1上取值的隸屬函數(shù)就描述了這種模糊性。6.1.1 模糊集合人們要表達一個概念，通常有兩種方法，一種是指出概念的內(nèi)涵即內(nèi)涵法；另一種是指出概念的外延，即外延法。實際上，概念的形成總是要聯(lián)系到集合論，從集合論的角度看，內(nèi)涵就是集合的定義，而外延則是組成該集合的所有元素。由此不難看出，內(nèi)涵和外延是描述概念的兩個方面。 在人們的思維中，有許多沒有明確外延的概念，即模糊概念。表現(xiàn)在語言上有許多模糊概念的詞，如以人的年齡為論

3、域，那么“年青”、“中年”、“老年”都沒有明確的外延?；蛘咭匀说纳砀邽檎撚颍敲础案邆€子”、“中等身材”、“矮個子”也沒有明確的外延。再如以某爐溫為論域，那么“高溫”、“中溫”、“低溫”等也沒有明確的外延。諸如此類的概念都是模糊概念。 模糊概念不能用經(jīng)典集合加以描述，這是因為不能絕對地區(qū)別“屬于”或“不屬于”，就是說論域上的元素符合概念的程度不是絕對的0或1，而是介于0和1之間的一個實數(shù)。(1) 模糊集合的定義這里給出Zadeh在1965年對模糊集合（或稱模糊子集）的定義。 設給定論域，到O，1閉區(qū)間的任一映射：O，1 （6-1）都確定的一個模糊子集，稱為模糊子集的隸屬函數(shù)，稱為對于的隸屬度。

4、上述定義表明，論域上的模糊子集由隸屬函數(shù)來表征，取值范圍為閉區(qū)間0，1，的大小反映了對于模糊子集的從屬程度。的值接近于1，表示從屬于的程度很高；的值接近于0，表示從屬的程度很低。可見，模糊子集完全由隸屬函數(shù)所描述。 當?shù)闹涤?0，1時，蛻化成一個經(jīng)典子集的特征函數(shù)，模糊子集便蛻化成一個經(jīng)典子集。由此可以看出，經(jīng)典集合是模糊集合的特殊形態(tài)，模糊集合是經(jīng)典集合概念的推廣。 模糊集合的表達方式有以下幾種。1) 當論域為有限集時，通常有如下三種方式。 Zadeh表示法 (6-2)式中，并不表示“分數(shù)”，而是表示論域中的元素與其隸屬度之間的對應關(guān)系，符號“+”也不表示求和，而是表示模糊集合在論域上的整體

5、。序偶表示法 該方法將模糊集合用論域中的元素與其隸屬度構(gòu)成的序偶表示，即 (6-3)此種表示方法隸屬度為0的項可不寫入。向量表示法 對模糊集合，論域中的元素為，其隸屬度為，采用向量表示法如下： (6-4)在向量表示法時，隸屬度為0的項不能省略。在上述三種表示法中，經(jīng)常采用的是第一種方法，即Zadeh表示法。 2) 當是連續(xù)論域時，Zadeh給出如下記法： (6-5)同樣，也不表示”分數(shù)”，而表示論域上的元素與其隸屬度之間的對應關(guān)系；“”既不表示“積分”，也不是“求和”記號，而是表示論域上的元素與其隸屬度對應關(guān)系的一個總括。(2)模糊集合的運算下面給出模糊集合的定義及其運算性質(zhì)。 1) 模糊子集

6、的包含和相等關(guān)系 設、為論域上的兩個模糊子集，對于中每一個元素，都有，則稱包含，記作。 如果，且，則說與相等，記作。由于模糊集合的特征是它的隸屬函數(shù)，所以兩個模糊子集相等也可用隸屬函數(shù)來定義。若對所有元素，都有，則。 2) 模糊子集的并、交、補運算 設、為論域上的兩個模糊子集，規(guī)定、的隸屬函數(shù)分別為、，并且對于的每一個元素，都有 (6-6) (6-7) (6-8)上述三式分別為與的并集、交集和的補集。式中“”表示取大運算，“”表示取小運算，稱其為Zadeh算子。因此兩個模糊子集的并、交可寫成 (6-9) (6-10) 模糊子集、并集的隸屬函數(shù)取及中的最大值；而、交集的隸屬函數(shù)取及中的最小值。模

7、糊集合的并、交運算可以推廣到任意個模糊集合。3) 模糊子集的代數(shù)運算代數(shù)積 稱為模糊集合和的代數(shù)積，的隸屬函數(shù)為 (6-11)代數(shù)和 稱為模糊集合和的代數(shù)和，的隸屬函數(shù)為 (6-12) 環(huán)和 稱為模糊集合和的環(huán)和，的隸屬函數(shù)為 (6-13)4) 模糊子集運算的基本性質(zhì)冪等律 交換律 結(jié)合律 分配律 吸收律 同一律 復原律 對偶律 上述性質(zhì)模糊集合與經(jīng)典集合是相同的，但須指出，模糊集合不再滿足互補律，其原因是模糊子集沒有明確的邊界，也無明確的邊界。(3) 模糊集合與經(jīng)典集合的聯(lián)系模糊集合是通過隸屬函數(shù)來定義的，如果要問模糊集合究竟由哪些元素組成，那么必須對隸屬度取一定的閾值，即約定當對于的隸屬度

