電磁學靜電場的電勢

1、電磁學 第三講 靜電場的電勢_20121001第三講 靜電場的電勢01 靜電場的保守性1 靜電場是保守力場H 試驗電荷 q0 在 q 的電場中如圖 XCH003_037 所示，點電荷 q 固定在原點O 處，試驗電荷 q0 在 q 的電場力作用下從 A 點沿路徑 L 到 B 點。q 發(fā)生微小位移，靜電力做的元功： dA = F × v 17 REVISED TIME: 14-2-19CREATED BY XCH0dA =qq01 vvdrvvv4pe0r2 r0 × dr r0 × dr = dr cosq = drdA =qq04pe01 drr2Aab =qq0

2、4pe0r2 1 dròr1 r2Aabqq0=4pe( 1 - 1 )rr 靜電力做的功與路徑無關012H 試驗電荷 q0 在n 個點電荷的電場中如圖 XCH003_037_03 所示，試驗電荷 q0 在由n 個點電荷產(chǎn)生的電場中，從 A 點沿路徑 L到 B點，靜電力做的功：abAF drA = ò B v × vv nvF =åq0 EkBn vv¾¾k =¾1 ¾®nBAab = òvvq0 (å Ek ) × drAk =1 Ek 是第k 個點電荷產(chǎn)生的電場Aab =

3、 å(òA q0 Ek × dr )k =1nAab = å Akk =1 與路徑無關，靜電場為保守力場2 靜電場的環(huán)路定理Ñvv如圖 XCH003_0示，試驗電荷沿任意閉合路徑一周，電場力做的功： A = ò q0E × dròòP1qPv0E ×dv rP2vq0 E ×Pdv rP2qPv0E ×dv rP2qPv0E ×dv rA =+12òòA =-11 靜電場做功與路徑無關vq0 E drA = Ñò×

4、v = 0Ñ vvò E × dr = 0 靜電場的環(huán)路定理靜電場中，電場強度沿任意路徑的線積分等于零，電場線不是閉合的，靜電場為無旋場。02 電勢能如圖 XCH003_037_02 所示，試探電荷 q0 在電場中，從 A 點沿路徑 L到 B 。靜電場是保守力場，靜電力做功等于空間位置有兩項能量差：BvvòA q0 E × dr = -(WB - WA ) (勢能定理)ìW ="0"vví0q 在 A ， B 點的電勢能： ï AòA"0"q0 E × d

5、rvvïîWB = òBq0 E × dr q0 在 A 點的電勢能是將q0 沿任意路徑，從 A 點移動到電勢能零參考點"0" ，電場力做的功。03 電勢如圖 XCH003_037_01 所示， P0 是電勢能零參考點， q0 在 P 點的電勢能：PPq0 E drW = ò P0v × v 與試探電荷有關正電荷在 P 點的電勢能：WP = ò P0 vvq0PE × dr 與試探電荷無關引入描寫電場的標量函數(shù)：j = WP = ò P0 v ×v 電勢q0PE dr引入電勢

6、后，電荷 q0 在空間各點的電以表示為：W = q0jH 電勢的定義空間 P 點的電勢，是將正電荷沿任意路徑，從 P 點移動到電勢零參考點 P0 ，電場力做的功。也可以表述為 P 點的電勢就是正電荷在 P 的電勢能，如圖 XCH003_037_04 所示。òE drP0vvPPP 點的電勢： j =×給定的電荷分布和零電勢參考點，函數(shù)j = j ( x, y, z) 唯一確定。對于電荷在有限空間分布的情 ，選取無限遠為零電勢參考點。H 電勢差AB 兩點的電勢差：UAB = jA - jB=P0 vvUP0 vvB vvABòAE × dr - ò

7、;BvE × dr = òA E × drv, 計算電偶極子 p = ql 在均勻外電場中的電勢能。* 如圖 XCH003_059 所示，電偶極子中的正負電荷的電勢能：ìW+ = qjAí= -qjîW-B電偶極子的電勢能：W = W+ + W- = q(j A - jB )BjA - jB = òA Edl cos(p - q ) = -El cosqW = - pE cosqp EW = - v × v 電偶極子取向與外場一致時，靜電勢能最低；取向與外場相反時，靜電勢能最高。, 計算在原子核(帶正電 Ze )勢

8、場中的電勢能。* 在半徑為 r 的軌道繞核，選取無限遠為原子核電勢零點。如圖 XCH003_060 所示。原子核產(chǎn)生的電勢：j =的靜電勢能：1Ze4pe0 rW = (-e)j = -14pe0Ze2 r 的軌道半徑越小，靜電勢能越低，總能量就越低04 電勢的計算 已知電荷分布1) 點電荷的電勢選取無限遠為零電勢參考點： r0 =¥ ¥q1 vv點電荷的電勢： j = òr4pe0r2 r0 × dr¾¾®j =j = òrqq¥4pe01 drr 24pe0r2) 點電荷系的電勢如圖 XCH003_0

