上海交大-天線教程-第二章 EM回顧——EM理論

1、CEM12022-2-10耿軍平耿軍平電子信息與電氣工程學院，電子工程系電子信息與電氣工程學院，電子工程系電院樓群電院樓群1 1522522Email:Email:Tel:34204663Tel:342046632014.092014.0912122022-2-102麥氏方程：場與源之間的關系場量之間的相關變化關系：本構關系：邊界條件：約束條件三類邊界條件：電磁問題的歸結波動方程：麥氏方程的推演形式位函數(shù)的引入：方便求解場的表示：場入射場散射場場入射場散射場2022-2-103電磁場基本方程和電磁場基本方程和電磁場運動的基本規(guī)律電磁場運動的基本規(guī)律2022-2-104電磁場基本方程和電磁場運動

2、的電磁場基本方程和電磁場運動的基本規(guī)律基本規(guī)律坡印亭定理和坡印亭矢量波動方程和電磁位函數(shù)對偶形式的電磁場方程 時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示 2022-2-105電磁場的基本方程電磁場的基本方程電磁場的源電磁場的源電荷和電流電荷和電流靜態(tài)場的基本方程電磁感應定律與全電流定律麥克斯韋方程組與邊界條件2022-2-106電磁場的源電磁場的源電荷和電流電荷和電流 電荷密度dldQlQll0limdVdQVQV0limdSdQSQSS0limllSVdlQdSQdVQS，或，或2022-2-107l電流和電流密度dtdQI 0limSIJS JSIdJSdQdVdSdl2022-2-108l電流和電流密

3、度體電流密度體電流密度J是一個矢量，方向為導體內某點正電荷的運動方向大小為垂直于它的單位面積上的電流傳導電流傳導電流：電子定向運動，服從歐姆定律電子定向運動，服從歐姆定律運流電流運流電流：自由空間或氣體中帶電粒子的自由空間或氣體中帶電粒子的定向運動，不服從歐姆定律定向運動，不服從歐姆定律2022-2-109l電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）條件：體電荷密度 帶電體內任一封閉曲面S 瞬間流出S的電流i為SidJSJ2022-2-1010l電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）SVdQddidVdtdt JSVVdVdVt JtJ積分形式：微分形式：V靜止,散度定理2022-2-1011l電荷守恒定律（電流

4、連續(xù)性方程）SVdQddidVdtdt JSt J積分形式：微分形式：流過恒定電流：0Sd JS0J或2022-2-1012電磁場的基本方程電磁場的基本方程電磁場的源電荷和電流靜態(tài)場的基本方程靜態(tài)場的基本方程電磁感應定律與全電流定律麥克斯韋方程組與邊界條件2022-2-1013靜態(tài)場的基本方程靜態(tài)場的基本方程 庫侖定律與電場強度1212320044RQQQQRRRFa31014niiiiQRERQFE304QRRE0QFER, Ri:從源點從源點指向場點指向場點滿足線性規(guī)則和疊加原理2022-2-1014靜態(tài)場的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場的基本方程（續(xù)） 庫侖定律與電場強度真空中有限區(qū)域V 內連續(xù)分

5、布的體電荷，V 外外 p點點電場強度 E33001( )1( )()44|VVrdVdVRRrrrErr2022-2-1015靜態(tài)場的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場的基本方程（續(xù)） 靜態(tài)場，E的通量不包含電荷的區(qū)域：0nSSEdE dSES的通量包含電荷q的區(qū)域：EnSSqdE dSES的通量2022-2-1016靜態(tài)場的基本方程（續(xù)）靜態(tài)場的基本方程（續(xù)） 靜態(tài)場，E的散度EVVQnSSdE dSdVdVEESE內曲面內總電荷1的通量2022-2-1017 高斯定理與電通量密度電通量密度，電位移矢量，電通量密度，電位移矢量，D： 只與發(fā)出電通量的電荷有關， 而與空間中所填充的媒質無關0DE2022-2

6、-1018 穿過真空或自由空間中任意封閉面的電通量等于此封閉面所包圍的自由電荷總量 高斯定理0SQdES或SVddVDSSdQDS若體電荷位于封閉面內VVdVdVD2022-2-1019表明：表明：1）研究區(qū)域適于源區(qū)域）研究區(qū)域適于源區(qū)域2）源區(qū)域）源區(qū)域3）該空間任一點處電通量密度的散度等于空間任一點處電通量密度的散度等于該點處的電荷密度該點處的電荷密度4）積分方程不一定要完全滿足以上條件）積分方程不一定要完全滿足以上條件1）和和2）（充分而非必要）（充分而非必要）D2022-2-1020 靜電場的無旋性0E000bbaalWQddE lE l閉合路徑或0bbaaWQd El0dWQd E