8、達到或超過者就算做的成員，那么模糊集合就變成了經(jīng)典子集。例如，“高個子”是個模糊集合，而“身高1.75m以上的人”卻是個經(jīng)典集合，這里有一個概念叫“截集”。 1) 截集設為論域上的模糊集合,對任意，當稱為的截集，它是一個經(jīng)典集合，稱為水平。當稱為的強截集。 截集與強截集具有如下性質(zhì)：，若，且，則有：， 2) 分解定理設為論域上的模糊集合，為的截集，則有如下分解式成立 （6-14）式中表示的一個模糊子集，稱為與的“乘積”，其隸屬函數(shù)如圖6-1所示，隸屬函數(shù)定義為： （6-15）圖6-1 的隸屬函數(shù) 圖6-2 分解定理的圖示圖6-2給出了分解定理的直觀說明，圖中畫出了不同水平的的圖形。當取遍0，1

9、區(qū)間所有值時，按模糊集合求并運算法則，即取各點隸屬函數(shù)的最大值，再連成一條曲線，這自然與線重合，分解定理說明的就是這個道理。 分解定理提供了用經(jīng)典集合構(gòu)造模糊集合的可能性，它溝通了模糊集合與經(jīng)典集合的聯(lián)系。3) 擴張原理設映射： ，那么可以擴張成為： （6-16）這里，叫做的擴張。通過映射映射成時，規(guī)定它的隸屬函數(shù)的值保持不變。在不產(chǎn)生誤解的情況下，可記作。 分解定理和擴張原理是模糊數(shù)學的理論支柱。分解定理是聯(lián)系模糊數(shù)學和普通數(shù)學的紐帶，而擴張原理是把普通的數(shù)學方法擴展到模糊數(shù)學中的有力工具。6.1.2 隸屬函數(shù) 正確地確定隸屬函數(shù)，是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎。隸屬函數(shù)是對模糊概念的

10、定量描述。我們遇到的模糊概念不勝枚舉，然而準確地反映模糊概念的模糊集合的隸屬函數(shù)，卻無法找到統(tǒng)一的模式。 在模糊數(shù)學中，隸屬度是建立模糊集合論的基石，隸屬函數(shù)是描述模糊性的關(guān)鍵。盡管統(tǒng)計學為隸屬函數(shù)的確定提供了較簡捷和較科學的方法，但它們的確定仍然是實際工作者感到棘手的問題。一個模糊集合在給定某種特性之后，就必須建立反映這種特性所具有的程度函數(shù)即隸屬函數(shù)。 模糊性的根源，在于客觀事物的差異之間存在著中介過渡，存在著亦此亦彼的現(xiàn)象。但是，在亦此亦彼之中依然存在著差異，依然可以相互比較，在上一層次中是亦此亦彼的東西，在下一層次中可能又是非此即彼的。這些便在客觀上對隸屬函數(shù)進行了某種限定，使得隸屬函

11、數(shù)不能主觀任意地捏造，它仍然具有一定的客觀規(guī)律性。 當然，對于同一個模糊概念，不同的人會建立不完全相同的隸屬函數(shù)，盡管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解決和處理實際模糊信息的問題中仍然殊途同歸。事實上，也不可能存在對任何問題、任何人都適用的確定隸屬函數(shù)的統(tǒng)一方法。(1) 隸屬函數(shù)的確定原則 以下是確定隸屬函數(shù)的一般原則： 1) 隸屬函數(shù)的確定過程，本質(zhì)上是客觀的，但又容許一定的人為技巧，有時這種人為技巧對問題的解決起決定作用。值得注意的是，人為技巧應該是合乎情理的，不能有悖于客觀實際； 2) 在某些場合，隸屬函數(shù)可以通過模糊統(tǒng)計試驗加以確定。一般來說，這種方法多是較為有效的； 3)

12、在某些場合，可以用概率統(tǒng)計的結(jié)果予以推理而確定其隸屬函數(shù)； 4) 在某些場合，可以用二元對比排序法確定隸屬函數(shù)的大致形狀，根據(jù)形狀可以選用適當?shù)碾`屬函數(shù)的模型； 5) 在一定條件下，隸屬函數(shù)可以作為推理的產(chǎn)物； 6) 某些模糊集合的隸屬函數(shù)可以經(jīng)過模糊運算求得； 7) 在模糊數(shù)學的許多應用領(lǐng)域中，隸屬函數(shù)可以通過“學習”而不斷完善。實踐效果是檢驗和調(diào)整隸屬函數(shù)的依據(jù)； 8) 隸屬函數(shù)的確定也可以通過專家的經(jīng)驗來確定，目前在許多基于知識的專家系統(tǒng)中都是這樣來確定隸屬函數(shù)的。當論域為實數(shù)時，可以根據(jù)問題的性質(zhì)選用某種典型的函數(shù)形式，并利用隸屬函數(shù)所要滿足的條件來確定函數(shù)中所包含的參數(shù)。(2)常用的

13、模糊分布 以實數(shù)域為論域時，稱隸屬函數(shù)為模糊分布。常見的模糊分布有以下四種： 1) 正態(tài)型 這是最主要也是最常見的一種分布，表示為， 其分布曲線如圖6-3所示。 2) 型 其中，。 當即時，隸屬度為1，其分布曲線如圖6-4所示。 圖6-3 正態(tài)型隸屬函數(shù) 圖6-4 型隸屬函數(shù)3) 戒上型 其中，其分布曲線如圖6-5所示。 4) 戒下型 其中，其分布曲線如圖6-6所示。 圖6-5戒上型隸屬函數(shù) 圖6-6戒下型隸屬函數(shù)(3)常用的隸屬函數(shù) 這里給出28種常用隸屬函數(shù)，分為4組，處理實際問題時可從中選用一種，具體參數(shù)由實際問題決定。 1) 偏小型(戒上型) 論域均為正值，適用于很小的隸屬函數(shù)。降半矩

