熱統(tǒng)1-3章答案.

1、(3)(1)(2)(3)(4)1nR1G =丨=,V汀ppVT0 J俚=空=丄p汀VpVT'1卽)f1 *nRT)1 =I 2 =v i即.嚇m p丿pdVdp.(1)1.1試求理想氣體的體脹系數(shù):,壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)K. T。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為pV = n RT,由此易得1.2證明任何一種具有兩個獨(dú)立參量T,p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可 由實(shí)驗測得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得：lnV = | i odT - Krdp如果-丄,冷=丄，試求物態(tài)方程。T p解：以T, p為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V 二V T, p ,其全微分為(3)(3)dp.dVV根據(jù)體脹系數(shù)，

2、和等溫壓縮系數(shù)t的定義，可將上式改寫為dVV=：dT - ：Tdp.(2)上式是以T, p為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有InV =: dT 7；Tdp .右 ，" ，式（3）可表為TPi 11、InV =一dT -一dp .（4）lTP丿選擇圖示的積分路線，從（To, po）積分到T, po ,再積分到（T, p ）,相應(yīng)地體'i（p）血，丹）州）0H積由Vo最終變到V ,有pPoVTIn =ln InVoTo皿二業(yè)二C （常量）,T To或p V C T（5）式（5）就是由所給-,'-求得的物態(tài)方程。 確定常量C需要T p進(jìn)一步的實(shí)驗數(shù)據(jù)。1.3 在

3、0C和1pn下，測得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分 別為=4.85 105 K-和.t二7.8 ifpn"1 ；和t可近似看作常量，今使銅 塊加熱至10C。問：（a）壓強(qiáng)要增加多少Pn才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強(qiáng)增加100 Pn，銅塊的體積改變多少？解；（a）根據(jù)1.2題式（2），有dVV=：dT 7：Tdp.(1)上式給出，在鄰近的兩個平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差dV,溫度差dT和壓強(qiáng)差dp之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，dp與dT的關(guān)系為(2)(3)Ofdp 二dT.在:和冷可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得C£P2 p1 二一T2 T1 .KT將式（2）積分

4、得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過程后，系統(tǒng) 在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿足式（3）。但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要 初態(tài)V, T1和終態(tài)V, T2是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿足 式（3）。這是因為，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有 確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無關(guān)。本題討論的銅塊加熱的實(shí)際過程一般不會是準(zhǔn)靜態(tài)過程。在加熱過程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài) 是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿足式（3）。將所給數(shù)據(jù)代入，可得4.85 10*7.8 1010 =622pn.因此，將銅塊由0；c加熱到10C，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增

5、強(qiáng) 622pn（b） 1.2題式（4）可改寫為V1二:T2 - T1 - '-T p2 - p1 .（ 4）將所給數(shù)據(jù)代入，有V1= 4.85 10- 10-7.8 10J 100= 4.07 10因此，將銅塊由0C加熱至10C ,壓強(qiáng)由1久增加100Pn，銅塊體積將增 加原體積的4.07 10-倍。1.4 簡單固體和液體的體脹系數(shù)：和等溫壓縮系數(shù)'T數(shù)值都很 小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把：和 T看作常量.試證明簡單固體和液 體的物態(tài)方程可近似為V（T, p）=V° T。，0乩1 ： T-T。-十解：以T, p為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V =V T, p .根據(jù)習(xí)題1

6、.2式（2），有-J /=:dT -“dp.（ 1）VIn二：T T0 T P - p0 ,將上式沿習(xí)題1.2圖所示的路線求線積分，在:和' T可以看作常量的 情形下，有(2)或V T, p 二V T。，p。e'T J0 » 5 .(3)考慮到 '和' t的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到和冷的線性項, 有V T, p =V T。，p。f1 ： T -T。-' t P-P0 .（4）如果取p0 =0，即有V T, p =V T。，0i1 ： T -T。tP （5）1.5描述金屬絲的幾何參量是長度L,力學(xué)參量是張力J,物態(tài) 方程是f J,L,T

7、=0實(shí)驗通常在1pn下進(jìn)行，其體積變化可以忽略 線脹系數(shù)定義為等溫楊氏模量定義為LfcJaIz.其中a是金屬絲的截面積，一般來說，：和Y是T的函數(shù)，對J 僅有微弱的依賴關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè) 金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由一 i降至-2時，其張力的增加為：J=-YA T2 -T1解：由物態(tài)方程f J,L,T =0（ 1）知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系：俚1 但HJ1.（ 2）汀J J L兒T所以，有汀L汀j ；：L T二-L： AY（ 3）L-> AY.積分得J -YA E -壬.（4）與1.3題類似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過 程，只要金屬絲的初態(tài)