7、l0QFE外力克服電場力做功，與路徑無關外力克服電場力做功靜電場是無旋場或保守場斯托克斯定理2022-2-1021 畢奧薩伐爾定律與磁通量密度2102211212l(l)4RllI dI dFR a真空中磁場力2112FF221122211022214lllRdI)RdI(dIBlallF各微小電流單元間的作用力并不一定等值反向；線圈間的總的作用力等值反響。2022-2-1022 畢奧薩伐爾定律與磁通量密度1211014lRRdIalB1211014lRsinldI|B 磁通量密度 （磁感應強度）相當于回路相當于回路l1作用于作用于回路回路l2的單位電流元的單位電流元上的磁場力上的磁場力單位：

8、單位：T1T1Wb/m22022-2-1023SSdSR304RJBVdVR304RJB體電流J面電流JS2022-2-1024載流導體在外磁場B中所受磁場力dVJSdIdJlllIdBlFBF dQVdVBJF運動速度(旋度的散度為0A)(H1ABAB0)(0矢量矢量磁位磁位A簡單簡單媒質媒質2022-2-1088思路2： 標量場的梯度的旋度恒等于零ttAEAE或00)(）（ttttAEAABE標量電位標量電位 說明：說明： 前面的負號是由 E 引出的2022-2-1089)()(2AAEtt高 斯高 斯定理定理 D2()At （282）2022-2-1090)(tttAJEJABAAA2)

9、()(222ttAJAA（279）全電流定律全電流定律2022-2-1091A唯一確定散度、旋度、界矢量唯一性定理BA A？A的散度可任意選取,不同場合用不同規(guī)范條件2022-2-1092A的散度確定的規(guī)范條件的散度確定的規(guī)范條件 洛侖茲規(guī)范（條件）t AA和和的的非齊次非齊次矢量波矢量波動方程動方程JAAt222222t （279）說明：這樣的方程使A和分離，便于求解，多數(shù)情況下采用（282）（281）2022-2-1093A的散度確定的規(guī)范條件（續(xù)）的散度確定的規(guī)范條件（續(xù)） 庫侖規(guī)范（條件）0 AA和和的的非齊次矢非齊次矢量波動方量波動方程程ttJAA2222（279）2022-2-10

10、94無源無源tAE)0(02特解說明：庫侖規(guī)范下，A和滿足互聯(lián)方程組，2022-2-1095恒定場恒定場0 A024laRrIdBR21( )()aRRR01()()4llBIdR2022-2-1096恒定場恒定場111()()()IdIdIdIdRRRRll +l =-l0l =Id 源點函數(shù)對場點坐標的旋度00()()44llBllIdIdRR04lAlIdR2022-2-1097電磁場基本方程和電磁場運動的基本規(guī)律電磁場基本方程和電磁場運動的基本規(guī)律電磁場的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波動方程和電磁位函數(shù)對偶形式的電磁場方程對偶形式的電磁場方程 時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示 2022-

11、2-1098對偶形式的電磁場方程對偶形式的電磁場方程電型源（電流、電荷）電磁場磁型源（磁流、磁荷）電磁場teeDJHtBeeEe D0eBtMMDHtBJMMME0MDMM BHMEMJMEe-HeJ 磁流、磁荷是人為等效來的磁流、磁荷是人為等效來的2022-2-1099電型源加磁型源t DJHMtBJE DM B2022-2-10100矢量磁位A標量電位矢量電位AM標量磁位MMMADtMMMAH0tMMAMMMtJAA222tMMM222對偶2022-2-10101電磁場基本方程和電磁場運動的基本電磁場基本方程和電磁場運動的基本規(guī)律規(guī)律電磁場的基本方程坡印亭定理和坡印亭矢量波動方程和電磁位函

