一階微分方程的解法ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一階微分方程的解法 第二節(jié) 第八章 一、可分離變量微分方程 二、齊次微風(fēng)方程 三、一階線性微分方程 四、伯努利方程* （理解） 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、可分離變量微分方程 xxfyygd)(d)(定義：形如定義：形如)()(dd21yfxfxy 第八章 或或的方程稱為可分離變量方程。的方程稱為可分離變量方程。 特點(diǎn)：變量特點(diǎn)：變量x x及及dxdx與變量與變量y y及及dydy能分離在方程兩端。能分離在方程兩端。目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(再兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG

2、)()(當(dāng)G(y)與F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 時(shí), 的隱函數(shù) y (x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解.同樣, 當(dāng) F (x) = f (x)0 時(shí), 由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 說明由確定先分離變量： 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxy3lnlnyxC即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每

3、一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、減解.( 此式在分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:目錄

4、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、齊次方程二、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 定義：定義：特點(diǎn)：右端能化為以特點(diǎn)：右端能化為以 為內(nèi)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。為內(nèi)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。yx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnC

5、xuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng)當(dāng) C = 0 時(shí)時(shí), y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )0C此處目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程定義：形如)()(ddxQyxPxy稱為一階線性微分方程。特點(diǎn)：變量 及y 都是“一次的。y, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為一階線性齊次方程上方程稱為一階線性齊次方程.上方程稱為一階線性非齊次方程上方程稱為一階線性非齊次方程., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

6、返回 結(jié)束 . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy|,|ln)(|lnCdxxPy齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程(使用分離變量法使用分離變量法)一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0( )2( )ln 2( ).xf xf t dtf x，求2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 則則例例5 5、若連續(xù)函數(shù)、若連續(xù)函數(shù)f(x)f(x)滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )

7、.()(xQyxPdxdy 討論討論: 設(shè)設(shè)y=f(x)是解是解, 那么那么,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 變形變形積分積分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齊方程通解形式非齊方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()( dxxfxQexc記記 dxxpexcxfy)()()(2. 2. 線性非齊次方程線性非齊次方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .設(shè)解為設(shè)解為 dxxPexcy)()

8、(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和將將yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 積分得積分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齊方程通解非齊方程通解目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和。對(duì)應(yīng)齊次方程

9、通解與非齊次方程特解之和。.0)()()(的的解解的的任任意意兩兩解解之之差差是是證證明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例6 6、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如下圖，平行于如下圖，平行于 軸的動(dòng)直線被曲軸的動(dòng)直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲

10、線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 例7、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).22(32xxeyx 23xyy 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *四、伯努利四、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxyn伯努利 方程為線性微分方程方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程為非線

11、性微分方程方程.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 經(jīng)過變量代換化為線性微分方程經(jīng)過變量代換化為線性微分方程. .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有