點和直線的齊次坐標,齊次方程,非齊次坐標,非齊次方程及其應(yīng)用.

1、摘要本論文主要討論點和直線的齊次坐標，齊次方程，非齊次坐標，非齊次方 程及其應(yīng)用 .關(guān)鍵詞： 點和直線的齊次坐標，齊次方程，非齊次坐標，非齊次方程，無 窮遠點，無窮遠直線 .引言我們知道，在平面內(nèi)點是幾何的基本元素，對于點引入坐標曲線是點的軌跡（在這種情況下，曲線稱為點曲線），它有方程，這是點幾何的觀點.在點幾何 里，直線是曲線的特例.對偶地，直線也可作為幾何的基本元素，采用直線作為 基本元素，可以建立線幾何學.在線幾何里，對于直線引入坐標，曲線是一族直 線包絡(luò)成的圖形（在這種情況下，曲線稱為線曲線）.1. 齊次點坐標當歐氏直線規(guī)定了方向，原點與單位線段以后，即建立了笛氏坐標系.它使有窮遠點與

2、實數(shù)之間建立了一一對應(yīng)，從而確立了歐氏直線上點的坐標的概念.當引入無窮遠點后，無窮遠點沒有坐標.為了刻畫無窮遠點，我們引入齊次點坐 標.1.1 一維齊次點坐標定義1 :設(shè)歐氏直線上有窮遠點p的笛氏坐標為x ,則滿足色二x的二數(shù)X2X1,X2 X2 =0叫做點p的齊次（笛氏）坐標，記作p X1,X2 , X稱點p的非齊次坐 標.而當X2 =0時，即X1,0為=0或1,0規(guī)定為這直線上無窮遠點的一維齊次 點坐標.女口：若2,1是齊次點坐標，則它的非齊次坐標2 ;反之成立.由定義1可見：1不同時等于零的任何兩個數(shù)X1,X2在軸上確定唯一一點p x1, x2 ； 0,0不 能決定一個點；2如果 小0，

3、貝U ?x1, ?x2與x1,x2決定同一點；女口：點3,1 , 6,2 , -3,-1 , 3,-都表示同一點的齊次坐標.（2 2丿3如果X2 -0，則p 0X2為軸上一個有窮遠點，它的非齊次坐標為x= * ；X2女口：點3,-7的非齊次坐標為.I 7丿4如果x -0,x2 =0，貝U p Xi,0或p 1,0為軸上的無窮遠點;f 1 y女口：任取一點P(X )，它的齊次坐標為P(X,1)或p 1,丄LV X)(1、當 XT旳 時， Pt P旳，此時1, T (1,0).I X.)因此，軸上的無窮遠點為點x1,0或1,0 .要特別注意，對于軸上的任何(有窮或無窮遠)點，它的齊次坐標無窮多組.

4、又如果p X1,X2X2 =0，則x-生叫做點p的非齊次坐標，無窮遠點沒有非齊X2次坐標.如果點的非齊次坐標存在，則它就是唯一的.1.2二維齊次點坐標在歐氏平面內(nèi)建立二維笛氏(直交或斜交)坐標，則可使平面內(nèi)的有窮遠點 與有序?qū)崝?shù)之間建立一一對應(yīng)，從而確立了平面內(nèi)點的坐標的概念.為了刻畫無窮遠點，我們引入二維齊次點坐標.注意：平面上有無窮多個無窮遠點.即每個方向有唯一的一個無窮遠點.定義2 :設(shè)歐氏平面內(nèi)點p的笛氏坐標為X,y，則滿足兇二x,的三X3X3數(shù)X1,X2,X3其中X3 =0叫做點p的齊次(笛氏)坐標，記作p X1,X2,X3 ; X, y叫 做點p的非齊次坐標.女口：點2,4, -1

5、的非齊次坐標為-2,-4 .反之也成立.點1,0的齊次坐標為1,0,1 , -1,0, -1 反之也成立.點3,-2的齊次坐標為3,-2,1 , 6,-4,2 反之也成立.由定義2可見，平面內(nèi)一點的齊次坐標有無窮多組；以譏，42,沌 (其中和x1, x2,x3為同一的齊次坐標.女口：點-3,4,1 , -6,8,2 都表示同點的齊次坐標.現(xiàn)在說明，X1,X2,0可以作為無窮遠點的坐標當二坐標軸直角時, =tanr即為直線的斜率（其中二為斜角）.（如圖1）當二坐標軸斜角時,si nrsin I ” - v（其中，為斜角，為坐標軸的交角）.（如圖2）如果在（1）里b變動，而不變也就是二不變，則（1