8、是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差J 二 J L, T2 -J L, Ti就滿足式（4），與經(jīng)歷的過程無關(guān)。1.6 一理想彈性線的物態(tài)方程為J =bTLo L2 丿其中L是長度，Lo是張力J為零時的L值，它只是溫度T的函數(shù)，b 是常量.試證明：（a）等溫?fù)P氏模量為b L 2L0 在張力為零時，Yo= A（b）線脹系數(shù)為3bT.其中A是彈性線的截面面積。Lo L2 丿V1TZ 2L3其中：0丄dkLo dT1.和2.0時的（C）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶，設(shè)T =300K, b=1.33 10”N K_1,A=1 10上m2,0=5 10»K°，試計算當(dāng) 分別為 0.5, 1.0,Lo八&

9、#39;值并畫出J，Y對Lo的曲線-解：（a）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為J =bT由此可得等溫楊氏模量為L J LYbTA ；:L t ALo" -2、二+=LoL2 丿bT L 丄 2Lo(1)(2)張力為零時，LdYo（b）線脹系數(shù)的定義為由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知所以1a = I (3)lLoL0L2丿2Lo也2L2 )LoL丿lL0bT(L +2L。IL。L2dTL2 y dTb"(C)根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，J, Y, :對-的曲線分別如圖1-2 (a),(b),( c)L0所示。LodT1.7抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強(qiáng)達(dá) 到外界壓強(qiáng)Po時將活門關(guān)上，試

10、證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交 換熱量之前，它的內(nèi)能u與原來在大氣中的內(nèi)能Uo之差為 U 一Uo二PoVo，其中Vo是它原來在大氣中的體積，若氣體是理想氣體， 求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能 U與其 原來在大氣中的內(nèi)能Uo由式（1.5.3）U -Uo 二W Q（ 1）確定。由于過程進(jìn)行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換， Q=0.過程中外界對系統(tǒng)所做的功可以分為 W和W2兩部分來考慮。一 方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由 Vo變?yōu)榱恪Ｓ捎?小匣很小，在將氣體壓入小匣的過程中大氣壓強(qiáng)Po可以認(rèn)為沒有變化，即過程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜態(tài)的）。

11、過程中大氣對系統(tǒng)所做的 功為W = - Po V 二 PoVo.因此式（1）可表為另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力， 與外界也就沒有功交換，則U -Uo 二 PoVo.（2）如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11 ）和（1.7.10）,有PoVo 二 nRT,（3）nRUo -U =Cv 仃-To）（T -To）（4）式中n是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有T%（5）她=0.活門是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到Po時關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作Po，其物態(tài)方程為PoV = nR To.與式（3）比較，知V = Vo.數(shù)。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量Cn為=C

12、v解：根據(jù)式（1.6.1），多方過程中的熱容量(6)(7)n名為多方指(1)1.8滿足pVn = C的過程稱為多方過程，其中常數(shù)對于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度T的函數(shù),=CV ,(2)Cn - CV ' p所以壓強(qiáng)P可得TVnJ =C1 （常量）。(3)將上式微分，有Vn4dT (n -1)Vn%V =0,所以V(4).汀 n(n -1)T'代入式（2），即得CnpVn _ ；'=CvCv ,T(n-1) n-1(5)岸n將多方過程的過程方程式 pVn =C與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去其中用了式（1.7.8 ）和（1.7.9 ）1.9試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量

13、 Cn如果是常數(shù)，該假設(shè)氣體的定壓熱容量過程一定是多方過程，多方指數(shù)n =。Cn Cv和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有dU =?Q ?W.(1)對于準(zhǔn)靜態(tài)過程有?W - -pdV,對理想氣體有dU 二 CVdT,氣體在過程中吸收的熱量為?Q =CndT,因此式（1）可表為（G -GdT 二 pdV.用理想氣體的物態(tài)方程pV二vRT除上式，并注意（Cn _Cv） =（Cp - CV ）.將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有Cp _ CV = vR,（2）可得(3)(4)dp dV dT十=p V T式（3）與式（4）聯(lián)立，消去辛，有 令n1 '可將式（5）表為(5 6 詈 G