12、數(shù)對偶形式的電磁場方程 時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示 2022-2-10102時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示時諧（正弦）電磁場的復數(shù)表示復數(shù)形式復數(shù)形式的麥克斯韋方程組復數(shù)形式的邊界條件E和H矢量的亥姆霍茲方程復坡印亭矢量和復坡印亭定理2022-2-10103復數(shù)形式復數(shù)形式)cos()cos()cos()()()()(zzzyyyxxxzzyyxxtEtEtEtEtEtEtEaaaaaazyxieEeeEtEtjitjjiii,ReRe)(分量分量復振幅復振幅2022-2-10104復數(shù)形式復數(shù)形式ReRe)(tjtjzzyyxxeeEEEtEEaaa電場強度復矢量

13、電場強度復矢量222EReE,ERe()Ej tj tjetet偏導數(shù)偏導數(shù)2022-2-10105復數(shù)形式的麥克斯韋方程組復數(shù)形式的麥克斯韋方程組DJHjBEj D0 B微分、瞬時形式非微分、瞬時形式非限定性麥氏方程限定性麥氏方程j JHBEDEJHjHEj/ E0 H微分、瞬時形式非微分、瞬時形式非限定性麥氏方程限定性麥氏方程說明：為書寫方便，略去小圓點說明：為書寫方便，略去小圓點2022-2-10106復數(shù)形式邊界條件復數(shù)形式邊界條件0)(21EEan0)(21BBanSn()21DDaSnJHHa)(21說明：為書寫方便，略去小圓點說明：為書寫方便，略去小圓點2022-2-10107E

14、和和H非齊次矢量的亥姆霍茲方程非齊次矢量的亥姆霍茲方程2kj EEJ2Hk HJHJEj EHj 2022-2-10108E和和H非齊次矢量的亥姆霍茲方程非齊次矢量的亥姆霍茲方程(續(xù)續(xù))/k 波數(shù)2222xyzkkkk直角坐標：2kj EEJ2Hk HJ22kj EEJ22k HJ2G()GG 2022-2-10109空間頻率空間頻率k/k 波數(shù)/2/k 每每2空間距離中的波長數(shù)空間距離中的波長數(shù)2k2022-2-10110復坡印亭矢量復坡印亭矢量cos()cos()EHmEmHttSEH1() cos()cos(2)2mmEHEHtEH011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSE

15、H2022-2-10111復坡印亭矢量復坡印亭矢量()()EHEHjjjmmmmeeeE HEHEH()cos()2emmEHaVREHEHS( , )cos() EjmEmtte ErEE EHjmeH H同理011( )()cos()2TaVmmEHdtTSrSEH2022-2-10112復坡印亭矢量（續(xù)）復坡印亭矢量（續(xù)）12SEH坡印亭矢量的復數(shù)形式，其實部為平均功率流密度，虛部為無功功率流密度定義Re( )SavS2022-2-10113復坡印亭矢量（續(xù)）復坡印亭矢量（續(xù)）2022-2-10114復數(shù)形式的能量密度復數(shù)形式的能量密度204121Re21Re21)(1)(EDEwdtt

16、wTweTeave簡單媒質4121)()(21)(tjtjtjtjeeeeetttwEEDDED204121Re21Re21)(1)(HBHwdttwTwmTmavm簡單媒質2022-2-10115)(21)(21)21(HEEHHE復坡印復坡印亭定理亭定理若右端第二項為實數(shù)，則表明：若右端第二項為實數(shù)，則表明：從封閉面從封閉面S輸入的有功功率等于體積輸入的有功功率等于體積V內的平均熱損耗功率；內的平均熱損耗功率；從封閉面從封閉面S輸入的無功功率等于體積輸入的無功功率等于體積V內電磁場儲能的最大時間變化率內電磁場儲能的最大時間變化率dVEdVwwjdVVaveavmS221)()(2)21(S

17、HEJEHE21)4141(2)21(22EHjEJHjHEj2022-2-10116三類邊值問題三類邊值問題2022-2-10117惟一性定理惟一性定理 當物理狀態(tài)給定時總能導出一個，且只有一個物理解； 但數(shù)學上處理不當，可能導出多個解； 惟一性定理：指明正確建模，實現(xiàn)惟一解。 電磁場問題電磁場問題：當給定區(qū)域中的源和整個邊界面上的切向電場或磁場都已確定時，此區(qū)域內的解就將惟一。2022-2-10118亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 若矢量場F(r)在無限區(qū)域中處處是單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V中，則當矢量場的散度及旋度散度及旋度給定后，該矢量場F(r)可以表示為 F rrA r 1