14、形分布降半型分布其中，。降半正態(tài)分布 其中，。降半梯形分布 降半凹(凸)分布降半柯西分布其中，。降半嶺形分布2) 偏大型(戒下型) 論域也為正值，適用于較大的隸屬函數(shù)。升半矩形分布升半型分布其中，。升半正態(tài)分布其中，。升半梯形分布升半凹(凸)分布升半柯西分布其中，。升半嶺形分布3) 中間對稱型 適用于較小的隸屬函數(shù)。矩形分布尖型分布正態(tài)分布其中，。柯西分布其中，為正偶數(shù)。梯形分布嶺形分布對升凹(凸)分布 4) 中間對稱型 適用于較大的隸屬函數(shù)。其中，。其中，。其中，。6.2模糊優(yōu)化設計6.2.1基本概念概述模糊優(yōu)化設計包括建立數(shù)學模型和應用計算機優(yōu)化程序求解數(shù)學模型兩方面的內(nèi)容。如何從實際問題

15、中抽象出正確的數(shù)學模型，是工程模糊優(yōu)化設計的關(guān)鍵之一，也是工程設計人員進行模糊優(yōu)化設計的首要任務。同其它常規(guī)優(yōu)化設計一樣，目標函數(shù)、約束條件和設計變量是模糊優(yōu)化設計數(shù)學模型的三要素。1) 目標函數(shù) 目標函數(shù)是衡量設計方案優(yōu)劣的某一個指標或某幾個指標。尋找優(yōu)化設計方案的目的，就是追求可靠性最高，造價、維修費用最小或其它性能指標最優(yōu)。由于設計方案的“優(yōu)”與“劣”本身就是一個模糊概念，沒有明確的界限和標準，特別是對于多目標優(yōu)化問題，往往只能得到滿意解。因此，一般地說，目標函數(shù)是模糊的，記為。2) 約束條件 設計中并非所有方案都是可行的，可行方案必須滿足設計規(guī)范和標準中所規(guī)定的條件或其它條件。這些條件

16、大致上可分為三類：幾何方面的約束，如尺寸約束、形狀約束、位移約束等；性能方面的約束，如應力約束、頻率約束、穩(wěn)定性約束，如果承受交變應力，還要考慮疲勞強度約束等；人文因素方面的約束，如經(jīng)濟政策約束、管理水平和環(huán)境因素約束等。這些約束條件，特別是性能約束和人文因素約束中，包含了大量的模糊因素。我們通常所講的模糊優(yōu)化設計，大多數(shù)是具有模糊約束的優(yōu)化設計。模糊約束條件可表達為： (6-17)式中，代表應力、位移、尺寸、頻率等物理量，是所允許的范圍，式(6-17)表示模糊量在模糊的意義下落入模糊允許區(qū)間，這種約束稱為“廣義模糊約束”。當為非模糊量時，式(6-17)可寫成， (6-18)式(6-18)稱為

17、“普通模糊約束”。3) 設計變量 建立優(yōu)化設計數(shù)學模型的一個難點是：哪些參數(shù)應該定為設計變量，哪些參數(shù)取為常量。雖然從理論上說，各種參數(shù)都可以按設計變量處理，但實際上這樣做有時是不合理的，甚至是不可能的。過去都把設計變量視為確定性的或隨機性的，但嚴格說來，設計變量大多具有不同程度的模糊性，因此從理論上說，均應視為模糊變量。當目標函數(shù)、約束條件和設計變量都具有模糊性時，模糊優(yōu)化設計的數(shù)學模型可表述為設計變量： 目標函數(shù)： 約束條件： 根據(jù)模糊目標函數(shù)與模糊約束函數(shù)的關(guān)系，模糊優(yōu)化數(shù)學模型可分為對稱和非對稱兩種。在對稱模型中，目標和約束的地位及作用是同等的、對稱的，并且可以互換位置。在非對稱模型中

18、，目標和約束所起的作用是不同等的、非對稱的，即要在滿足約束的前提下，尋求最優(yōu)的目標，滿足約束是首要的。模糊優(yōu)化設計的若干概念模糊目標集：模糊目標集是指論域上的模糊集合，記為。模糊約束集：模糊約束集是指論域上的模糊集合，記為。交模糊判決：交模糊判決是指模糊目標集和模糊約束集的交集，它由下式給出： (6-19)凸模糊判決：凸模糊判決是指論域上的一個模糊集合，它由下式給出： (6-20)式中，且有。積模糊判決：積模糊判決是指論域上的一個模糊集合，它由下式給出： (6-21)模糊最優(yōu)解：設為論域上的元素，如果它使模糊判決的隸屬函數(shù)取最大值，即 (6-22)則稱為模糊最優(yōu)解。模糊最優(yōu)集：所有模糊最優(yōu)解的

19、集合 (6-23)稱為模糊最優(yōu)集。 模糊優(yōu)化問題求解的基本思想求解模糊優(yōu)化問題的基本途徑，就是把模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非模糊優(yōu)化問題，再用各種普通優(yōu)化方法求解。模糊優(yōu)化問題解法的核心，就是從模糊到非模糊的轉(zhuǎn)化。不同的轉(zhuǎn)化方法便產(chǎn)生不同的模糊優(yōu)化解，模糊優(yōu)化問題的解不是唯一的，由所謂模糊判決給出。解的不唯一性是模糊優(yōu)化的特點。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化及其求解，目前主要有以下幾種基本思路:1) 最優(yōu)水平截集法從工程實際出發(fā)，在事物模糊性(模糊集合)的中間過渡狀態(tài)中，截取一系列水平截集(即給出了一系列不同置信水平下的設計方案)，并從中獲取一最優(yōu)水平截集，得到一個確定性的解，這樣便把一個原來模糊優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)化為相應的