14、。)齊0.(5)蟲 n理=0.（ 6）p V如果Cp, Cv和Cn都是常量，將上式積分即得pVn =C （常量）。（7）式（7）表明，過程是多方過程。1.10聲波在氣體中的傳播速度為a假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量, 質(zhì)量的內(nèi)能u和焓h可由聲速及 給出：試證明氣體單位Uo,-12h =-1ho其中Uo,ho為常量。解：根據(jù)式（1.8.9），聲速a的平方為a2 二 pv,（ 1）其中v是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為pv 仝 RT,m式中m是氣體的質(zhì)量，m 是氣體的摩爾質(zhì)量。對于單位質(zhì)量的氣體，有1pv RT,（2）m代入式（1）得27a 二 RT.（3）m以u, h

15、表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓（單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓）。由式 （1.7.10 ） （ 1.7.12）知m u 工 m u,寸1mhmho.飛_1o(4)將式（3）代入，即有h亡血.(5)式(5)表明，如果氣體可以看作理想氣體，測定氣體中的聲速和 即 可確定氣體的比內(nèi)能和比焓1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高 處之間空氣不斷發(fā)生對流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時膨脹, 下降時收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認(rèn)為是絕熱 過程，試計算大氣溫 度隨高度的變化率dT，并給出數(shù)值結(jié)果。dz解：取z軸沿豎直方向(向上)。以p(z)和p(z dz)分別表示在豎 直高度為z和z

16、 dz處的大氣壓強(qiáng)。二者之關(guān)等于兩個高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即p(z) = p(z dz) 珥z)gd z,( 1)式中是高度為z處的大氣密度，g是重力加速度。將p(z dz)展 開，有 p(z dz) = p(z) p(z)dz,dz代入式(1)，得-JP(Z)=7(z)g.( 2)dz式(2)給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以m 表大氣的平均摩爾質(zhì)量。 在高度為z處，大氣的摩爾體積為'則物態(tài)方程為(5)(5)(3)T(z)是豎直高度為z處的溫度。代入式(2)，消去P(z)得. +(4)d /、 m g /、p(z)p(z).dzRT(z)由式(1.8.6 )易

17、得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為街_Y-1TIG 代 7 p .(5)綜合式（4）和式（5）,有九匹和葉dzz 亠dz-1 m gR(6)lnF(T) lnV 二 G (常量)，(5)大氣的吋-1.41 （大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均 摩爾質(zhì)量為m =29 10"kg mol，g= 9.8m s'，代入式（6）得d1T z = -10K km - .（ 7）dz式（7）表明，每升高1km，溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于 各種沒有考慮的因素，實(shí)際每升高1km，大氣溫度降低6K左右。1.12假設(shè)理想氣體的Cp和Cv之比 是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱

18、過程中T和V的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個函數(shù)F T，其表達(dá)式為lnF(T)= 一H解：根據(jù)式（1.8.1），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足CVdT pdV =0.（ 1）用物態(tài)方程pV “RT除上式，第一項用nRT除，第二項用pV除，可得nRT V利用式(1.7.8 )和(1.7.9)，Cp - CV 二 nR,Cv'（2）可將式（2）改定為1-1 TdT dV 7V(3)lnF(T) lnV 二 G (常量)，(5)lnF(T) lnV 二 G (常量)，(5)將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義(4)< 1 dTlnF仃），-1 T可得lnF(T) lnV 二 G (常量)，(

19、5)Q1Q2W = Q1 - Q2 = RT|lnV-RT2心.V1V4(3)F（T）V =C （常量）。（6）式（6）給出當(dāng) 是溫度的函數(shù)時，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中T和V的關(guān)系。1.13利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時，理想氣體卡 諾循環(huán)的效率仍為 =1解：在 是溫度的函數(shù)的情形下，§1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得 到的式（1.9.4 ） （ 1.9.6 ）仍然成立，即仍有(1) (2)(8)(8)W =町-T2)lnVVI(7)根據(jù)1.13題式（6）,對于§ 1.9中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程（二）和（四）F （可V2訐佝仏，（4）F（T2）VF（T1）V1,（ 5）從這兩個

20、方程消去F（TJ和F（T2），得(6)(8)(8)所以在 是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為Q1 T1(8)1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設(shè)在PV圖中兩條絕熱線交于C點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等 溫線與。r兩條絕熱線分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)（因為等溫線的斜率小于絕熱線的斜 率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程ABCA中，系統(tǒng)在等溫 過程AB中從外界吸取熱量Q ,而在循環(huán)過程中對外做功 W，其數(shù)值 等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀 態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有W =Q。這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?/p>