18、4VdVF rrrr其中： 14VA rdV F rrr上述關系稱為亥姆霍茲定理。 2022-2-10119亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理(續(xù)）續(xù)） 該定理再次表明，無限空間中矢量場被其散度及旋度惟一地確定； 而且它給出了場與其散度及旋度之間的定量關系； 或者說，給出了場與源之間的定量關系。2022-2-10120靜電場邊值問題的解法靜電場邊值問題的解法第一類邊值（Dirichlet）問題：已知全部邊界上電位分布，如導體表面上的電位分布；第二類邊值問題（Neumann）問題：已知邊界上電位的法向分布，如導體表面上的電荷分布；第三類邊值問題，又稱混合邊值（Robbin）問題：已知部分邊界上的電位分布及

19、另一部分邊界上電位的法向導數(shù)。說明說明：對上述任一邊值問題，滿足邊界條件的電位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的2022-2-10121靜電場邊值問題的解法（續(xù)）靜電場邊值問題的解法（續(xù)）分離變量法直角坐標系圓柱坐標系鏡像法接地平面附近的點電荷線電荷導體球與點電荷復變函數(shù)法有限差分法2022-2-10122電磁場邊值問題電磁場邊值問題第一類邊值（Dirichlet）問題：已知全部邊界上電場分布，如導體表面上的電場法向分量為零；第二類邊值問題（Neumann）問題：未知量的導數(shù)在邊界上為已知固定值；第三類邊值問題，又稱混合邊值（Robbin）問題：未知量和未知量的導數(shù)在邊界上有確

20、定關系。如：索末菲輻射條件：（自由空間在無限遠處的輻射條件）；吸收邊界條件等2022-2-10123等效原理等效原理2022-2-10124波和介質中的波和介質中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應的面電流 2022-2-10125概述概述 研究有限空間區(qū)域： 感興趣感興趣區(qū)域區(qū)域不感興趣區(qū)域不感興趣區(qū)域等效等效源等效源感興趣感興趣區(qū)域區(qū)域2022-2-10126l等效時，確保全部邊界條件得到滿足；l等效源可在感興趣區(qū)域之外或邊界上；l等效源的構成方法不唯一；l如果兩種不同性質的源能在所研究區(qū)域內給出同樣的解（在這個區(qū)域之外可能會給出不同的解） ，則稱它們

21、等效。說明說明2022-2-10127波和介質中的波和介質中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應的面電流 2022-2-10128電偶極子電偶極子E靜態(tài)電場靜態(tài)電場恒定電場恒定電場2022-2-10129磁偶極子磁偶極子Hl不感興趣區(qū)域：包圍小電流環(huán)的小體積l小電流環(huán)和磁偶極子在包圍他們的小體積外場相同l在源的內部，二者的磁場指向相反小電小電流環(huán)流環(huán)磁偶磁偶極子極子磁流磁流元元2022-2-10130波和介質中的波和介質中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源鏡像源面電流和面磁流 外加的和感應的面電流 等效原理的應用2022-2-

22、10131鏡像源（鏡像源（1）無限大理想導體前的電荷2022-2-10132鏡像源（鏡像源（2）無限大理想導體理想導體前的偶極子2022-2-10133鏡像源（鏡像源（3）無限大無限大理想導磁體（切向磁場趨于理想導磁體（切向磁場趨于0的導磁表面）的導磁表面）前的偶極子前的偶極子2022-2-10134鏡像源（鏡像源（4）平行導電板之間的電偶極子平行導電板之間的電偶極子2022-2-10135波和介質中的波和介質中的等效原理等效原理概述電偶極子和磁偶極子鏡像源面電流和面磁流面電流和面磁流 外加的和感應的面電流 2022-2-10136面電流面電流 邊界上切向磁場分量的不連續(xù)引起面電流JsnasJ

23、H繞繞Js的磁場環(huán)路方向服從右手定則的磁場環(huán)路方向服從右手定則2022-2-10137sxsJ Jaxy212jkzsjkzsJ eJ eEaHaxy212jkzsjkzsJ eJ e EaHa面電流（z0）平面波（z0）平面波（z0）平面波（z0和 z0兩個半空間輻射；Js在z0區(qū)域產生平面波，與入射波結合，使導體內的場為02022-2-10143例例2.平面波在平面波在z軸方向傳播時的幾種情況：軸方向傳播時的幾種情況： 電場在電場在x方向，研究方向，研究z0區(qū)域區(qū)域0jkzxE eE01jkzyE eH等效問題等效問題1：在z0處放置面電流和面磁流0/sxE J0syE M可在z0處產生同