20、普遍優(yōu)化問題。雖然最優(yōu)水平截集法也能給出一系列可供選擇的解及最優(yōu)的解，但這種方法在求解過程之前就將模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非模糊性的優(yōu)化問題，過早地失掉了問題描述的模糊性，這是最優(yōu)水平截集法值得研究和改進的地方。由于該法簡單，思路明確，考慮了事物中介過渡性質(zhì)，所以仍是目前模糊優(yōu)化中普遍采用的一種方法。2）近似模糊集合法用一個普通集合去近似一個模糊集合，并使兩者之差在允許的精度范圍之內(nèi)，從而把一個模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問題。國內(nèi)外均有從事模糊理論研究的學者提出這樣一個新觀點：一個模糊優(yōu)化問題應該得到一個模糊解。即發(fā)展一種方法，使其在優(yōu)化之前不失掉問題的模糊性，帶著模糊性進行求解，最后結(jié)果能用模糊集

21、表示。這既是一個工程技術(shù)問題，更是一個模糊數(shù)學的理論問題，近似模糊集合法還有待于進一步深入研究和探索。6.2.2 對稱模糊優(yōu)化設計求解對稱模糊優(yōu)化設計的基本思想是：目標和所有的約束在優(yōu)化問題中是同等重要的，把目標和約束分別表示為同一論域或不同論域上的兩個模糊子集，然后通過模糊目標集和模糊約束集的交集，尋求既能最大限度地達到目標，又能最大限度地滿足約束的優(yōu)化方案。對稱模糊優(yōu)化數(shù)學模型形式為：在論域上，給出模糊目標集和模糊約束集，求使 (6-24)不難看出，對稱模糊優(yōu)化模型將給出模糊優(yōu)化問題的一個特定的清晰解。對稱模糊優(yōu)化模型的直接解法對稱條件下的模糊最優(yōu)判決準則為：在最優(yōu)點處模糊判決的隸屬函數(shù)取

22、得它的最大值。根據(jù)這個準則，可直接構(gòu)造如下常規(guī)優(yōu)化問題： (6-25) 上述問題等價于: (6-26)此不等式約束極值問題應滿足如下KuhnTucker條件(簡稱KT條件)：， 應用常規(guī)不等式約束優(yōu)化方法即可求得式(6-26)的最優(yōu)解。 對稱模糊優(yōu)化模型的迭代解法1) 迭代解法的理論基礎定理1 設模糊約束的水平截集為則交模糊判決的最大值為 （6-27）證明：利用分解定理將模糊約束表示為其中為的特征函數(shù)，即因此，交模糊判決可表示為交模糊判決的最大值可表示為 而因此，證得 由于隨水平截集的不同而變化，也即隨值的不同而變化，因此為了討論方便，現(xiàn)將視為的函數(shù)，即令顯然，函數(shù)具有如下性質(zhì)：；若，則。定理

23、2 若函數(shù)在閉區(qū)間O，1上連續(xù)，則存在唯一的，使。 定理3 若函數(shù)在閉區(qū)間O，1上連續(xù)，則。 根據(jù)定理2和定理3，模糊優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為求 （6-28）的問題。若已求得，則在普通約束下極大化，便可求得模糊優(yōu)化問題的最優(yōu)解。 定理4 若函數(shù)在閉區(qū)間O，1上連續(xù)，則 （6-29）其中，。由定理4可知，當函數(shù)連續(xù)時，模糊優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如下的常規(guī)優(yōu)化問題：定理5 若模糊約束為嚴格凸模糊集合，則函數(shù)連續(xù)。定理2，3，4，5的證明詳見參考文獻9。2) 對稱模糊優(yōu)化模型的迭代解法由式（6-28）得 （6-30）式(6-30)為迭代解法提供了基本方程。由于是唯一的，故只有當為時，式(6-30)才成立，否則將不

24、等于零。因此可將式(6-30)作為一個準則，把尋求和最優(yōu)解的過程，歸結(jié)為使逐漸趨于零的過程。這樣，對稱模糊優(yōu)化問題的迭代求解步驟如下: 任給一及收斂精度，令；作的水平截集 ；求解常規(guī)優(yōu)化問題求s.t. 解得和；計算，如果，轉(zhuǎn)，否則轉(zhuǎn)； 計算，且應使；令,轉(zhuǎn)； 輸出最優(yōu)解 。 對稱模糊優(yōu)化模型迭代解法的計算框圖如圖6-7所示。 圖6-7 對稱模糊優(yōu)化模型迭代解法的計算框圖上述迭代求解過程的第步是一個常規(guī)優(yōu)化問題，可用常規(guī)約束優(yōu)化方法求解。其約束條件（）保證了優(yōu)化是在水平截集上進行的。為預先給定的收斂精度，通常取。本解法由于需多次求解常規(guī)優(yōu)化問題，因此其計算效率有待改進。模糊約束清晰目標函數(shù)極值問

25、題的求解方法對于對稱模糊優(yōu)化模型，要求目標函數(shù)和約束函數(shù)都是模糊的。如果實際問題的目標函數(shù)是非模糊的，為了刻畫函數(shù)在模糊約束下的優(yōu)化問題，引入函數(shù)的模糊極大集和模糊極小集的概念。令在論域上的模糊極大集定義為一模糊子集，其隸屬函數(shù)為 （6-31）由式(6-31)可知，模糊極大集是函數(shù)經(jīng)過一定的線性變換后得到的，函數(shù)的極大點和極小點對模糊極大集的隸屬度分別為l和O。具有函數(shù)的保序性質(zhì)，即 在論域上的模糊極小集是一個模糊子集，其隸屬函數(shù)定義為 （6-32）由式(6-31)和(6-32)可推導出即有也就是說，模糊極小集是模糊極大集的補集。 求解目標函數(shù)在模糊約束()下的條件極值的步驟如下： 1) 求的