21、，這違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說法，是不可能的。因此兩條絕熱線不可能相交。1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個熱源交換熱量，在熱機(jī)從其中吸收熱 量的熱源中，熱源的最高溫度為T1，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中， 熱源的最低溫度為T2，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過 1-衛(wèi).T1解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（1.13.4）,有'Ql<0,（ 1）i T式中Q是熱機(jī)從溫度為T的熱源吸取的熱量（吸熱Qi為正，放熱Qi為 負(fù)）。將熱量重新定義，可將式（1）改寫為(2)QjQk 小j< 0,j Tj k Tk式中Qj是熱機(jī)從熱源Tj吸取的熱量，Qk是熱機(jī)在熱源Tk放出的熱量, Qj，Qk

22、恒正。將式（2）改寫為(3)QjQkTkj k j Tj k假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為 Ti，在熱機(jī)向 其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為 T2，必有1Qj二.Qj 八 r，jj 1 j著占kQk,故由式（3）得(4)1-Qk -T2k定義Q八Qj為熱機(jī)在過程中吸取的總熱量，Q2八，Qk為熱機(jī)放出的 總熱量，則式（4）可表為(5)Qi Q2(6)T2 Q2T1 Q1根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過程中所做的功為W = Qi _ Q?.熱機(jī)的效率為(7)QQ1T11.16 理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由Ti升至T2。假設(shè)是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解

23、：根據(jù)式（1.15.8）,理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為S = CpInT 一 nRlnp S0.（ 1）在等壓過程中溫度由升到T2時，熵增加值，Sp為(2)二Cp1 n 半.11根據(jù)式（1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為S 二 GJnT nRInV So.（ 3）(4)(5)在等容過程中溫度由升到T2時，熵增加值.-：S/為=CVI n -2 .T1所以SpCp _1.17 溫度為0C的1kg水與溫度為100 C的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水 溫達(dá)到100C。試分別求水和熱源的熵變以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲 使參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從0記升至100叱？已知水的比熱容為4.18Jg

24、K.解：0C的水與溫度為100C的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為100 C， 這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想 一個可逆過程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣變 化，通過設(shè)想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為求水的熵變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源， 其溫度 分布在0C與100C之間。令水依次從這些熱源吸熱，使水溫由0C升至 100 C。在這可逆過程中，水的熵變?yōu)?73 mepdT273373=mcpln p 273=103 4.18 ln 373 =1304.6J kl273(1)水從0C升溫至100 C所吸收的總熱量Q為35Q=mcp ：T =104

25、.18 100 = 4.18 10 J.為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為100 C的另一熱源放出熱量Q。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)?.18燈05=S熱源=373=-1120.6J K.(2)由于熱源的變化相同，式(2)給出的熵變也就是原來的不可逆過程 中熱源的熵變。則整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)镾、= SkS熱源=184J KJ.(3)為使水溫從0：C升至100 C而參與過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變， 應(yīng)令水與溫度分布在0：C與100C之間的一系列熱源吸熱。水的熵變 厶SK仍由式(1)給出。這一系列熱源的熵變之和為(4)(5)373 mcpdTS熱源一 .273 T 1304.6J K參與過程的整個系統(tǒng)

26、的總熵變?yōu)?S - - :Sk * - S熱源=0.1.18 10A的電流通過一個25門的電阻器，歷時1s。(a) 若電阻器保持為室溫27C，試求電阻器的熵增加值。(b) 若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27 C，電阻器的 質(zhì)量為10g,比熱容Cp為0.84J gK二問電阻器的熵增加值為多少？解：(a)以T, p為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過程是在大氣壓下進(jìn) 行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫27C不變，則電阻器的熵作為 狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。(b)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱Q將全部 被電阻器吸收而使其溫度由T升為Tf，所以有2mCp(Tf -T) = i Rt,故mcp=

27、300102 25 110 0.48 103600K.電阻器的熵變可參照§1.17例二的方法求出，為 TT+L 0.84 湖啜曲".1.19均勻桿的溫度一端為Ti，另一端為T2，試計算達(dá)到均勻溫 度2 Ti T2后的熵增。解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是1=0端溫度為T2 , I = L端 溫度為J,溫度梯度為 牛巴（設(shè)Ti>T2）。這是一個非平衡狀態(tài)。通 過均勻桿中的熱傳導(dǎo)過程，最終達(dá)到具有均勻溫度2 Ti T2的平衡狀態(tài)。為求這一過程的熵變，我們將桿分為長度為dl的許多小段，如圖所示。位于I到I dl的小段，初溫為T =T2TT2 I.(1)豈Ti這小段由初溫