6、）表示一組平行直線現(xiàn)在?。?）里一定直線I，即,b均為定值，I上一點p的非齊次坐標為x, x b .其齊次坐標為x, x b,1或-,-.當p從I上的兩個方向趨于 I x xj無窮遠時，即當x：或x :：時得點p的齊次坐標的極限為1,，,0即1/ b, 1. （1, ,0 .這是與b無關(guān)的一組數(shù).因此，可以規(guī)定以為決定的方I X X丿向的無窮遠點的無數(shù)組齊次坐標為,0 其中-0 .如：直線2x-y-1=0的無窮遠點的坐標為1,2,0 .2x-y-1 =0二 y =2x-1 p： 1,2,0；定義3:任何三個有序?qū)崝?shù) 為公2,0 其中為=0，些規(guī)定為（當二坐x標軸直角時為斜角）決定的方向的無窮遠

7、點的齊次坐標.女口：點3, -4,0是以-為方向上的無窮遠點的齊次坐標.3注意：對于齊次坐標 x1, x2, x3 :1沒有以0,0,0為齊次坐標的點;(2)當X30時，它的非齊次坐標為 冬,空 表示有窮遠點；卞X33當x3 =0時，,x2,0表示無窮遠點，而 x1,x2,0其中為=0以=空xi為方向的無窮遠點；4 x軸上的無窮遠點1,0,0 ；x軸的方程為y". p： 1,0,0 ；5 y軸上的無窮遠點 0見,0或0,1,0 ；(規(guī)定)對于咅,0，當N =0，即0,X2,0或0,1,0在哪個方向的無窮遠點無法確定.；無意一方面平面上平行于y軸的直線的斜率不存在，即不存在.可以確定0

8、,X2,0或0,1,0表示y軸方向上的無窮遠點.6點的齊次坐標是無窮多組，而它的非齊次坐標是唯一的；1.3直線的齊次坐標方程定義4：在齊次點坐標中，設(shè)有一條直線和一個以 X1,X2,x3為流動點的齊次 坐標所構(gòu)成的方程，如果此方程能夠且僅能夠被該直線上的點的齊次坐標所滿 足，則此方程叫做該直線的齊次點坐標方程.簡稱齊次方程.這時也稱該直線為此 方程所決定的直線.不難證明以下定理.定理1:設(shè)一條直線的非齊次方程為aX a2 y= 0( aj a22 = 0)，則此直線的齊次方程為 a1x1 a2x2 a3x3 =0( a12 a/ 0)，并且反過來也成立.女口： 1 2x3y 4 =0= 2為3

9、x2 4x3 =02 3x1 2x2 4x3 =0 = 3x 2y 4 = 0由于a1x1 a2x2 a3x3 0( q2飛22=0)不含常數(shù)項，所以它是齊次的.另外，過原點的直線的齊次方程為2 2 a1x1 a2x2 = 0（a a2 = 0）定理2:無窮遠直線的齊次方程為 X3 = 0.注意：無窮遠直線沒有非齊次方程2. 齊次線坐標2.1齊次線坐標在齊次點坐標中，直線的齊次方程是u1x1 u2x2 蟲 = 0（ 1）其中Xi,X2,X3是直線上任一點的流動坐標.顯然，方程?u2x2 ?u3x3 =0 0）與（1）表示同一直線.我們作以下定義.定義1 :直線的齊次方程中，Xi,X2,X3的系

10、數(shù)Ui,U2,U3叫做該直線的齊次線坐 標.顯然，乜,譏（'-0）也是該直線的齊次線坐標，因此一條直線的齊次線 坐標有無窮多組.為了區(qū)別于點的坐標，我們把直線u的齊次線坐標U1,U2,U3記作 U1,u2,u3 或 u 三 U|,u2,u3 1； 即卩 I-U1,u2,u3 1 與"u，u2, 'u3= 0 表示同一直線的 線坐標.女口：2 -x2 3x3 =0二 2,-1,3丨2X2 - X3 = 0 =0,2, -1 丨鼎X3 =0二,0,-12112x3 = 0：二0,0,11.又如：I : 2捲-x2 * 3x3 =0=2, T,3】,1的方程又可寫成：4x1

11、 - 2x2 6x3 = 0=4, -2,6 1.定理1 : 一點X三X1,X2, X3在一條直線u三U1 ,U2,U3 1上的充要條件是u1x1u2x2U3X3 =0(2)證明：因為直線u的方程是U1X1 U2X2 - U3X3 =0, Xi,X2,X3為其上任一點的齊次坐標.可見點x在此直線上的充要條件即為（2）.2.2點的方程定義2:在齊次線坐標里，一點的方程指的是以l.u1,u2,u31為流動線坐標所構(gòu)成的方程，此方程能夠且僅能夠被通過該點直線的坐標所滿足定理2:在齊次坐標里，一點a三a1, a2,03的方程是（3）反之，U1,u2,u3 1構(gòu)成的一次齊次方程必表示一點.即在齊次線坐標