9、63 所示，點電荷系在空間產(chǎn)生的電場分布：vvvvn vE = E1 + E2 +L + En = å Ekk =1P0 vvP0n vv電勢：j = òP E × dr = òP(å Ek ) × drk =1nj = å(k =1P0 vòP Ek× dr )v 體系每一個電荷在 P 點產(chǎn)生的電勢和nj = åjk k =1 電勢疊ånq如果選取無限遠為零電勢參考點：j = kk =1 4pe0 rk3) 電荷連續(xù)的帶電體在空間產(chǎn)生的電勢帶電體上任一電荷元dq ，無限遠為電勢零點，

10、 dq 在空間 P 點產(chǎn)生的電勢：dj =dq 1 如圖 XCH003_054 所示4pe0 rdq0帶電體在空間 P 點的電勢： j = òV 4pe ríìldl dq = ïs dSïîrdV 帶電體的電荷分布為線分布、面分布和體分布時的電荷元vv, 求電偶極子 p = ql 在空間產(chǎn)生的電勢，如圖 XCH003_041 所示。* 取 r ®¥ 處為電勢零點，由電勢疊得到 P 點的電勢：j = j + j j =1q +1(-q)0+124pe r4pe0r-j =q4pe0( r- - r+ )r+ r-

11、î + - ìr- - r+ = l cosqr+ and r- >> l ír r » r2=j14pe0j =14pe0ql cosqr2×v vp rr3, 計算帶電q ，半徑為 R 的均勻圓環(huán)軸線上 P 點電勢* 如圖 XCH003_042 所示，取 r ®¥ 處為電勢零點1圓環(huán)上任一電荷元dq 在 P 點產(chǎn)生的電勢： dj =4pe0dq( x2 + R2 )1/ 2 dq =q2p R dl2p R1q均勻帶電圓環(huán)在 P 點的電勢： j = ò04pe0( x2 + R2 )1/2 2p R

12、 dl0j = 4peq( x2 + R2 )1/ 2圓心處 x = 0 的電勢：j =q4pe0Rx >> R 處：j =q4pe0x 與點電荷產(chǎn)生的電勢一樣，空間電勢分布如圖 XCH003_042_01 所示, 計算均勻帶電為q ，半徑為 R 的圓板軸線上任意一點電勢。* 如圖 XCH003_055 所示。取 r ®¥ 處為電勢零點。在圓板上選取半徑為 r ，寬度為dr ，電量dq = 2p rdrs 的細圓環(huán)為電荷元在 P 點產(chǎn)生的電勢：dj = 1s (2p rdr) 4pe0( x2 + r2 )1/ 2均勻帶電圓板在軸線上的電勢：j = R srdr

13、ò0j = s2e0x2 + R2( x2 + r2 )1/ 2- x)2e0x2 + R2在 x >> R ：2»Rx +L2xj =q4pe0x 與點電荷產(chǎn)生的電勢一樣05 電勢的計算 已知電場分布, 計算均勻帶電球面的電勢分布。* 電荷分布具有球對稱，電場強度的方向沿球的半徑方向，如圖 XCH003_039_01 所示。已知均勻帶電球面的電場分布：ìE1 = 0ïqr < R 選取無窮遠處為電勢零點，取徑向為積分路線。ïE2í=0î4pe r2r > Rò¥ vvr >

14、 R 的空間： j =E2× dr¥j =qr01 v × v = ¥q1 dr0òr 4per2 r0 dròr 4pe r2j =1q 與點電荷產(chǎn)生的電勢一樣4pe0 rr < R 的空間：E1drE2rRj = ò R v ×v + ò¥ v ×v = ò¥ v × vdrE2drRj =1q 等勢空間4pe0 Rr = R 球面上：j =1q 電勢分布如圖 XCH003_039_02 所示4pe0 R,“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為 R ，

15、長度帶電為+l 。求電勢分布。* 空間電場強度的分布：ì0íE = ï lïî 2pe0rr < R r > R 方向垂直軸線向外 取距離圓柱面軸線為 r0 的 P0 為電勢零參考點，如圖 XCH003_053 所示。r > R 的空間 P 點的電勢：PE drj = ò P0 v ×v 積分路線如圖 XCH003_053 所示E drE drPP¢j = ò P¢ v ×v + ò P0 v ×v ò P¢ v ×v

16、 = 0PE drP¢E drE drrj = ò P0 v ×v = ò r0 v × vr0j = ò r0 lv ×vr0 l= òdrdrr 2pe0 rr 2pe0rj = - lln r + c2pe0r < R 的空間 P 點的電勢：PE drj = ò P0 v ×v 積分路線如圖 XCH003_053_01 所示E drE drE drPRP¢j = ò R v ×v + ò P¢ v ×v + ò P