28、T變到終溫寸Ti I后的熵增加值為Ti +T2 X dT2dS| =Cpdl t 2 二Cpdlln 2,TTTT2lL其中Cp是均勻桿單位長度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個均勻桿的熵增加值為= dS.T-In T2 =l dl22 LT2"IIn T2 Fl2L.2L)IT2平0Ti +T2Cp= CpLI n_p 2Ti 込L人 +T2CpL= CpLIn2TiIn Ti -T? InTz-Ti T22Ti -T2I Ti *T2 Ti In Ti _T2 In T2 4In+i .、2Ti - T2丿=cp式中Cp二CpL是桿的定壓熱容量(2)(3)1.20 一物質(zhì)固態(tài)的摩

29、爾熱量為Cs，液態(tài)的摩爾熱容量為G.假 設(shè)Cs和Cl都可看作常量.在某一壓強(qiáng)下，該物質(zhì)的熔點(diǎn)為To ,相變潛 熱為Q.求在溫度為Ti Ti <To時，過冷液體與同溫度下固體的摩爾熵 差假設(shè)過冷液體的摩爾熱容量亦為Ci .解：我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計算.以T , p為狀態(tài)參量.在討 論固定壓強(qiáng)下過冷液體與固體的熵差時不必考慮壓強(qiáng)參量的變化 .以 a態(tài)表示溫度為Ti的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點(diǎn)To的固態(tài).b, a 兩態(tài)的摩 爾熵差為（略去摩爾熵Sm的下標(biāo)m不寫）心Sba =。CdT=Csln 衛(wèi)（1）Ti TTi以c態(tài)表示在熔點(diǎn)To的液相，c, b兩態(tài)的摩爾熵差為SCQ°.（ 2）To

30、以d態(tài)表示溫度為Ti的過冷液態(tài)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差為Sdc 二 T GdT = Ci|n H .（ 3）To TTo熵是態(tài)函數(shù)，d，c兩態(tài)的摩爾熵差Sda為 Sd 厶Sdc r Scd *Sba= Clln 衛(wèi)釦 Csln®T0 T0Ti卡 CsG ln*.（4）T0Tii.2i物體的初溫Ti，高于熱源的溫度T，有一熱機(jī)在此物體與 熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到t2為止，若熱機(jī)從物體吸取 的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為WU=Q-T2（S-S2）其中S -S2是物體的熵減少量。解：以.0,七和 弋分別表示物體、熱機(jī)和熱源在過程前后的熵 變。由熵的相加

31、性知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)橛捎谡麄€系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加原理要求：S = S_ 0.（1）以Si, S分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)?：Sa 二 S2 -S.（ 2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過程，經(jīng)循環(huán)過程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)，熵變?yōu)榱? 即S=0.（ 3）以Q表示熱機(jī)從物體吸取的熱量，Q 表示熱機(jī)在熱源放出的熱量，W 表示熱機(jī)對外所做的功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有Q =Q W,所以熱源的熵變?yōu)?4)將式（2） （ 4）代入式（1），即有(5)(6)Q-Ws2 _ S0.2T2上式取等號時，熱機(jī)輸出的功最大，故Wmax 二 Q - T2 S - S2 .式（6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過

32、程。1.22 有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為 T。今 令一制冷機(jī)在這兩個物體間工作，使其中一個物體的溫度降低到T2為 止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證 明，此過程所需的最小功為T2"Wmh =Cp T"+T2-2T<T2丿解：制冷機(jī)在具有相同的初始溫度 T的兩個物體之間工作，將 熱量從物體2送到物體1,使物體2的溫度降至T2為止。以Ti表示物體 1的終態(tài)溫度，Cp表示物體的定壓熱容量，則物體 1吸取的熱量為Q1 二 Cp-T（ 1）物體2放出的熱量為Q2 二 CpTT（2）經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為W =Q1 -Q2