12、里一點的方程是Ui,U2,U3的一次齊次方程.證明：由定理1,任一條直線Ui,U2,U3 1通過點01,02,03的充要條件是a1u1 a2u2 a3u3 二 0.根據(jù)定義2 a1u1 + a2u2 +a3u3 = 0是點 a 三（4,02,03）的方程.反之，設(shè)有方程bu1 b2u2 b3u 0，其中b!,b2,b3不全是零，則由（3）知此 方程表示一點（bbb）.女口：2, -1,3 u 2U| - U2 3U3 - 00,2, 2 ：=2氏 '2比=04,0, 一1 = 4U|u3 = 00,0,2 二2u3 =0 或 u3 =0 ；定義2的幾何意義是說，在線幾何里一點被看成是一

13、束直線包絡(luò)成的，這個點方程被而且只被通過它的直線的坐標所滿足.例如直線uU1,U2,U3】通過點2,1,3當且僅當2u1 u2 3u -0.因此由定理2知2u1 u2 3u3 -0就是在線坐 標里點2,1,3的方程.又如在線坐標里原點的方程是u3=0.例1：寫出直線2x3x2-X3=0 , x軸，y軸，無窮遠直線的齊次線坐標. 解：直線2xi 3xx0的齊次線坐標為12,3, -11. x軸的方程為y=0，即X2 =0，所以x軸的齊次坐標為1.0,1,01.同理，y軸的齊次坐標為1,0,0.無窮遠點的齊次坐標為=0,它的齊次坐標為 10,0,1 ；例2：寫出點0,1,2 ，原點，x軸上的無窮遠

14、點，y軸上的無窮遠點的方程原點0,0,1的方程為比=0.y軸上無窮遠點0,1, 0的方程是（3） q2 - 3u1u2 2u22 二 0方程（2）表示點1,1,2 .解：點0,1,2的方程為u 2比=0. x軸上無窮遠點 1,0, 0的方程為 5=0. u2 = 0.例3:下列各線坐標方程表示什么圖形?（1）u3 = 0（2） q u2 2u3 = 0解：方程（1）表示點0,0,1 .2 2 .u1-3u1u22u2=0=（qu2）q -2u2=0=q -u2=0或q -2u2二 0（3）方程（3）表示兩點1, -1,0和1, -2,0 .注意：方程比為72乂273乂3=0 （ *）有兩種意義

15、:（1） 當5,5,出常數(shù)，X1,X2,x3變動時，方程（* ）表示直線的方程.如：n 3x2 2% = 0.（2）當,X2,X3常數(shù)，4,出,比變動時，方程（*）表示點的方程.如：3O|2u2 3u3 =0.2.3非齊次線坐標定義3 :直線u三）u1,u 2u 3的非齊次線坐標U,V】是由下列比值U=,V=2 所規(guī)口3=0.U3U3如:直線12,2, -1 的非齊次線坐標為-2, 2 .由于通過原點的直線的齊次線坐標為I.U!,U2,0丨，所以通過原點的直線沒有非 齊次線坐標.在u1x1 u2x2 u3x3 = 0里，設(shè) U =,V = 2 ,x = 1 ,y = 2 其中 u3x3 = 0

16、,則得 U3u333U Vy 1=0.根據(jù)定理1可得定理3:點（,y）在直線U ,V 1上的充要條件是Ux Vy 0 ；在非齊次線坐標里，關(guān)于點的方程的定義與定義 2完全類似.我們有以下定理定理4:在非齊次線坐標里，點 0,y。如果不是原點，則它的方程是0U y°V 1=0（ 4）反之，U ,V I所構(gòu)成的一次方程（4）必表示一點，其坐標為 x0,y0 .女口：點2,-1的非齊次方程是2U -V 0，反之成立.點0,2的非齊次方程是2V 0,反之成立.點3,0的非齊次方程是3U 7=0,反之成立.在點坐標的基礎(chǔ)上，可以求點曲線的方程，即動點的軌跡方程（直線方程是 它的特例）；現(xiàn)在引入

17、了直線坐標，在此基礎(chǔ)上，可以求線曲線的方程，即直線 族的方程（點方程是它的特例）.下面舉說明例4:求在兩坐標軸上截距之和為常數(shù)c的直線族方程解：設(shè)直線I的非齊次線坐標為 U ,V丨即l的非齊次線方程Ux Vy 1 = 0 .令I(lǐng)在二兩坐標軸截距為a,b，則有a 1, b 1，根據(jù)題設(shè)a c，UV1 1所以又有-丄-丄二c或-V -U =cUV即cUV U 7=0這就是所求的直線族方 U V程，其齊次方程為u1u2 u1u3 u2u 0. 令c = 1由例4,我們看到直線的非齊次線坐標 U ,V 1的幾何意義是：U與V分別是直線在x軸與y軸截距的負倒數(shù).3. 齊次坐標的應(yīng)用為了簡便起見,記X三（

