第九章 7微分法在幾何上應(yīng)用

1、微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面定義定義設(shè)設(shè) M 是空間曲線是空間曲線 L 上的一個定點上的一個定點, M*是是 L 上的一個動點上的一個動點, 當(dāng)當(dāng)M* 沿曲線沿曲線 L 趨于趨于M 時時 , 割線割線MM* 的極限位置的極限位置 MT （如果極（如果極限存在）限存在） 稱為曲線稱為曲線 L 在在 M 處的切線處的切線下面我們來導(dǎo)出空間曲線的切線方程下面我們來導(dǎo)出空間曲線的切線方程。設(shè)空間曲線的方程。設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).且且導(dǎo)數(shù)不同時為零導(dǎo)數(shù)不同時為零;)

2、,(0000ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè).),(0000*tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于ozyxM*.M的的方方程程割割線線*MMzzzyyyxxx 000ozyxM*.M考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*時時即即當(dāng)當(dāng)tMM 曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：法平面：過過 M0 點且與切線垂直的平面點且與切線

3、垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即。空間曲線方程。空間曲線方程,)()( xzxy 取取 x 為參數(shù)為參數(shù),),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzx

4、yyxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(00000 zzxyyxxx ?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,0),(0),( zyxGzyxF切向量切向量 yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT,切線方程為切線方程為切線方程切線方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程. 1dxdzdxdyxdxdzzdxdy

5、y,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0) 1, 2, 1 ( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線。設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點M的曲線的曲線,)()()(: tztytx nTM曲線在曲線在M處的切向量處的切向量),(),(),(000tttT 令令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 由由于于曲曲線線是是曲曲

6、面面上上通通過過M的的任任意意一一條條曲曲線線，它它們們在在M的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通過過M的的一一切切曲曲線線在在點點M的的切切線線都都在在同同一一平平面面上上，這這個個平平面面稱稱為為曲曲面面在在點點M的的切切平平面面.則則,Tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量稱為垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量曲面的法向量.曲面在曲面在M

7、處的法向量處的法向量即即),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ?？臻g曲面方程形為?？臻g曲面方程形為),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxF 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(0

8、0yxyxfz 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它與與z軸軸的的正正向向所所成成的的角角 是是銳銳角角， 則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點點)4 , 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1

9、, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解令令, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx法線方程法線方程.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平

10、平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx滿足方程滿足方程, 10 x所求切點為所求切點為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(2)0)2(12)2(8)1(

11、2 zyx2164 zyx例例6 在橢球面在橢球面 上求一點，上求一點，1222222 czbyax使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxF則則2222,2,2czFbyFaxFzyx 2020202,2,2czbyax注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的點為所求的點為),(000zyxP的法線的方向向量為的法線的方向向量為 故橢

12、球面上任一點故橢球面上任一點例例7設(shè)設(shè) z = z ( x , y )由方程由方程0),( czbyczaxf確定，確定， 其中其中f ( u , v )可微可微證明證明 z = z ( x , y ) 表示錐面表示錐面 ),(0cbaP記記),(000zyxP為曲面上一點為曲面上一點則連接則連接 PP0 的的直線的方程為直線的方程為tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax時時當(dāng)當(dāng)0 t證證)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直線上的點都在曲面上，所以曲面是以得出直線上的點都在

13、曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 為頂點的錐面。為頂點的錐面。曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時求法向量的方向余弦時注意符號注意符號）思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .三、小結(jié)三、小結(jié)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向量注意量注意采用推導(dǎo)法采用推導(dǎo)法）思考題解答思考題解答設(shè)切點設(shè)切點),(000zyx,2,2,6000zyxn 依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 x

14、z 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 填填空空題題: :1 1、 曲曲線線2,1,1tzttyttx 再再對對應(yīng)應(yīng)于于1 t的的點點處處切切線線方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法平平面面方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 曲曲面面3 xyzez在在點點)0 , 1 , 2(處處的的切切平平面面方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法線線方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求出出曲曲線線32,tztytx 上上的的點點, ,使使在在該該點點的的切切線線平平行行于于平平面面42 zyx. .三三、 求求球球面面6222 zyx與與拋拋物物面面22yxz 的的交交線線在在)2 , 1 , 1(處處的的切切線線方方程程 . .四四、求求橢橢球球面面12222 zyx上上平平行行于于平平面面