24、樣的場，而在z0處產生同樣的場，而在z0處產生同樣的場，而在z0處場為01jkzyE eH2022-2-10146等效問題等效問題4：以理想導體代替：以理想導體代替z0處面電流不產生任何場，因為導體表面將感應有等幅反相的面電流，抵消了外加的Js；在z0處面磁流產生相同的場2022-2-10147關于等效原理的幾點說明：關于等效原理的幾點說明： 在不感興趣的區(qū)域，等效問題解是無意義的； 關于鏡像法，把“存在有導體時偶極子的輻射”可以轉化為偶極子陣列問題； 等效原理的用途等效原理的用途：在應用鏡像法時，能重新建立公式；提供了一種由所研究區(qū)域表面上近似的源分布來獲得近似解的方法。 惟一性定理保證了這

25、種近似解至少在所研究的區(qū)域內是唯一的。CEM2022-2-10 滯后位滯后位-經典天線問題分析經典天線問題分析2022-2-10149時諧場的滯后位時諧場的滯后位 空間電磁波的場源場源是天線上的時變電流和電荷時變電流和電荷，因此輻射問題就是求解天線上的場源在其周圍空間所產生的電磁場分布。 嚴格地說，空間電磁場的求解就是在天線幾何形狀確定的邊界條件下解麥克斯韋方程組，在絕大多數(shù)情況下這顯然是十分困難甚至是不可能的。 因此，輻射問題的求解往往采用近似解法，即先近似選取天線上的場源分布，再根據(jù)場源分布求天線輻射場。2022-2-10150時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 根據(jù)天線的場源分布求

26、其輻射空間的電磁場，可采用直接解法和間接解法直接解法和間接解法。 直接解法直接解法就是根據(jù)電磁場的復矢量和滿足的非齊次矢量亥姆霍茲方程，由天線的電流分布直接求解E和H，這種解法的積分運算十分復雜； 間接解法間接解法就是先由天線上的電流分布求解矢量磁位A，再由E和H與A間的微分關系求得E和H。這種解法的積分運算通常比直接解法要簡單得多，因此多采用間接解法求解天線的輻射問題。2022-2-10151時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 由式（2.102）可知，若自由空間中有限區(qū)域內有時諧的體電流和體電荷分布，則矢量磁位A和標量電位V分別滿足以下方程： （6.1) (6.2)式中JAkA0220

27、22VkV2200k 2022-2-10152時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 方程（6.2）在自由空間中任一點處的解可寫成為以下形式： （6.3） 此式代表體積V內的體電荷在點 處產生的電位，R是電荷元 到點 處的距離，即 。01( )( )4jkRveV rrdvR( )p r( )r dv( )p rRrr2022-2-10153時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 下面在直角坐標系下證明式（6.3）滿足方程(6.2)。 式（6.3）代入方程（6.2 ）2222002201( , )1( , )()()441( , )()(6.4)4jkRjkRvvjkRjkRvx y z

28、ex y z eVk VdvkdvRReex y zkdvRR 2221()()jkRjkRjkReekeRRR 由于2022-2-10154時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)）得證 注意到2是對場點坐標(x,y,z)作用，而體積分是對源點坐標(x,y,z)進行的 22200011( ,)()41( ,)4()4( , , )(6.6)jkRvjkRvVk Vx y zedvRx y z errdvx y z 2022-2-10155時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 矢量磁位方程（6.1）可分解為三個標量方程，而每個標量方程都同方程（6.2)類似，其解的形式也類似。 若時諧電流以體

29、電流密度 分布在有限體積V中，則此體電流在場點 處產生的矢量磁位A為J( )p r0( )( )4jkRvJ r eA rdvR(6.7) 2022-2-10156時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)） 式 (6.7) 就是矢量磁位方程（6.1）在自由空間中場點 處的解。 由式(6.7)和(6.3)容易得到A和V的瞬時表達式為( )p r(6.8) 0( )cos ()( , )4vRJ rtvA r tdvR0( )cos ()1( )4vRrtvV rdvR (6.9) 2022-2-10157 式中相位因子 表明，自由空間中離開源點為R的觀察點在某一時刻t的位場A和V是由時諧電流和電荷

