函數定義域與學生思維品質的關系

1、函數定義域與學生思維品質的關系山東省淄博市沂源縣第二中學（256100） 張林德思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。一 函數關系式與定義域函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：例

2、1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？ 解：設矩形的長為x米，則寬為(50x)米，由題意得： 故函數關系式為：如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍： 即：函數關系式為： （）這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現

3、出較好思維的嚴密性。二、 函數值域與定義域函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：例3：求函數的值域 錯解：令 故所求的函數值域是 剖析：經換元后，應有，而函數在0,+)上是增函數， 所以當t=0時，ymin=1 故所求的函數值域是1, +）以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。三、 函數最值與定義域

4、函數的最值是指函數在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：例2：求函數在2，5上的最值 解： 當時，初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。其實以上結論只是對二次函數在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間上，它的最值應分如下情況： 當時，在上單調遞增函數； 當時，在上單調遞減函數； 當時，在上最值情況是： ， 即最大值是中最大的一個值。故本題還要繼續(xù)做下去： 函數在2，5上的最小值是 4，最大值是12 這個例子說明

5、，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。四、 函數單調性與定義域函數單調性是指函數在給定的定義域區(qū)間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如：例4：指出函數的單調區(qū)間 解：先求定義域： 函數定義域為 令，知在上時，u為減函數， 在上時， u為增函數。 又 函數在上是減函數，在上是增函數。即函數的單調遞增區(qū)間，單調遞減區(qū)間是。如果在做題時，沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業(yè)時，只是對題型，套公式

6、，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。五、函數奇偶性與定義域判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區(qū)間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：例5：判斷函數的奇偶性 解： 定義域區(qū)間1,3關于坐標原點不對稱 函數是非奇非偶函數 若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性 如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論： 函數是奇函數錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區(qū)間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。綜上所述，在求解函數函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精