26、模糊極大集，將看成是模糊目標集；2) 求交模糊判決，即求；3) 按最大隸屬原則求，使得就是所求的條件極大點，就是在模糊約束()下的條件極大值。將換成，即可求得條件極小點和條件極小值。6.3 模糊可靠性設計6.3.1模糊可靠性設計的基本概念(1)模糊可靠度與模糊失效概率在普通可靠性設計中產(chǎn)品的強度、干涉變量、壽命、運行時間等均為隨機變量。現(xiàn)在考慮到事物的模糊性，因此需要以模糊事件的概率來度量，通常模糊可靠度和模糊失效概率有以下幾種情況及其表達式。1) 應力為模糊變量，強度為隨機變量 設控制失效應力為應力論域中的一個模糊子集，如“應力大約為某值”這一模糊事件，則對任一應力隸屬于控制失效應力集的可能

27、性程度用隸屬函數(shù)值來表征，故可以把看作一種失效判據(jù)，可稱為模糊失效判據(jù)。若強度的概率密度函數(shù)為，則在這種模糊失效判據(jù)控制下，失效是一模糊事件，根據(jù)模糊事件的概率定義4，可得模糊失效概率 (6-33)而成功的概率，即模糊可靠度 (6-34)2) 應力為隨機變量，強度為模糊變量 設控制強度為應力論域中一個模糊子集，如“強度大約為某值”這一模糊事件，任一應力隸屬于的隸屬函數(shù)為，應力的概率密度函數(shù)為，則在這種控制強度下，由模糊事件的概率定義，可得模糊可靠度 (6-35)而模糊失效概率 (6-36)3) 干涉變量()為模糊變量設干涉變量為論域上一個模糊子集，干涉變量的隸屬函數(shù)為，概率密度函數(shù)為，同樣可得

28、模糊可靠度 (6-37) 4) 壽命模糊地大于運行時間 若產(chǎn)品壽命的概率密度函數(shù)為，“模糊地大于”的隸屬函數(shù)為，則同樣根據(jù)模糊事件的概率計算公式，有 (6-38) 上式可解決“壽命基本上大于時刻”、“壽命差不多大于時刻”等情況時求可靠度問題。 式(6-34)、式(6-35)、式(6-36)、式(6-37)物理意義不同，但數(shù)學形式是等價的。只要知道它們右邊的隸屬函數(shù)和概率分布，求可靠度的問題就不難解決了。所求出的概率可以引入系統(tǒng)的可靠性計算中去，如串、并聯(lián)系統(tǒng)可靠性計算等。但是，這里所定義的模糊可靠度畢竟與普通可靠度的物理意義有所不同，它帶有設計者的經(jīng)驗、智能判斷和推理成分。設產(chǎn)品(零件)的壽命

29、服從指數(shù)分布，即有 ，取“壽命差不多大于時刻”時的隸屬函數(shù)為升半正態(tài)型，則有將，代入式(6-38)，于是求得模糊可靠度 (6-39)現(xiàn)列出相應的普通可靠度作為對照由此可見，隨著的增大，模糊可靠度越來越接近普通可靠度，即模糊事件越來越接近清晰事件，隸屬函數(shù)越來越接近特征函數(shù)(升半矩形分布)。從這里可以看到，模糊可靠度的確在各種程度上描繪了系統(tǒng)的可靠狀況，此外當，即普通可靠度可作為模糊可靠度的極限情況來看待，模糊可靠度可看作普通可靠度的推廣。(2)模糊失效率與模糊平均壽命根據(jù)普通可靠性設計中失效率與平均壽命的定義，可定義模糊失效率為 （6-40）模糊平均壽命定義為 （6-41）將式(6-39)代入

30、式（6-40）和（6-41），可分別導出 （6-42） （6-43） 由上式可見，。這表明，普通可靠性指標是模糊可靠指標的極限情況，是模糊可靠性指標的一個特例。用同樣的思路和方法，我們還可以定義模糊維修度、模糊有效度、模糊維修率等可靠性指標。(3)系統(tǒng)的模糊可靠度 1) 串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠度 對于由個相互獨立單元構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)，若按上面方法求出每個單元的模糊可靠度，則串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠度為 （6-44） 2) 并聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠度 對于由個相互獨立單元構(gòu)成的并聯(lián)系統(tǒng)，單元模糊可靠度，同樣可求得并聯(lián)系統(tǒng)模糊可靠度為 （6-45） 按上面相同的方法，不難寫出表決系統(tǒng)和開關(guān)系統(tǒng)的模糊可靠度，這里不再

31、列出。 值得注意的是，上面所討論的模糊可靠度和模糊失效概率等參數(shù)作為事件本身是模糊的，而概率值是普通數(shù)值，稱為模糊事件的概率，這是模糊可靠性設計中最常見的情況。模糊數(shù)學中還給出了另兩類情況，一類是事件本身明確，但概率是模糊的，稱為事件的模糊概率；另一類則是事件和概率都是模糊的，稱為模糊事件的模糊概率。此外，上面所討論的論域為連續(xù)變量，即有連續(xù)的隨機變量概率密度函數(shù)和連續(xù)型模糊變量隸屬函數(shù)。下面討論論域為離散型的情況。設是離散型隨機變量，其取值的集合為，上的模糊集表示模糊事件，則該模糊事件的概率定義為 （6-46）式中 取值的概率，；對的隸屬度。有關(guān)模糊可靠性設計的內(nèi)容，尚有多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性分