33、=Cp Ti T2 -2Ti（3）由此可知，對于給定的T和T2，Ti愈低所需外界的功愈小。用和厶Q分別表示過程終了后物體1,物體2和制冷機(jī)的 熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個系統(tǒng)的熵變?yōu)椋篠 = ：S=S3 _ 0（4）顯然AS =Cpl n*,TiS2 =Cpl n半，Ti因此熵增加原理要求 ：S =Cpln ；2 _0,（5）或-1,對于給定的Ti和T2，最低的Ti為TT2(6)代入（3）式即有*+T2-2Ti<T2丿(7)式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個過程是可逆過程1.23 簡單系統(tǒng)有兩個獨(dú)立參量。 如果以T, S為獨(dú)立參量，可以 以縱坐標(biāo)表示溫度T，橫坐標(biāo)表示熵S，構(gòu)成T-S圖

34、。圖中的一點(diǎn)與 系統(tǒng)的一個平衡態(tài)相對應(yīng)，一條曲線與一個可逆過程相對應(yīng)。 試在圖 中畫出可逆卡諾循環(huán)過程的曲線，并利用T -S圖求可逆卡諾循環(huán)的效 率。解：可逆卡諾循環(huán)包含兩個可逆等溫過程和兩個可逆絕熱過程。在T -S圖上，等溫線是平行于T軸的直線。 可逆絕熱過程是等熵過程，因 此在T -S圖上絕熱線是平行于S軸的直線。 圖1-5在T -S圖上畫出 了可逆卡諾循環(huán)的四條直線。（一）等溫膨脹過程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過程（溫度為T,）由狀態(tài)I到達(dá)狀態(tài)H。由于工作物質(zhì)在過程中吸收熱量，熵由 0升為S2。吸收的熱量為Qi = S _ Si ,（ 1）Qi等于直線IH下方的面積。（二）絕熱膨脹過程工作物質(zhì)由

35、狀態(tài)H經(jīng)絕熱膨脹過程到達(dá)狀態(tài)皿。 過程中工作物質(zhì) 內(nèi)能減少并對外做功，其溫度由Ti下降為I，熵保持為S不變。（三）等溫壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)皿經(jīng)等溫壓縮過程（溫度為 T2）到達(dá)狀態(tài)W。工 作物質(zhì)在過程中放出熱量，熵由S2變?yōu)镾，放出的熱量為Q2 訂2 S -Si ,（2）Q2等于直線皿W下方的面積。（四）絕熱壓縮過程工作物質(zhì)由狀態(tài)W經(jīng)絕熱壓縮過程回到狀態(tài)I。溫度由T2升為Ti,熵保持為S,不變。在循環(huán)過程中工作物質(zhì)所做的功為W = Q<| - Q2, W等于矩形IHMW所包圍的面積?？赡婵ㄖZ熱機(jī)的效率為(4)(5)上面的討論顯示，應(yīng)用T -S圖計算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。實(shí)際

36、上T -S圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4）dQ =TdS,系統(tǒng)在可逆過程中吸收的熱量由積分Q= TdS（ 6）給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中 ABCDA的（可逆）循環(huán)過程，則在過程ABC中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積 ABCEF，在過程CDA中工作物質(zhì)放出 的熱量等于面積ADCEF，工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線ABCDA所包的面積。 由此可見（可逆）循環(huán)過程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從 T -S圖中的面積讀出。 在熱工計算中T-S圖被廣泛使用。補(bǔ)充題1 1mol理想氣體，在27 C的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓 強(qiáng)由20 Pn準(zhǔn)靜態(tài)地降到1 Pn，求氣體所作的功和所吸取的熱量。解：將氣體的

37、膨脹過程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。根據(jù)式（1.4.2）， 在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中氣體體積由Va膨脹到Vb，外界對氣體所做的功為W = _ VB pdV二RTvb dV二RTInPaPb氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得W =RTIn 叢=8.31 300 In20=7.47 103J.Pb在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即U -0.根據(jù)熱力學(xué)第一定律（式（1.5.3）,氣體在過程中吸收的熱量Q為Q = _W =7.47 103J.補(bǔ)充題2在25C下，壓強(qiáng)在0至1000 Pn之間，測得水的體積為V =（18.066-0.715 10" p 0.046 10“ p2）cm3 mol