18、x.（,x2, x3）,稱為點x.記 aix a2x2 a3x =0,稱為直線=0 .定理1:兩點a,b重合的充要條件是矩陣 a2 a3的秩為1. 占Pb3丿證明：兩點ai, a2, 83 , （bi ,b2，重合的充要條件是勺二竺二勺即 bib3© 82 83的秩為1.<bi b2 b3 丿類似地有定理1：兩直線u =o=o重合的充要條件是矩陣81 82 83的秩為1.占匕23丿X1 X2 x3定理2 :兩個不同點8,b連線的齊次方程是81 82 83 =0.b1 b2 b3此直線的線坐標是828383 8181 82b3 bib1b2簡記為X8b = 0.證明：設(shè)r1x1

19、r2x2 r3x3 =0為所求的直線的方程因為直線通過兩點81,82,83 , bbb ，所以 中1r282r383 = 0 rb1r2b2r3b3 = 0由上面三個式子消去r1,r2, r3即得81 a2 83 = 0.b! b2 b3類似地有Ui U2 U3定理2、:兩條不同直線a =0,0=0的交點的方程為ai a? a 0 .bi b? b3這點的坐標是a2 a3Jb2 b3a3 aib3 bibi b?定理3:三個不同點a,b,c共線的充要條件是ai a2a3印 a2 a3Xb, b2 d =0 或bi b2 b3Ci C2 5pi C2 C3 J秩為Ui U2 U3Ui U2 U3

20、證明：由定理2知通過a,b兩點的直線的齊次方程是 xab =0 .因為點c在上式所決定的直線上，而此情況的充要條件是|cab = 0即 |abC =0 .因三點不同，所以其坐標所構(gòu)成的方陣的秩為2.ai a2 a3定理3H:三條不同直線a =0*=0,Y=0共點的充要條件是0 b2 b3 =0或ci C2 C3ai a2 a3d b2 b3的秩為2 .VC1 C2 C3 ）證明：三直線:=0j =0,=0共點的充要條件是aiXi a?X283X3 =0方程組b1x1 b2X2 b3x3 0有非零解.所以此方程組除捲=0,x2 = 0,x3 = 0外C|X1 q x2 C3X3 二 0 還有其它

21、解，而此情況的充要條件是|abC = 0.因三直線不同，所以其方程的系數(shù)所構(gòu)成的方陣的秩為2.定理4:以兩不同已知點a,b的連線為底的點列的點的坐標能夠?qū)懽髑覂H能證明：aa?因為bilai mb, la2 mb2夠?qū)懽鱨a mb （其中l(wèi), m為不全為零的常數(shù)）a3bs=0.所以,根據(jù)定理3知la + mb表la3 +mb3示以a,b連線為底的點列的點的坐標反過來，設(shè)c為a,b連線上的一點，則由于三點a,b,c共線，所以根據(jù)定理3ai a? a3有 d b2 b3 =0C1 C2 C3因此有不全為零的數(shù)l；m； n，使l ai mb ncOi= 1,2,3但是n丄0 （否則將有a,b重合），所

22、以可以可令|=.,m = -m因此nnG二® mb i =1,2,3 （其中l(wèi),m不全為零的常數(shù)）即c的坐標可以寫作c = la mb例5:求證a 1,2,-1 ,b -1,1,2 ,c 3,0, -5共線，并求l,m的值，使G =8 + mb (i =1,2,3 ).1 2 -1解：由-112 =0可知a,b,c共線,3 0-5l -m =3I由2l +m=0 解得 l =1,m = -2.T +2m = -5所以 ci = ai - 2bii =1,2,3 .推論：三相異點a,b,c共線的充要條件是有三個全不為零的常數(shù)p,q,r使pa +qbj +rq =0(i =1,2,3)定理以兩不同已知直線:=0 =0的交點為中心的線束的直線的方程能 夠?qū)懽髑覂H能夠?qū)懽鱇 m =0 （其中l(wèi), m為不全為零的常數(shù)）.證明：因為a1a2a3bib2b3=0la1+mb la2+mb2 lamb3所以，根據(jù)定理3知K l =0表示通過=0, ： = 0交點的直線的方程反過來，與定理4類似，可以證明通過=0, 一0的交點的任何直線的方程 可以表示為k m =0 （其中l(wèi),m為不全為零的常數(shù)）