2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（湖南卷解析版）

1、絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù) 學(xué)（文史類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁，時量120分鐘，滿分150分。一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z=i(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于_ B _A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】 z = i(1+i) = i 1.所以對應(yīng)點(diǎn)(-1,1).選B2.“1x2”是“x2”成立的_ A _A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析

2、】 若“1x2”成立，則“x2”成立,所以“1x2”是“x2”的充分條件；若“x2” 成立，則“1x2”不一定成立, 所以“1x2”不是“x2”的必要條件.綜上，“1x2”是“x2”的充分不必要條件.選A3.某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件。為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n=_ D _A.9 B.10 C.12 D.13【答案】D【解析】 n = a + b + c=13. 選D4.已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（1）+g（1）=2，f（1）+g（

3、1）=4，則g（1）等于_ B _A.4 B.3 C.2 D.1【答案】 B【解析】 由題知f（1）+g（1）= - f（1）+g（1）= 2, f（1）+g（1）= f（1）+ g（1）= 4.上式相加，解得g(1) = 3 .選B5.在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b. 若2sinB=b，則角A等于_ A _A. B. C. D.【答案】 A【解析】 選A6.函數(shù)f（x）=x的圖像與函數(shù)g（x）=x2-4x+4的圖像的交點(diǎn)個數(shù)為_ C _A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 C【解析】 在同一坐標(biāo)系中畫出對數(shù)函數(shù)f（x）=x的圖像和二次函數(shù)g（x）=x2-4x+4的圖像，觀察

4、可知交點(diǎn)個數(shù)為2個。選C7.已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于_ D _A B.1 C. D.【答案】 D【解析】 正方體的側(cè)視圖面積為選D8.已知a,b是單位向量，ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為_ C _A. B. C. D.【答案】 C【解析】 可以這樣認(rèn)為：在直角坐標(biāo)系中, 選C9.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=_ D _A. B. C. D.【答案】 D【解析】 選D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。10.已

5、知集合,則_【答案】 【解析】 .11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線（s為參數(shù)）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為_4_【答案】 4【解析】 .12.執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入a=1,b=2,則輸出的a的值為_9_【答案】 4【解析】 a = a + b + b + b = 1+2+2+2+2=9.13.若變量x,y滿足約束條件則x+y的最大值為_6_【答案】 6【解析】 14.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C， (a0,b0)的兩個焦點(diǎn)。若在C上存在一點(diǎn)P。使PF1PF2，且PF1F2=30，則C的離心率為_.【答案】 【解析】 15.對于E=a1，a2,.a100的子集X=a1，a2

6、,an,定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,x100,其中x1=x10=xn=1.其余項均為0，例如子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0，1，0，0，,0 (1) 子集a1,a3,a5的“特征數(shù)列”的前三項和等于_2_;(2) 若E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，,P100 滿足P1+Pi+1=1, 1i99;E 的子集Q的“特征數(shù)列” q1，q2，q100 滿足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1j98，則PQ的元素個數(shù)為_17_.【答案】 （1） 2 （2）【解析】 (1) 由題知，特征數(shù)列為：1,0,1,0,1,0,0,00.所以前3項和 = 2。(2) P的“特征數(shù)列”:1,0,1,

7、0 1,0. 所以P = .Q的“特征數(shù)列”:1,0,0,1,0,0 1,0,0,1. 所以Q = .所以, ,共有17個元素。三、解答題；本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=fx=cosx.cos(x-3)（1） 求的值；（2） 求使 成立的x的取值集合【答案】 （1） （2） 【解析】 (1) 。（3） 由（1）知，17.(本小題滿分12分)如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在菱BB1上運(yùn)動。（I） 證明：ADC1E；（II） 當(dāng)異面直線AC，C1E

8、 所成的角為60時，求三菱子C1-A2B1E的體積【答案】 （） 見下 （）【解析】 () .(證畢)（）.18.（本小題滿分12分）某人在如圖3所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收貨量(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米。（）完成下表,并求所種作物的平均年收獲量;()在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為48kg的概率.【答案】 （） 46 （）0.4【解析】 () 由圖知，三角形中共有15個格點(diǎn),

9、與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是1個的格點(diǎn)有2個，坐標(biāo)分別為(4,0),(0,4)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是2個的格點(diǎn)有4個，坐標(biāo)分別為(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是3個的格點(diǎn)有6個，坐標(biāo)分別為(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是4個的格點(diǎn)有3個，坐標(biāo)分別為(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：Y51484542頻數(shù)2463平均年收獲量.（）在15株中，年收獲量至少為48kg的作物共有2+4=6個.所以，15株中任選一

10、個，它的年收獲量至少為48k的概率P=.19.（本小題滿分13分）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，2，N（）求，并求數(shù)列的通項公式；()求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮?（） （）【解析】 () -（） 上式左右錯位相減：。20.（本小題滿分13分）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個端點(diǎn)。（）求圓的方程；()設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為，。當(dāng)最大時，求直線的方程?！敬鸢浮?（） （）【解析】 () 先求圓C關(guān)于直線x + y 2 = 0對稱的圓D，由題知圓D的直徑為直線對稱.（）由()知(2,0), ,據(jù)題可設(shè)直線方程為: x = my +2,mR. 這時直線可被圓和橢圓截得2條弦，符合題意.圓C:到直線的距離。.由橢圓的焦半徑公式得：.所以當(dāng)21.（本小題滿分13分已知函數(shù)f（x）=.（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）(x1x2)時，x1+x20