32、析與評價、系統(tǒng)的可靠性模糊預測與模糊最優(yōu)分配，以及模糊失效模式和效應分析(FMEA)、模糊故障樹分析(FTA)、模糊故障診斷、模糊壽命估計等。但是應用模糊數(shù)學處理可靠性問題只是近幾年發(fā)展起來的一個新學科，其中有些理論與方法已趨成熟，有的仍處在探索階段。在機械設計中,如何應用模糊可靠性理論與方法解決常規(guī)可靠性設計難以解決的問題，人們對此寄予了很大期望。6.3.2 機械零件的耐磨性模糊可靠度機械零件表面的摩擦磨損是一個相當復雜的物理、化學過程，也是一個動態(tài)的隨機過程，其影響因素很多。表征零件耐磨性或磨損壽命的設計變量存在兩種非確定性，一種為設計變量取值的分散所表現(xiàn)的隨機性，要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)運用概率論

33、和數(shù)理統(tǒng)計的方法進行研究；另一種表現(xiàn)為模糊性，要靠人的智能、知識和經(jīng)驗來估計、判斷這類模糊事物，用模糊數(shù)學進行研究和處理。(1)耐磨性普通可靠度的計算機械零件在磨損過程中，由于所觀測的磨損量是分散的，概率設計將過程磨損量和允許磨損量均處理成隨機變量，它們服從一定的分布規(guī)律。隨著工作時間的變化，當零件運行至時間時，過程磨損量分布與允許磨損量分布發(fā)生干涉，如圖6-8（陰影部分）所示。發(fā)生干涉時將可能產(chǎn)生失效，此時零件的耐磨性失效概率，即不可靠度為 （6-47）而安全概率，即可靠度為 （6-48）式中 過程磨損量的概率密度函數(shù)；允許磨損量的概率密度函數(shù)。設計中可假設過程磨損量與允許磨損量均服從正態(tài)分

34、布，由聯(lián)接方程可得到零件耐磨性可靠性指數(shù)圖6-8 耐磨性失效概率計算模型 （6-49）它與可靠度一一對應，因此 （6-50）式中 標準正態(tài)分布函數(shù)；允許磨損量的均值；允許磨損量的標準差；過程磨損量的均值；過程磨損量的標準差。當已知正態(tài)分布的過程磨損量和允許磨損量的分布參數(shù)、，由式(6-49)可求得可靠性指數(shù)，按標準正態(tài)分布表便可查得相應的，即可靠度，使之大于或等于規(guī)定的目標可靠度。工程中有時先規(guī)定目標可靠度，這時可按標準正態(tài)分布表查出可靠性指數(shù)，再由式(6-49)求得所需要的設計參數(shù)，如零件的允許磨損量、磨損壽命等。(2) 耐磨性模糊可靠度的計算 從零件耐磨性設計角度考慮，未來某一時刻零件的磨

35、損量是隨機變量，但是測定的某個磨損量，對不同機器、不同工況條件，是否導致零件失效，則往往是模糊的，如判定某零件磨損量25m時為磨損失效狀態(tài)，顯然不能說當磨損量為24.5m時，絕不會失效。這表明“多大磨損量才會引起失效”是一個模糊概念。因此，零件耐磨性設計時，沒有必要追究過程磨損量到底是何具體數(shù)值，只要掌握過程磨損量大約為某值時零件的安全裕度是多少，或耐磨性的可靠度是多少。 設零件磨損量為論域，則“過程磨損量大約為某值”為上的模糊子集合，可以用一個從到實區(qū)間0,1的函數(shù)來表示，稱為的隸屬函數(shù)，函數(shù)值代表磨損量對集合的隸屬度。當，表示中的百分之百不屬于；，則中的百分之百屬于，其余的磨損量對的隸屬度

36、為介于0和1之間的實數(shù)，越接近1表示屬于的程度就越大。由于的隸屬函數(shù)定量地刻畫了某一磨損量屬于控制失效的過程磨損量的集合的可能性程度，故可以把看作一種失效判據(jù)。若過程磨損量為連續(xù)模糊變量，控制失效的允許磨損量為連續(xù)隨機變量，則在這種模糊失效判據(jù)下，根據(jù)式(6-33)，可以得到過程磨損量大約為某值時的模糊失效概率 （6-51）因此，安全概率即可靠度 （6-52）圖6-9 正態(tài)型隸屬函數(shù) 根據(jù)實踐中零件磨損量大約為某值的模糊信息和專家的經(jīng)驗，知道磨損量偏離某值的可能性程度通常具有某種對稱性質(zhì)，且隨著偏離程度加大，這個可能性將不斷減小。因此，“過程磨損量大約為某值”的隸屬函數(shù)可采用正態(tài)型描述。正態(tài)型

37、隸屬函數(shù)如圖6-9所示。由正態(tài)型分布隸屬函數(shù)可得 （6-53） 式中各參數(shù)的意義為：假定當“過程磨損量為25m 左右”的情況下，25m；而是一個任選參數(shù)，它反映了過程磨損量在值左右擺動的可能性程度大小，值決定了過程磨損量以25m為中心可能會“左右”到什么程度。由圖6-9可見，當時，附近值()的隸屬度，也就是說值越大，過程磨損量左右擺動的可能性程度也越大。值的選擇可根據(jù)過程磨損量的離散程度，使式(6-53)描述的過程磨損量符合設計者經(jīng)驗中的過程磨損量可能的狀況為準則。若零件的工況條件較惡劣，影響磨損的諸因素波動大，且信息又較模糊，則取大值，反之取小值。 若允許磨損量為正態(tài)分布，并將式(6-53)