38、9;如果保持溫度不變，將1mol的水從1 Pn加壓至1000pn，求外界所作 的功。解：將題中給出的體積與壓強(qiáng)關(guān)系記為V = a bp cp2,（ 1）由此易得dV = (b 2cp)dp.( 2)保持溫度不變，將1mol的水由1 p.加壓至1000pn，外界所做的功為- - 1 2 2 3W =_L pdV=Jp p(b+2cp)dp =(；bp +-cp )VAPA23-33.1J mol =VbPb1000在上述計算中我們已將過程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過程補(bǔ)充題3承前1.6題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中長度由 g壓 縮為，試計算外界所作的功。2(1)解：在準(zhǔn)靜態(tài)過程中彈性體長度有 dL的改變時，

39、外界所做的功 是dW =JdL.將物態(tài)方程代入上式，有dW 二 bT(L<L0dL.(2)在等溫過程中Lo是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中將彈性體長度由 Lo壓縮為L0時外界所做的功為LoLo_w = r JdL = bT=bTLoT<L Q"L2丿 門2 7 dLLoLoLLo(3)值得注意，不論將彈性體拉長還是壓縮，外界作用力都與位移同向, 外界所做的功都是正值。補(bǔ)充題4在oC和1 口下，空氣的密度為1.29kg m，空氣的定壓 比熱容Cp =996J kg-1 K，=1.41。今有27m3的空氣，試計算：（i ）若維持體積不變，將空氣由0七加熱至20C所需的熱量。（i

40、i）若維持壓強(qiáng)不變，將空氣由0叱加熱至20c所需的熱量。（iii ）若容器有裂縫，外界壓強(qiáng)為1pn，使空氣由0C緩慢地加 熱至20C所需的熱量。解：（a）由題給空氣密度可以算27m3得空氣的質(zhì)量m為m =1.29 27 = 34.83kg.定容比熱容可由所給定壓比熱容算出_ Cp _ 0.996 103丫 1.41= 0.706 103J kg K.維持體積不變，將空氣由0：C加熱至20 C所需熱量Q為QV - m1CV （T2 - T1）= 34.83 0.706 103 20 = 4.920 105 J.（b）維持壓強(qiáng)不變，將空氣由0C加熱至20C所需熱量Qp為Qp rgCpE -TJ3=

41、 34.83 0.996 10205= 6.938 105 J.(C )若容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器 內(nèi)空氣質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程pvRT,mm 為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強(qiáng)和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣 體的質(zhì)量與溫度成反比。以mi, Ti表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，m表示溫度為T時氣體的質(zhì)量，有mTi = mT,所以在過程(C)中所需的熱量Q為二 miTiCpl nt2t2 dT=Cpm 仃)dT =miTiCpTiTi t將所給數(shù)據(jù)代入，得3293Q= 34.83 273 0.996 103ln273=6.678 105 J.補(bǔ)充題5熱泵的作用是通過一個

42、循環(huán)過程將熱量從溫度較低的 物體傳送到溫度較高的物體上去。如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的 功的比值。試求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：根據(jù)卡諾定理，通過逆卡諾循環(huán)從溫度為 T2的低溫?zé)嵩次?熱量Q2，將熱量Qi送到溫度為Ti的高溫?zé)嵩慈?，外界必須做功W = Q1 - Q2.因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過程，其效率為I =Qi 二Qi=Ti= i .t2WQ1 Q2£ T2T2式中第三步用了(1)Q1 T1q2 t2的結(jié)果（式（1.12.7 ）和（1.12.8 ）。由式（1）知，效率

43、H恒大于1。如果Ti與T2相差不大，可以相當(dāng)高。不過由于設(shè)備的價格和運(yùn)轉(zhuǎn)的實(shí)際效率，這種方法實(shí)際上很少使用。將功直接轉(zhuǎn)化為熱量（如電熱器），效率為1。補(bǔ)充題6根據(jù)熵增加原理證明第二定律的開氏表述：從單一熱 源吸取熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。解：如果熱力學(xué)第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機(jī) 在循環(huán)過程中從溫度為T的單一熱源吸取熱量Q ,將之全部轉(zhuǎn)化為機(jī) 械功而輸出。熱機(jī)與熱源合起來構(gòu)成一個絕熱系統(tǒng)。在循環(huán)過程中, 熱 源 的 熵 變 為機(jī)的熵不變，這樣絕熱系統(tǒng)的熵就減少了，這違背了熵增加原理，是不可能的第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1已知在體積保持不變時，一氣體