17、0 v × vì R vvïòP E × dr = 0v í P vïò 0 E × dr = 0î P¢j = ò P¢ v ×v = ò r0 v × vE drE drRRj = ò r0 1l drR 2pe0 rj =-lln R + c 圓柱面內電勢為常數(shù)2pe0, 計算電荷q 均勻的球體在空間的電勢分布。* 如圖 XCH003_043 和 XCH003_043_01 所示, 均勻帶電球體在空間電場強度的分布：&#

18、236;r <v1qr v0ïR : E1 = 4peí0R3 r 選取無窮遠處為電勢零點，取徑向為積分路線ïr >v1q v00îïR :E2 = 4pe r2 rr > R :j = ò¥ v ×v = ò¥ v × v2E drrEdrr¥1q球外任意一點 P 的電勢： j = òr4pe0r2 drj =1q4pe0 rr < R :j = ò¥ v ×v = ò R v ×v + &

19、#242;¥ v × vE drE1drE2drrrRRj =1qr dr + ¥1q dròr 4pe R3òR 4pe r2000球內任意一點 P 的電勢：j =q(3R2 - r2 )8pe R3球心處 r = 0 ：j =3q 8pe0R球面處 r = R ：j =q4pe0RìR1 = 0.03 m, 兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為 íR，已知兩者的電勢差= 0.10 mî 2U12 = 450 V ，求內球面上所帶的電荷。* 設內球上所帶電荷為Q ，兩球間的電場強度的大?。?E =Q

20、R < r < R4pe r212兩球之間的電勢差：=R2=12UEdrQR2 dr112òR4pe0 òR rU=Q ( 1 - 1 ) 124pe0 R1R2Q = 4pe0 R1R2U12 =2.14 ´10-9 C R2 - R1, 計算兩個同心放置，半徑分別為 R1 and R2 (R1 < R2 ) ，帶電分別為Q1 and Q2 的球面產(chǎn)生的電勢分布。* 利用已知球面產(chǎn)生的電勢分布結論和電勢的疊求解ì 1Q1r > R1球面 1：j=ï 4pe0 rí1ï 1Q£ï1

21、rR1î 4pe0 R1ì 1Q2r > R2球面 2：j=ï 4pe0 rí2ï 1Q£ïî 4pe20 R2ìrR21Q1 + Q2r > Rï0ï 4per2j = j + j j = ï 1Q1 +1Q2R < r £ R12í 4per4pe R12ï002ï 1Q1 +1Q2r £ Rï 4pe R4pe R1î0102, 電荷以相同的面密度s 分布在 r1 = 10 cm a

22、nd r2 = 20 cm 的兩個同心球面上，設無限遠處的電勢為零，球心處的電勢為j0 = 300 V 求1) 電荷面密度s ；2) 如果使球心處的電勢為零，外球面上應放掉多少電荷？ì 1Qr > RQRj = ï 4pe0 r1Q* 帶電為，半徑為的球面在空間產(chǎn)生的電勢：íïr £ Rïî 4pe0 R帶電球面 1 和帶電球面 2 在空間產(chǎn)生的電勢：ì 1Q1r > rì 1Q2r > r=jï 4pe0 rí1ï 4per2=和jí01

23、9; 1Q£2ï 1Qï1rr1ï2r £ r2î 4pe0 r1î 4pe0 r2應用電勢疊：球心處的電勢為：jO = j1 + j2j =1s × 4p r2 +1s × 4p r212O4per4per0102s = e0jOr1 + r2 s = 8.85 ´10-9C / m2¢1s × 4p r21s ¢× 4p r2令外球面的電荷面密度為s，球心的電勢：jO =4pe01 +2r14pe0r2j =1s × 4p r2 +1s &#

24、162; × 4p r2 =s+ s ¢ =根據(jù)題目的要求： O120 r1r20s ¢ = - r1 sr24pe0r1 外球面帶負電4pe0r222外球面應放掉電荷： DQ = Q - Q¢ DQ = s × 4p r2 - s ¢ × 4p r22DQ = (1 + r1 )s 4p r2r2將 r = 10 cm and r = 20 cm ， s = 8.85 ´10-9 C / m2 代入上式得到：12DQ = 6.67 ´10-9C-4, 如圖 XCH0604_013 所示，一真空二極管，其