38、代入式(6-51)中，可得磨損量大約為時零件耐磨性模糊失效概率 （6-54）而耐磨性模糊可靠度 （6-55）式中 標準正態(tài)分布函數(shù)。 （6-56）圖6-10 不同時磨損量的集合其中為過程磨損量的定義域，可以按以下方法確定：根據(jù)零件的磨損工況對“過程磨損量大約為某值”進行適當?shù)膭澐?，即對隸屬度取一定的“閾值” ()，除去所對應的磨損量，而由所對應的磨損量的集合構(gòu)成“過程磨損量大約為某值”模糊量的截集,如圖6-10所示，因此，由式(6-53)可得 （6-57）即定義域為 6.3.3 結(jié)構(gòu)斷裂模糊失效概率(1)斷裂因素的不確定性 結(jié)構(gòu)斷裂是由于內(nèi)部含有缺陷及運行中的交變應力、腐蝕、輻照等原因，致使裂

39、紋萌生、擴展直至斷裂的累積過程。傳統(tǒng)的斷裂力學將影響斷裂的各種因素，如材料抗力、載荷、裂紋形狀、尺寸等都處理成一個確定的值，這與實際情況是不符的。事實上，這些因素存在著兩種不確定性：一種為檢測結(jié)果的離散性，這是由于外界條件，檢驗設備，檢測誤差等多種偶然因素所造成的隨機性，這種不確定性必須根據(jù)一定數(shù)量的實驗數(shù)據(jù)，運用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法進行分析研究。另一種表現(xiàn)為模糊不確定性，這種不確定性是由于裂紋的萌生、擴展直至斷裂過程的復雜性，致使其間界限的不分明性；以及檢測、探傷等客觀條件的限制和不完備，往往不得不依靠工程技術(shù)人員的知識、經(jīng)驗來判斷這類界限不清晰的現(xiàn)象。這種模糊性，形式上表現(xiàn)為評定事物的標

40、準或定義沒有明確的界限，或表現(xiàn)為陳述上是模糊的，如“小裂紋”、“較大裂紋”、“大裂紋”、“淺裂紋”、“深裂紋等，又如“裂紋長度約為3 mm”，“失穩(wěn)斷裂的裂紋臨界值為6 mm左右”等等均屬此類，這類模糊現(xiàn)象必須運用模糊數(shù)學加以描述和運算。圖6-11 結(jié)構(gòu)斷裂失效概率計算模型(2)斷裂隨機失效概率的計算結(jié)構(gòu)斷裂的失效判據(jù)可以用裂紋尺寸表示。在概率斷裂設計中，裂紋尺寸處理成隨機變量，服從一定的分布規(guī)律，圖6-11表示了裂紋尺寸與失穩(wěn)斷裂裂紋長度的臨界值隨時間而變化的分布模式。當結(jié)構(gòu)運行至某一時刻時，與的分布曲線發(fā)生干涉，這時結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生失穩(wěn)斷裂，其隨機失效概率為 （6-58）式中 裂紋尺寸的概率密

41、度函數(shù)；臨界裂紋尺寸的概率密度函數(shù)。從而可計算出結(jié)構(gòu)斷裂的安全概率，即可靠度為 （6-59）裂紋尺寸與臨界裂紋尺寸可用對數(shù)正態(tài)分布描述，即 （6-60） （6-61）式中 、分別為和的均值；、分別為和的標準差。由聯(lián)結(jié)方程知斷裂隨機失效概率為 （6-62）式中 標準正態(tài)分布函數(shù)，可由標準正態(tài)分布表直接查用。(3)斷裂模糊失效概率的計算 對于結(jié)構(gòu)斷裂尺寸為離散型模糊變量時，其“斷裂尺寸大約為某值”的模糊集合為 對于斷裂尺寸為連續(xù)型模糊變量，其模糊集合為 以上兩式中的稱為模糊集合的隸屬函數(shù)，其取值區(qū)間為。它表示斷裂尺寸對模糊集合(斷裂尺寸大約為某值)的一種“滿足度”，因此，可視為一種斷裂模糊失效判據(jù)

42、。 “斷裂尺寸大約為某值”的隸屬函數(shù)可用正態(tài)型分布表示3，因此可表示為 （6-63）式中 斷裂尺寸集中的位置，即“斷裂尺寸大約為某值”的那個尺寸；斷裂尺寸以為中心左右擺動的可能性程度大小的參數(shù)。 當斷裂尺寸為模糊變量，服從正態(tài)分布，其隸屬函數(shù)由式(6-63)確定，臨界斷裂尺寸為隨機變量，其概率密度函數(shù)由式(6-61)確定，這兩種分布如圖6-12所示。圖6-12中，兩種分布發(fā)生相互干涉，此時由式(6-33)可得到斷裂模糊失效概率為圖6-12斷裂尺寸與臨界斷裂尺寸發(fā)生干涉 (6-64）式（6-64）中，()為標準正態(tài)分布函數(shù)，其值可在正態(tài)分布函數(shù)表查取，可由下式確定：（6-65） 式中 斷裂尺寸的

43、定義域。圖6-13 斷裂尺寸隸屬函數(shù)的截集 裂紋模糊尺寸的定義域由結(jié)構(gòu)斷裂的實際工況和工程技術(shù)人員的經(jīng)驗來劃定。通常將取一定的閾值（），再把的裂紋尺寸挑選出來作為設計依據(jù)，組成如圖6-13所示截集。截集可表達為： 將上式代人式(6-63)得 (6-66) 6.3.4 機械系統(tǒng)可靠性指標的模糊決策與分配 在產(chǎn)品進行可靠性設計時，首先要確定系統(tǒng)預期的可靠性指標，如可靠度，然后將其合理地分配給系統(tǒng)各個零件，以便在設計、制造中切實地加以保證。我國有關(guān)部門已陸續(xù)頒布了一些機電產(chǎn)品可靠性指標試行標準(草案)。但是，一方面尚有許多產(chǎn)品可靠性指標仍未確定；另一方面已確定的可靠性指標在許多情況下也只是一個范圍，