44、的壓強(qiáng)正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在溫度保質(zhì)不變時，該氣體的熵隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強(qiáng)可表為P=fVT,（ 1）式中f（V）是體積V的函數(shù).由自由能的全微分dF = -SdT - pdV 得麥?zhǔn)详P(guān)系(2)=俾）.：V t 汀 V將式（1）代入，有隹=愆1 =f（V）=衛(wèi)戸I可.Vt(3)由于P 0，T 0 ,故有于t 0.這意味著'在溫度保持不變時'該 氣體的熵隨體積而增加.2.2 設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:p= f（V）T,試證明其內(nèi)能與體積無關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式:故有9 = f(V)T,但根據(jù)式（227），有汀vP，所以加(V)_P

45、=0.(1)(2)(3)(4)這就是說，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與(2)dU =TdS - pdV.(3)(2)dU =TdS - pdV.(3)體積無關(guān)，只是溫度T的函數(shù).2.3 求證:(a) I <0；0 .(2)dU =TdS - pdV.(3)(2)dU =TdS - pdV.(3)解：焓的全微分為(1)令dH =0，得dH -TdS Vdp.；P h T(2)dU =TdS - pdV.(3)(2)dU =TdS - pdV.(3)內(nèi)能的全微分為(2)dU =TdS - pdV.(3)令dU =0，得(4)2.4 已知皂)=0，求證巴=0.A<CP

46、 yr解：對復(fù)合函數(shù)U(T, P)二U(T, V(T, p)( 1)求偏導(dǎo)數(shù)，有(cU、(eV、5丿T 5人1印“(2)如果瓠=0，即有=0.(3)式(2)也可以用雅可比行列式證明：創(chuàng)c(U, T)<cp 叮點(diǎn)(P, T)= £(U, T疋(V, T) -；(V, T)g T)5訂(2)2.5試證明一個均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.解：熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)'亙)描述等壓過程中的熵隨體積的變化率， Up用描述等壓下溫度隨體積的變化率.為求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)的關(guān) ：:v p系，對復(fù)合函數(shù)S 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)S

47、 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)求偏導(dǎo)數(shù)，有® .pWT 鄧® )pT 0 丿p(2)S 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)S 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)因為Cp >0, T >0，所以 l'的正負(fù)取決于)的正負(fù).pUV 丿 pl/p式(2)也可以用雅可經(jīng)行列式證明：:S ：(S, p)TV / ?(V, p)_ 點(diǎn)(S, p疋(T, p)b, ph:(V, p)S 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)S 二S(p, V) =S(p, T(p, V)(1)(2)2.6 試證明在相同

48、的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的 溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落.解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)'聖"和 B 描述.熵函數(shù)S(T, p)的全微分為和丿HI ht +1 1 dl3Ptdp.dS書.1Cp在可逆絕熱過程中dS=0，故有亙 疋P ”：S 汀p(1)最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式( 焓H(T, p)的全微分為2.2.4)和式(2.2.8).存H】dT +l盯丿p< £p TdHdp.在節(jié)流過程中dH =0，故有(2)空程:最后一步用了式（2210 ）和式（166 ） 將式（1）和式（2）相減，得3P）SI印丿H0.(

49、3)(4)所以在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過 程中的溫度降落.這兩個過程都被用來冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機(jī)有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑技術(shù)是十分困難的問題，實(shí)際上節(jié)流過程更為常用但是用 節(jié)流過程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度 .卡皮查（1934年） 將絕熱膨脹和節(jié)流過程結(jié)合起來，先用絕熱膨脹過程使氦降溫到反轉(zhuǎn) 溫度以下，再用節(jié)流過程將氦液化.2.7 實(shí)驗發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強(qiáng)P與體積V的乘積以及內(nèi)能U都 只是溫度的函數(shù)，即PV 二 f (T),U =U(T).試根據(jù)熱力學(xué)理論，討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式 解：根據(jù)題設(shè)，氣體具有下述特性：pV=f(T),( 1)U 二"T).(2)由式(2.2.7 )和式(2)，有普T 門p=0.(3)5刀丿V而由式（1）可得T蟲工 汀 V V dT將式（4）代入式（3），有(4)Tdf =f, dT或dff=d；.( 5)積分得In f = 1 nT In C,pv 二CT,（6）式中C是常量.因此，如果氣體具有式（1）, （2）所表達(dá)的特性， 由熱力學(xué)理論知其物態(tài)方程必具有式（6）的形式.確定常量C需要 進(jìn)一步的實(shí)驗結(jié)果.2.8 證明pI CP 7T(2)(2)并由此導(dǎo)出g+T 的dV,0pCP=C0-TPOf -20 pdp.p(2)(2)根