25、主要構件是一個半徑 R1 = 5 ´10m 的圓柱形陰極 A-3和一個套在陰極外的半徑 R2 = 4.5 ´10m 的同軸圓筒形陽極 B 。陽極電勢比陰極高300 V ，忽略邊緣效應。求陰極射出時所受的電場力。(基本電荷e = 1.6 ´10-19 C )* 設圓柱型陰極 A 的電荷線密度-l （ A 帶負電），忽略邊緣效應，將陰極 A 和陽極 B 看長A 和 B 之間的電場方向垂直于陰極表面。選取長度為l ，半徑為 r (R1 < r < R2 ) 的圓柱面為面，應用定理得到：vv11eÑòS E × dS =0(-ll

26、)¾¾®E × 2p r × l =e0(-ll)E = -l 電場方向指向軸線E dr2pe0rABA 和 B 之間的電勢差：U - U= ò B v × vAUA - UB = -R2 ldr = - l ln R2òR1 2pe0 r2pe0R1U - U= l ln R2BA2pe0R1將l =2pe0U代入 E = -lln(R / R )BA2pe r21A 和 B 之間的電場： E = - 0UBA1ln(R2 / R1) r陰極射出時所受的電場力： F = -eE(R ) =eUBA11ln(R /

27、 R ) R211F = 4.37 ´10-14 N* 兩個電量分別為+q 和-3q 點電荷，相距為d ，試求：1) 在它們連線上電場強度為零的點與點電荷+q 相距多遠？2) 若選取無窮遠為電勢零點，兩點電荷之間電勢為零的點與點電荷+q 相距多遠？* 選取如圖 XCH003_056_01 所示的坐標，點電荷+q 在原點。1) 設兩個電荷連線上電場強度為零的 P 點的坐標 xP 點的場強： E =1q -13q= 04pe x24pe( x - d )2002x2 + 2dx - d 2 = 0 方程的解ì x =- 1 (1+3)dï 12í13

28、9;xï=(î 22- 1)d3x = 1 (22- 1)d 不合題意舍去兩個電荷連線上電場強度為零的點的坐標：x = - 1 (1 +123)d2) 兩個電荷連線之間電勢為零的 P 點的坐標 x ，如圖 XCH003_056_02 所示P 點的電勢： j =1q -13q= 0d - 4x = 04pe0 x4pe0 (d - x)¾¾®x = 1 d4, 一半徑為 R 的均勻帶電細圓環(huán)，其電荷密度為l ，水平放置。今有一質量為m 、帶電量為q 的粒子沿圓環(huán)軸線自上而下向圓環(huán)的中心 。已知該粒子在通過距環(huán)心 h 的一點時的速率為 v1 ， 試

29、求該粒子到達環(huán)心時的速率。* 選取無窮遠處為電勢能零點， O 點為重力勢能零點，帶電細圓環(huán)在軸線上一點的電勢：Q4peh2 + R20j =帶電粒子在h 高度的位置時：ql R2eh2 + R20電勢能：We1 =重力勢能：Wg1 = mgh動能：W = 1 mv2k121帶電粒子到達圓心O 時：ql靜電勢能：We2 = 2e0重力勢能：Wg 2 = 0動能：W= 1 mv2k 222應用機械能守恒定律：qlR2eh2 + R2001 mv2 + mgh = 1 mv2 + ql + 021222e粒子到達環(huán)心時的速率：v = v + 2gh -2qlR 121meR(-1)1/2h2 + R

30、2006 等勢面 電場強度和電勢梯度的1 等勢面電場中電勢相同的點的面 等勢面規(guī)定任意兩個相鄰的等勢面之間的電勢差相等，在空間做出一系列的曲面。圖 XCH003_045 和圖 XCH003_044 分別是正點電荷和電偶極子的等勢面 藍色標記的面。等勢面特點：1) 靜電場中電場線與等勢面處處正交如圖 XCH003_046 所示, 試驗電荷在等勢面上移動dlvv電場力做功： dA = q0E × dl dA = q0Edl cosq等勢面上處處：j = constantvvìE ¹ 0î有dA = j1 - j2 = E × dlp= 0 

31、7;dl ¹ 0因此有：q = 電場線與等勢面處處正交22) 等勢面密集處電場強度大，反之亦然兩個等勢面的電勢差：Dj = constant EDl = constantDl = DjE 電場強度越強，相鄰兩個等勢面的間距越小2 電場強度與電勢梯度的 n電場中相鄰的兩個等勢面：j1 and j2 如圖 XCH003_047 所示假設：j2 = j1+ djdj > 0 ，兩等勢面的垂直距離OP = dn ，方向沿法線 v 。Q 為等勢面j2 上與 P 鄰近的一點， OQ = dl ，方向沿方向l則有：j - j = v × v12E dl1) -dj = Edl cosq -dj = EldlE =- djldlv場強在l 方向投影大小為電勢沿該方向的空間變化率，方向相反，如圖 XCH003_047 所示。2) -dj = Edl cosq -dj = EdnE = - djdn電場強度的大小