44、因而可靠性指標的具體數(shù)值仍需在設計時確定。下面介紹運用模糊決策的方法來確定系統(tǒng)的可靠性指標，并進行可靠度的最優(yōu)化分配。(1)系統(tǒng)可靠性指標的確定 大多數(shù)機械系統(tǒng)或其子系統(tǒng)都屬于串聯(lián)系統(tǒng)，即處于載荷傳遞路線上任一單元(如軸、齒輪等)失效，都將引起系統(tǒng)功能喪失，停止運轉(zhuǎn)。這里將以齒輪、軸、軸承、鍵等類型零件組成的機械系統(tǒng)為對象，其中每一類零件數(shù)目可能不只一個。如上所述的簡化的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性框圖如圖6-14所示。圖6-14機械傳動系統(tǒng)串聯(lián)可靠性框圖下面運用二級模糊綜合決策的方法來確定系統(tǒng)的可靠性指標。值得注意的是，這里一級模糊決策是根據(jù)各因素對系統(tǒng)可靠性水平的影響確定系統(tǒng)對可靠性水平的要求；二級模

45、糊決策是根據(jù)系統(tǒng)對可靠性水平的要求，確定系統(tǒng)的可靠度指標，具體的決策過程如下。 1）確定可靠性指標的備擇集例如取可靠度指標集為 2）確定影響系統(tǒng)可靠性水平的因素集例如，取因素集為=(系統(tǒng)原有的可靠性水平，重要程度，成本，任務情況) 3）確定評語集例如，取評語集為(高，較高，一般，較低，低) 4）確定權(quán)重集 權(quán)重表示各因素對系統(tǒng)可靠性水平的影響程度，反映了各因素在綜合決策中所占有的地位與作用，直接影響到?jīng)Q策的結(jié)果，權(quán)重通常是憑經(jīng)驗或請專家打分用統(tǒng)計方法給出。例如，取權(quán)向量并作歸一化處理有 5) 建立模糊關(guān)系矩陣對于某一因素，需要找出其在評語集中的隸屬函數(shù)，以便確定該因素對各評語等級的隸屬度。隸屬

46、函數(shù)及隸屬度的確定與人的主觀因素有關(guān)，現(xiàn)根據(jù)實際情況推理因素集中元素與評語集中元素之間的模糊關(guān)系，即確定第個因素對各評語等級的隸屬度，為一模糊子集，例如=(0.00，0.01，0.84，0.21，0.00)，類似地分別確定各因素對各評語等級的隸屬度，可得模糊關(guān)系矩陣為 矩陣第行第列個元素表示第個因素對個評語等級的隸屬度。 同樣，對于某一評語等級，需要找出其在可靠度指標集中的隸屬函數(shù)，以便確定該評語等級對各可靠度指標備擇元的隸屬度。于是又可確定一模糊關(guān)系矩陣 矩陣中第行第列個元素表示第個評語等級對個可靠度指標備擇元的隸屬度。 6) 模糊決策根據(jù)模糊變換原理，得一級模糊決策二級模糊決策 這里為綜合

47、考慮各因素對決策結(jié)果的影響，取模糊算子為(，+)，即普通矩陣的乘法加法運算，比用“”運算精細。于是得到一級模糊決策的結(jié)果為 二級模糊決策的結(jié)果為 7) 確定系統(tǒng)可靠性指標。根據(jù)模糊決策結(jié)果，可用兩種方法確定系統(tǒng)可靠性指標。 最大隸屬度法(最大隸屬度原則)取系統(tǒng)的可靠性指標為相對應的可靠度指標備擇元，即 加權(quán)平均法 為了突出占優(yōu)勢等級的作用，以的冪作為權(quán)數(shù)，對()進行加權(quán)平均，所得的值作為系統(tǒng)的可靠度指標，即 (6-67)一般取，于是將上面有關(guān)數(shù)據(jù)代人得 這兩種方法中，加權(quán)平均法用得較多。最大隸屬度法僅僅考慮了一個指標的貢獻，它沒有充分利用決策結(jié)果的全部信息，若備擇元較多，誤差可能較大；另外如果

48、的分量中有兩個或兩個以上的分量相等時，則此種方法失效。而加權(quán)平均法從整體出發(fā)，綜合考慮了所有指標的貢獻，可得到令人滿意的結(jié)果。(2)系統(tǒng)的可靠度分配 機械系統(tǒng)的可靠度分配的過程，實際上是一個比較各個零件對可靠性水平要求高低程度的過程，一個零件可靠性水平要求的程度越高，則分配給它的可靠度就應越高。而零件對可靠性水平要求的高低，受許多因素的影響，如技術(shù)水平、重要程度、任務情況等等。而這些因素大多是一些非確定的模糊因素，因而需根據(jù)這些因素的情況，使用模糊決策的方法來確定各零件對可靠性水平的要求，進而用常規(guī)方法對可靠度進行分配，下面以圖6-14所示的系統(tǒng)為例子說明可靠度分配的過程。 1) 確定影響零件

49、可靠性水平的因素集取因素集=(原可靠性水平，重要程度，復雜程度，成本，維修費用)。 2) 確定因素的權(quán)重集取權(quán)向量。 3) 確定零件集即找出組成系統(tǒng)的各類零件，圖6-14所示零件類的集合為=(齒輪，軸，軸承，鍵)。 4) 確定因素的評語指標集及各評語指標對可靠性要求的隸屬度取評語指標集(極低，很低，低，較低，一般，較高，高，很高，極高)=(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9)。 5) 確定每一類零件對各個因素的評語指標，并以各評語指標以可靠性要求的隸屬度代入，于是可得一模糊關(guān)系矩陣為齒輪 軸 軸承 鍵6) 根據(jù)模糊變換原理，并取模糊算子(，+)，作出模糊決策 7) 分配系統(tǒng)的可靠度決