30、激發(fā)的，但它并不取決于同一時刻t的電流源和電荷源，而是取決于時刻 (t-R/v) 的源。 換言之，觀察點的位場變化滯后于波源的變化，滯后時間為R/v，這個時間即是電磁波在自由空間中傳播距離r所需的時間。 因此，通常稱A為滯后矢量磁位，V為滯后標量電位。時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)）cos ()tR v2022-2-10158 根據(jù)時諧電流源解得A后，即可按以下兩式確定E和H （推導過程見p.39 (2-76式2-78式)）時諧場的滯后位（續(xù)）時諧場的滯后位（續(xù)）（6.10） (6.11) 00)(AjAjE)(10AH 這正是式這正是式(2.78)和和(2.76b)的復數(shù)表達形式的復

31、數(shù)表達形式 CEM2022-2-10導波系統(tǒng)分析導波系統(tǒng)分析波導問題2022-2-10160柱形傳輸系統(tǒng)的導波及其特性柱形傳輸系統(tǒng)的導波及其特性柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場2022-2-10161柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場廣義正交坐標系：z軸與規(guī)則傳輸系統(tǒng)的軸線相重合 u、v是規(guī)則傳輸系統(tǒng)橫截面上的曲線坐標、直角坐標、圓柱坐標2022-2-10162圖5.2 規(guī)則柱形傳輸系統(tǒng)及其坐標系2022-2-10163柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）廣義正交坐標系下分析規(guī)則傳輸系統(tǒng)的常用方法：縱向場法縱向場法 赫茲矢量位法2022-2-10164邊界條件邊界條件柱形傳

32、輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）縱向場法縱向場法依據(jù)：規(guī)則傳輸系統(tǒng)的邊界形狀和尺寸沿其軸向不變E、H的的矢量亥姆矢量亥姆霍茲方程霍茲方程只含電場縱向分量的標量亥姆霍茲方程只含磁場縱向分量的標量亥姆霍茲方程場縱向分量場橫向分量分分離離2022-2-10165柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）假定： 規(guī)則傳輸系統(tǒng)內填充的媒質均勻、線性、各向同性； 傳輸系統(tǒng)內無自由電荷和傳導電流； 場為時諧場。則復矢量E和H滿足齊次矢量亥姆霍茲方程2222( , , )( , , )0( , , )( , , )0u v zku v zu v zku v zEEHH2022-

33、2-10166柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）復矢量E和H分解為橫向分量橫向分量和縱向分量縱向分量( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )zzu v zu v zau v zu v zu v zau v ztztzEEEHHH2022-2-10167 將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量，代入方程 (5.3a) (5.3b) (5.4a) (5.4b)222222220000zzzzttttEkEHkHkkEEHH 柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）2022-2-10168 正交柱坐標系電磁場的正交柱坐標

34、系電磁場的縱向分量、橫向分縱向分量、橫向分量量分別滿足標量、矢量亥姆霍茲方程分別滿足標量、矢量亥姆霍茲方程 除直角坐標系外，除直角坐標系外，(5.4)不能再分解為兩個不能再分解為兩個(5.3) (5.3)和特定邊界條件聯(lián)合求解和特定邊界條件聯(lián)合求解Ez、Hz 由由Ez、Hz求出橫向分量求出橫向分量Et、Ht柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）2022-2-10169拉普拉斯算符可分解為222222tztz 柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）Z的度量因子h31，u、v的度量因子與z無關121 221()()()0hhhhz hz hz橫向拉普拉斯算子橫向

35、拉普拉斯算子2022-2-10170將方程(5.3a)分離變量，令 (5.7) 將(5.7)和(5.6)兩式代入方程(5.3a)并整理，可得 (5.8) zZTEzZvuEzvuEzzz, TEkTEdzzZdzZztz222211柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）縱向場分量的縱向場分量的橫向分布橫向分布縱向場分量的縱向場分量的縱向分布縱向分布2022-2-10171顯然只有（58）式左、右兩端都等于某一常數(shù)該式才能成立。令此常數(shù)為 ，則得 (5.9a) (5.9b) 0222TEkTEzzt 0222zZdzzZd2柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）2022-2-10172同樣可得 的兩個方程為 (5.10a) (5.10b) 2220tzzHTkHT 0222zZdzzZdzH柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）2022-2-10173若在(5.9)和(5.10)兩方程中，令 ,則有 (5.11a) (5.11b)222 kkc 022TEkTEzczt 022THkTHzczt柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）柱形傳輸系統(tǒng)中的電磁場（續(xù)）2022-2-10174在圖5.2所示的正交坐標系中， 為將上式代入(5.11)式，得 (5.12)